反平面波在一維液體飽和多孔聲子晶體中的傳播特性

張書燕，王艷鋒

(1.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044；2.天津大學 機械工程學院，天津 300350)

聲子晶體[1]是空間周期排列的人工復合材料，其獨特特征是產(chǎn)生帶隙[2-3]，在帶隙內(nèi)彈性波的傳播會受到抑制。帶隙有兩種產(chǎn)生機制：Bragg散射和局域共振[4]?；趲短匦裕琓hota等[5]利用一種圓柱夾雜物和折紙結(jié)構(gòu)設(shè)計了可重構(gòu)的聲屏障，它可以有效的屏蔽交通噪音；Yoo等[6]利用平面柔性聲子晶體實現(xiàn)了小單元在低頻域的完美吸聲；Dong等[7]利用拓撲優(yōu)化設(shè)計了窄頻聲子晶體濾波器；Brule等[8]用試驗的方法驗證了在土體里面插入周期性的材料可以屏蔽地震波。此外，還可通過引入線缺陷設(shè)計波導[9]，使彈性波沿著缺陷傳播。

盡管聲子晶體的研究已經(jīng)受到許多學者的關(guān)注，但已有研究大都考慮單相介質(zhì)，較少涉及兩相或多相介質(zhì)。實際上液體飽和多孔介質(zhì)(兩相介質(zhì))也是很常見的材料。探索波在多孔介質(zhì)中的傳播對土木工程和地震工程等領(lǐng)域起到重要的理論指導[10-11]。近年來，一些研究者對彈性波在液體飽和多孔聲子晶體中的傳播進行了研究。Weisser等[12]計算了具有周期性共振夾雜多孔彈性層的聲響應(yīng)；Alevizaki等[13]將多層散射方法推廣到浸沒在流體介質(zhì)的孔隙彈性球的聲子晶體；Wang等[14-15]研究了縱波和面內(nèi)混合模態(tài)在一維和二維液體飽和多孔聲子晶體中的傳播特性；Meng等[16-18]分析了飽和土中放置多排混凝土樁對彈性波的減振效果；徐長節(jié)等[19]研究了飽和土夾水混凝土混合式屏障對彈性波隔振效果。Zhang等[20]研究了彈性波在部分開口界面一維液體飽和多孔聲子晶體中的波動特性。

以上研究主要關(guān)注縱波或面內(nèi)混合模態(tài)在液體飽和多孔聲子晶體中的傳播，并未涉及反平面波。因此本文重點關(guān)注反平面波在一維層狀液體飽和多孔聲子晶體中的傳播特性。首先利用傳遞矩陣方法計算了反平面波的復能帶結(jié)構(gòu)；然后用剛度矩陣法計算了聲子晶體的傳輸譜；最后分析了液體黏性、孔隙率和材料組分比對反平面波傳播特性的影響。這些結(jié)果為液體飽和多孔材料的實際應(yīng)用提供理論參考。

1 計算模型

考慮一維層狀由n個單細胞組成的聲子晶體，每個單胞有兩個子層，分別由兩種不同的液體飽和多孔介質(zhì)A和B組成，單胞的長度可以表示為a=a1+a2，其中a1和a2分別為A和B兩個子層的長度,如圖1所示。本文考慮反平面波以角度θ0∈(0,π/2)入射聲子晶體。

圖1 一維液體飽和多孔聲子晶體示意圖

2 反平面波波動方程的求解

根據(jù)Wang等的研究，一維液體飽和多孔介質(zhì)反平面波的波動方程可以寫為

(1)

(2)

對于簡諧波，反平面波的位移場可以假設(shè)為

(3)

將式(3)代入式(1)得

(4)

若式(4)存在非零解，則相應(yīng)的系數(shù)為零，即

(5)

求解式(5)可得

(6)

這里正值表示波的傳波方向，正值表示x方向，負值表示x負向。

利用疊加原理，可以得到位移的通解

(7)

(8)

3 傳遞矩陣

對于一維聲子晶體，傳遞矩陣法計算能帶結(jié)構(gòu)和傳輸，是常用的方法[21]。傳遞矩陣法是利用界面位移、應(yīng)力等連續(xù)性條件，得到兩個相鄰單胞的傳遞矩陣；進而通過引入Bloch理論求解特征值問題得到能帶結(jié)構(gòu)。

假設(shè)第d個單胞的狀態(tài)向量為V=[uz,σxz]T。根據(jù)位移和應(yīng)力的通解，第j子層左右兩個界面的狀態(tài)向量可以表示為

