考慮不同踏步高寬比的行人上下樓梯荷載試驗(yàn)研究

張 堯，宋志剛

(1.昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，昆明 650000；2.曲靖師范學(xué)院 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，云南 曲靖 655000)

樓梯是建筑中重要的垂直交通系統(tǒng)，其設(shè)計(jì)和建造在滿足承載能力的要求下，逐漸向著輕質(zhì)、高強(qiáng)和美觀方向發(fā)展，這使得一些大跨度樓梯容易在人致荷載作用下產(chǎn)生過大振動(dòng)，面臨振動(dòng)舒適度問題[1-9]，而樓梯上人致荷載的觀測則是進(jìn)行相關(guān)分析和驗(yàn)算的基礎(chǔ)。

Kerr等[10]和Bishop等[11]利用測力板觀測了平地和樓梯上的步行荷載的豎向分量，發(fā)現(xiàn)上下樓梯各階動(dòng)載因子均比水平面上的觀測結(jié)果大；杜永峰等[12]和Gaile等[13]，結(jié)合無線加速度傳感技術(shù)觀測了樓梯上人致荷載的豎向、橫向和縱向分量，給出了各階動(dòng)載因子的均值和分布特征。我國GB 50352—2019《民用建筑設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》[14]規(guī)定了各類住宅和公共建筑樓梯的最大高寬比限值，其范圍在1∶1.5～1∶2.5(34°～22°)，而在上述研究中，Kerr等的研究雖使用了不同踏步高寬比的樓梯，但未對(duì)不同高寬比下獲得的動(dòng)載因子(dynamic load factors，DLF)加以區(qū)分對(duì)比，杜永峰等和Gaile等的觀測僅使用了一種樓梯踏步高寬比，樓梯踏步高寬比對(duì)樓梯上步行荷載的影響有待進(jìn)一步分析。

本文選取踏步高寬比為1∶1.6，1∶2.0和1∶2.3的3種樓梯，利用無線加速度傳感器對(duì)上下樓梯荷載進(jìn)行觀測，在此基礎(chǔ)上，獲得上下樓梯時(shí)不同方向荷載分量的各階動(dòng)載因子隨步頻變化的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，通過計(jì)算三類樓梯動(dòng)載因子的相對(duì)偏差，研究踏步高寬比對(duì)荷載的影響。

1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

1.1 試驗(yàn)原理

圖1 上下樓梯人致荷載分量的坐標(biāo)系

(1)

(2)

(3)

式中：m為人體質(zhì)量；g為重力加速度。結(jié)合上式和測定的質(zhì)心加速度確定荷載分量。

1.2 試驗(yàn)條件

選取了位于某高校校園內(nèi)的3種室內(nèi)外樓梯作為測試場所，踏步高寬比如表1所示。

表1 樓梯踏步參數(shù)

1.3 被測對(duì)象與測試裝置

試驗(yàn)邀請(qǐng)27位健康成年人作為被測對(duì)象，其中男性15名，女性12名，年齡分布在19～22周歲，身高和體重信息如表2所示。

表2 被測者基本信息

用于觀測上下樓梯身體質(zhì)心的無線慣性測量裝置(inertial measurement unit, IMU)如圖2所示。其集成了三軸加速度傳感器、藍(lán)牙串口和電源等多個(gè)模塊，采樣頻率為100 Hz，加速度測量精度為0.001g，采集的加速度信號(hào)可通過藍(lán)牙信號(hào)傳輸至手機(jī)終端。利用腰帶將傳感器布置于腰椎位置(見圖2)。

圖2 質(zhì)心慣性測量裝置及其布置位置

1.4 測試過程與數(shù)據(jù)處理

被測者穿戴測試裝置，在節(jié)拍器提示的頻率下以一次一個(gè)踏步的方式行進(jìn)，節(jié)拍器提示的頻率由1.2 Hz開始，按0.4 Hz的間隔增加，以被測者能夠適應(yīng)的極限為上限。在每一提示頻率下，被測者在連續(xù)的兩個(gè)梯段上往返一次為一組，為保證每一步頻下均可獲得有效荷載樣本，規(guī)定被測者在每個(gè)頻率下完成兩組行走。

試驗(yàn)結(jié)束后，從整個(gè)測試過程采集的加速度信號(hào)中截取穩(wěn)態(tài)行走對(duì)應(yīng)的部分作為有效樣本，即每個(gè)梯段中剔除最先和最后3個(gè)踏步后中間段的加速度信號(hào)。

以上加速度時(shí)程代入式(1)～式(3)可獲得3個(gè)方向的荷載時(shí)程，通過快速傅里葉變換得到下式所表示的荷載頻譜，以及各階動(dòng)載因子[15-16]。

(4)

(5)

(6)

式中:W=mg為體重;αzi、αyi和αxi分別為豎向、橫向和縱向第i階動(dòng)載因子;φzi、φyi和φxi為各階諧波相位;fp為步頻。由于橫向荷載周期是豎向和縱向荷載周期的兩倍，假設(shè)橫向各階諧波頻率均為其他方向的1/2。