(9)

在第d個單胞子層間的界面以及第d-1和第d個單胞的界面處，狀態(tài)向量應(yīng)保持連續(xù)

(10)

將式(9)代入式(10)可得

(11)

根據(jù)Bloch定理，狀態(tài)向量有如下關(guān)系

(12)

式中，kx為Bloch波矢在x方向的分量。聯(lián)立式(11)和式(12)可以得到

(13)

從式(13)可得到標準的特征值問題

|T-eikxaI|=0

(14)

式中,I為2×2的單位矩陣。任意給定一個頻率，復能帶結(jié)構(gòu)可以通過求解方程式(14)得到。

4 剛度矩陣

當聲子晶體的層數(shù)較多時，用傳遞矩陣法計算位移響應(yīng)的解是不穩(wěn)定的[22]。因此一些研究者提出了穩(wěn)定的求解方法，如剛度矩陣法[23]和散射矩陣法[24-25]。本文利用剛度矩陣法計算結(jié)構(gòu)的透射系數(shù)。

假設(shè)聲子晶體兩側(cè)是兩個半無限大均勻結(jié)構(gòu)(液體飽和多孔介質(zhì)A)，反平面波從左側(cè)半空間以角度θ0入射到聲子晶體中，那么入射半空間的波場為

(15)

(16)

(17)

式中，σ0=τxz0,u0=ux0,和us=uxs，剛度矩陣KR詳見附錄B。將式(15)和式(16)代入式(17)可以得到

(18)

5 數(shù)值結(jié)果和討論

已有研究表明，反平面波斜入射和垂直入射的結(jié)果在低頻時基本一致[26]，因此本文只分析反平面波垂直入射(θ0=0)時液體飽和多孔聲子晶體的波動特性。令上述推導中的ky=0即可得到垂直入射時的傳遞矩陣和剛度矩陣。本文中材料A為飽和土(a1=1.3 m)，B為混凝土(a2=0.7 m)。其他相關(guān)材料參數(shù)參考Wang等的研究，在本文計算中αj(∞)=1.02。首先考慮無黏性液體飽和多孔聲子晶體，計算的復能帶實部如圖2(a)所示。圖中橫坐標為歸一化波數(shù)ka/(2π)，縱坐標為歸一化頻率fa。復能帶的虛部，如圖2(b)所示。計算50個單胞的聲子晶體得到的傳輸譜，如圖2(c)所示。從圖2可知，在考慮頻率范圍內(nèi)，反平面波有兩個Bragg帶隙，傳輸結(jié)果與能帶結(jié)果吻合較好。

(a)Re(ka/2π)

接下來考慮液體黏性對反平面波傳播特性的影響，結(jié)果如圖3所示。作為比較，圖中虛線是無黏性的結(jié)果。從圖3可知，當引入黏性后(η=1×10-6Pa·s),復能帶的實部在邊界處由尖角變?yōu)楣饣?，通帶的虛部值變大，帶隙?nèi)對應(yīng)的虛部幾乎沒有變化。因此，反平面波在通帶內(nèi)的傳輸減弱，帶隙內(nèi)的衰減幾乎沒有發(fā)生改變。當黏度系數(shù)增大到η=1×10-5Pa·s時,上述現(xiàn)象變得更加明顯。然而，當黏度系數(shù)增大到η=1×10-3Pa·s時,在整個頻率范圍內(nèi)反平面波的虛部變小、衰減減弱，復能帶的實部在布里淵的邊界由光滑又變?yōu)榧饨?。這和快縱波隨黏性的變化是一致的。這個現(xiàn)象可以來利用泰勒展開式來解釋，首先將ω(k)在復指數(shù)k的區(qū)域邊界k0=π/d處進行泰勒展開[27]，即

(a)Re(ka/2π)

Δω=ω(k)-ω(k0)≈ζRe((Δk)2)=

ζ(g2-h2)

(19)

式中：ζ為一個與能帶二階導數(shù)有關(guān)的常量；Δk=g+ih。對于相同的Δω>0和不同的黏度，能帶的衰減是先增大后減小的，并且其相應(yīng)的虛部也是先增大后減小的，式(19)中的h和g也是有著相同的變化。所以隨著黏性系數(shù)的增大布里淵邊界處尖角先變光滑再變尖銳。

不同孔隙率下液體飽和多孔聲子晶體中反平面波的復能帶實部、復能帶虛部、傳輸譜以及帶隙上下邊界位置和帶隙寬度變化，如圖4所示。為了做對比，圖4還給出了孔隙率φ=0(單相介質(zhì))的復能帶和傳輸，如虛線所示，第一條帶隙和第二條帶隙的簡約頻率范圍分別為[624,754]和[1 286,1 490]。與單相介質(zhì)的結(jié)果相比，當孔隙率增大到φ=0.1時，兩條帶隙上下邊界向上移動，帶隙內(nèi)對應(yīng)的最大虛部增大并且相應(yīng)的衰減增強，從圖4(d)可知，此時帶隙也稍微變寬。這是因為質(zhì)量密度比能影響帶隙產(chǎn)生[28]，并且當基體和散射體密度相差較大時更容易產(chǎn)生帶隙[29]。多孔介質(zhì)A孔隙率的增大會導致其平均密度減小，因此多孔介質(zhì)A與多孔介質(zhì)B的平均密度之差也變大。當孔隙率增大到φ=0.3和φ=0.4時，上述現(xiàn)象變得更加明顯。與快縱波不同，在高頻范圍內(nèi)反平面波通帶對應(yīng)的虛部值為零，這是因為反平面波的波動方程與流體壓力無關(guān)，即反平面波和慢縱波之間不存在相互作用。從圖4(d)可知，隨著孔隙率的增大，帶隙邊界向上移動與快縱波正好相反，帶隙逐漸變寬。

(a)Re(ka/2π)

當單胞長度不變時，不同組分比(Q=a1/a2)對反平面波傳播特性的影響。不同組分比的復能帶和傳輸,如圖5所示。當組分比較大時Q=9/1，第一條布拉格帶隙和第二條布拉格帶隙的簡約頻率范圍為[644,686]和[1 290,1 380]。當組分比稍微變小Q=13/7時，兩條帶隙增大，帶隙內(nèi)虛部值和衰減也顯著增大。當組分比減小到Q=3/7時,反平面波的相速度增大，第一條帶隙變得更寬，帶隙內(nèi)的衰減進一步增強。但是第二條帶隙變窄，帶隙內(nèi)的衰減減弱。帶隙的這種變化是由于布拉格散射引起的，因此可以估計出帶隙的中心頻率。帶隙中心頻率可以用下式來估計[30]

(a)Re(ka/2π)

(20)

表1 不同組分比下帶隙的數(shù)值中心頻率和估算中心頻率

6 結(jié) 論

本文基于Biot理論和Bloch理論，研究了反平面波在一維液體飽和多孔聲子晶體中的傳播特性。分別利用傳遞矩陣法和剛度矩陣法計算了復能帶結(jié)構(gòu)和傳輸譜。分析了黏度系數(shù)、孔隙率和材料組組分比對反平面波傳播特性的影響，得到如下結(jié)論：

(1)引入黏性后，反平面波的虛部先增大后減小，相應(yīng)的衰減先增強后減弱，復能帶的實部在布里淵區(qū)邊界處先變光滑后再變成尖角。

(2)隨著孔隙率的增大，A,B兩種液體飽和多孔介質(zhì)的密度差變大，帶隙變寬，同時帶隙邊界向上移動。與快縱波不同的是，由于反平面波和慢縱波不存在相互作用，因此反平面波高頻通帶對應(yīng)的虛部沒有發(fā)生改變。

(3)隨著組分比的減小，兩條帶隙變寬，帶隙內(nèi)的衰減增強，當組分比減小到一定值后，第二條帶隙變窄，并且衰減變?nèi)?。估算的帶隙中心頻率值和數(shù)值結(jié)果基本一致。

附錄A

(A.1)

附錄B

參考文獻[31]，假設(shè)一個單胞內(nèi)兩個子層的剛度矩陣分別為KA和KB，第一子層左側(cè)界面、兩子層界面處以及第二子層右側(cè)界面的廣義應(yīng)力和位移分別[σ1,u1]T、[σ2,u2]T和[σ3,u3]T。根據(jù)本構(gòu)方程有

(B.1)

式中，KA和KB為2×2的矩陣，表達式分別為

(B.2)

通過消除式(B.1)的σ2和u2，可以得到單胞的局部剛度矩陣

(B.3)

考慮聲子晶體由r個相同的單胞組成，假設(shè)前r-1個單胞的整體剛度矩陣為KR-1，第r個單胞的局部剛度矩陣為Kr，根據(jù)方程(B3)可以得到含r個單胞的聲子晶體全局剛度矩陣的遞推公式

KR=

(B.4)

附錄C

(C.1)