2 試驗(yàn)結(jié)果

2.1 荷載時(shí)程

限于篇幅，這里僅給出某身高166 cm，體重54 kg的女性被測者在不同踏步高寬比的樓梯上以1.6 Hz步頻上下樓梯時(shí)采集到的身體質(zhì)心加速度信號(hào)，如圖3和圖4所示。圖3、圖4僅展示了穩(wěn)定步態(tài)下2 s持時(shí)內(nèi)的荷載時(shí)程。由圖可知，上樓梯三方向的荷載時(shí)程峰值明顯小于下樓梯時(shí)的荷載時(shí)程峰值。3種踏步高寬比對(duì)應(yīng)的荷載時(shí)程變化趨勢基本一致。

(a)豎向

(a)豎向

2.2 荷載頻譜

采集到的加速度時(shí)程經(jīng)過卡爾曼濾波處理，除以重力加速度后的時(shí)程經(jīng)過快速傅里葉變換，得到圖5和圖6所示頻譜。由圖5和圖6可知，豎向和縱向各階峰值出現(xiàn)在步頻及其倍頻處，橫向各階峰值大概位于步頻及其倍頻的1/2處，豎向和縱向的前三階峰值較明顯。3種樓梯的頻譜峰值接近。

(a)豎向

(a)豎向

2.3 三向動(dòng)載因子相關(guān)性

取圖5和圖6的頻譜幅值作為動(dòng)載因子觀測值。為驗(yàn)證樓梯三向荷載模型的表達(dá)形式，參考水平面三向動(dòng)載因子的相關(guān)性驗(yàn)算方法[17]，選取了以1.6 Hz步頻上、下樓梯的65組和70組動(dòng)載因子，計(jì)算各方向間的相關(guān)系數(shù)。一階動(dòng)載因子相關(guān)系數(shù),如表3和表4所示。上樓梯情況下豎向和縱向相關(guān)性最高，為42.47%，下樓梯時(shí)橫向與縱向的相關(guān)性最高，為32.98%。由此可判斷，上、下樓梯各向荷載均不存在高度相關(guān)性，需要對(duì)3個(gè)方向的荷載進(jìn)行獨(dú)立建模。

表3 上樓梯豎向、橫向和縱向一階動(dòng)載因子相關(guān)系數(shù)

表4 下樓梯豎向、橫向和縱向一階動(dòng)載因子相關(guān)系數(shù)

2.4 動(dòng)載因子統(tǒng)計(jì)特性

3種樓梯的3個(gè)方向各階動(dòng)載因子實(shí)測值與擬合值,如圖7、圖8所示。

實(shí)測值分布具有以下規(guī)律：① 動(dòng)載因子隨步頻提高而提高;② 部分動(dòng)載因子呈現(xiàn)分段的分布規(guī)律，例如上樓梯豎向一階動(dòng)載因子,如圖7(a)所示。按步頻分為行走(fp≤2.2 Hz)、跑步(fp>3.0 Hz)和中間過渡區(qū)域(2.2 Hz

擬合值在上述規(guī)律基礎(chǔ)上運(yùn)用最小二乘法獲得，表達(dá)式見式(7)、式(8)、式(9)，其中上樓梯豎向第一階動(dòng)載因子和縱向各階動(dòng)載因子采用式(7)、式(8)所示分段線性擬合，其他各階動(dòng)載因子采用式(9)表示的二次多項(xiàng)式。

(7)

(8)

(9)

分別對(duì)3種樓梯動(dòng)載因子以及所有動(dòng)載因子進(jìn)行擬合。3種樓梯的擬合均值(見圖7、圖8)，對(duì)所有動(dòng)載因子的擬合均值，如表5、表6所示。為反映實(shí)測值關(guān)于擬合均值的離散程度，將實(shí)測值表示為式(10)的形式，式中βji系數(shù)表示實(shí)測值相對(duì)于擬合值的偏差，該系數(shù)近似服從正態(tài)分布，期望和標(biāo)準(zhǔn)差見表5和表6。

(10)

由圖7、圖8的擬合結(jié)果可知，3種不同踏步高寬比條件下觀測的動(dòng)載因子呈現(xiàn)出相近的隨步頻的變化趨勢，即從行走步頻到跑步步頻，整體呈現(xiàn)上升趨勢，僅在縱向的過渡步頻出現(xiàn)平緩或略微下降的趨勢，說明隨著步頻的增加和步態(tài)由行走變?yōu)榕懿?，樓梯上的人致荷載幅值會(huì)明顯增加。

(a)上樓梯豎向第一階動(dòng)載因子

(a)下樓梯豎向第一階動(dòng)載因子

比較3種樓梯的擬合結(jié)果可知，在行走階段，3種樓梯擬合曲線的重合度較高，而在過渡和跑步階段，3種擬合曲線存在分岔，說明動(dòng)載因子分布具有差異。該差異的原因可能包括動(dòng)載因子離散度較大，以及樓梯高寬比不同。但曲線的排列順序并沒有隨踏步高寬比呈現(xiàn)明顯的單調(diào)變化趨勢，有必要進(jìn)一步研究不同踏步高寬比下動(dòng)載因子的差異。

3 不同踏步高寬比條件下的動(dòng)載因子差異

所有動(dòng)載因子擬合結(jié)果作為參考值(見表5、表6)。分別計(jì)算三種樓梯動(dòng)載因子的擬合值相對(duì)于參考值的偏差，計(jì)算公式如下

表6 下樓梯各階動(dòng)載因子擬合參數(shù)取值及βji的分布特征

(11)

式中，m為第m種樓梯。

上樓梯情況下的相對(duì)偏差，如圖9所示。從圖9可知，在同一步頻區(qū)間內(nèi)，各階動(dòng)載因子的相對(duì)偏差并沒有隨踏步高寬比顯示出單調(diào)變化趨勢。另外，隨著步頻變化，各樓梯的偏差也未呈現(xiàn)出具有規(guī)律的變化趨勢。從偏差的范圍來看，除個(gè)別高階動(dòng)載因子外，其余各階動(dòng)載因子偏差基本在±30%內(nèi)，與表5的分布標(biāo)準(zhǔn)差相比，屬于較小的偏差范圍。下樓梯情況與之類似。上述結(jié)果說明由樓梯踏步高寬比引起的動(dòng)載因子偏差小于由行人個(gè)體間差異和單人步態(tài)不穩(wěn)定性導(dǎo)致的偏差。實(shí)際應(yīng)用中，設(shè)計(jì)荷載的取值考慮一定的保證率，相對(duì)于均值的偏差足以超過30%。因而認(rèn)為在文本涉及的踏步高寬比范圍內(nèi)，可不考慮踏步高寬比對(duì)動(dòng)載因子的影響。

(a)

表5 上樓梯各階動(dòng)載因子擬合參數(shù)取值及βji的分布特征

4 模擬荷載時(shí)程與實(shí)測值對(duì)比

荷載時(shí)程可根據(jù)式(4)、式(5)和式(6)重構(gòu)，式中前三階動(dòng)載因子根據(jù)行人步頻，按式(7)、式(8)、式(9)和表5、表6取值，荷載時(shí)程重構(gòu)的核心是確定各階分量間的相位差。二階、三階分量與一階分量的相位差可通過基于響應(yīng)面的最優(yōu)化方法識(shí)別，其基本步驟如下：

步驟1確立優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化目標(biāo)是使重構(gòu)時(shí)程與實(shí)測時(shí)程的相對(duì)誤差最小[18]，如式(12)所示。

步驟2利用均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法[19]，在[-π, π]內(nèi)以0.01π的水平間距對(duì)相位取值進(jìn)行組配，構(gòu)造200組取值，生成相應(yīng)數(shù)量的模擬時(shí)程樣本，并計(jì)算對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。

步驟3運(yùn)用變換條件期望(conditional expectation,ACE)回歸算法[20-22]依據(jù)上述樣本建立相位和目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面關(guān)系。

步驟4利用Monte Carlo模擬生成1×105組相位取值，根據(jù)上述響應(yīng)面關(guān)系計(jì)算相對(duì)誤差，搜索最小誤差對(duì)應(yīng)的相位取值。

(12)

以圖3和圖4中的實(shí)測時(shí)程為例，按上述方法構(gòu)造的模擬時(shí)程,如圖10和圖11所示。圖中不同曲線為各階動(dòng)載因子分別取均值、75%分位值與95%分位值對(duì)應(yīng)的模擬結(jié)果，相位取值如表7所示。荷載時(shí)程的相對(duì)誤差在15%以內(nèi)。

(a)豎向

(a)豎向

表7 諧波相位差取值

5 結(jié) 論

本文采用無線慣性測量裝置測定了行人在不同高寬比的樓梯上上行和下行所產(chǎn)生的人致荷載，結(jié)合傅里葉變換和統(tǒng)計(jì)分析給出了人行荷載各階動(dòng)載因子隨步頻變化的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，使用擬合值的相對(duì)偏差分析了不同踏步高寬比對(duì)樓梯上人致荷載的影響，使用基于響應(yīng)面的最優(yōu)化方法確定重構(gòu)荷載時(shí)程所需的最優(yōu)相位差，結(jié)果表明：

(1)上、下行樓梯時(shí)各階動(dòng)載因子隨步頻的提高而提高，變化規(guī)律視情況可分別使用分段線性函數(shù)和二次函數(shù)表示，同一步頻下的動(dòng)載因子的概率分布服從正態(tài)分布；

(2)在常見民用建筑樓梯踏步高寬比范圍(1∶1.6～1∶2.3)內(nèi)，踏步尺寸引起的豎向、橫向和縱向前三階動(dòng)載因子偏差在30%以內(nèi)，小于行人個(gè)體差異和步態(tài)隨機(jī)性的影響，設(shè)計(jì)荷載取值可不考慮踏步尺寸的影響；

(3)基于均勻試驗(yàn)和ACE回歸相結(jié)合的響應(yīng)面算法，可識(shí)別二階、三階荷載分量與一階荷載分量之間的相位差(見表7)，并較為準(zhǔn)確地重構(gòu)出不同概率分位值下，豎向、縱向和橫向的荷載時(shí)程。