格點量子色動力學(xué)數(shù)據(jù)的虛部分布與信號改進*

洪浩藝 高美琪 桂龍成 華俊 梁劍? 史君?? 鄒錦濤

1)(華南師范大學(xué),原子亞原子結(jié)構(gòu)與量子調(diào)控教育部重點實驗室,廣州 510006)

2)(華南師范大學(xué)量子物質(zhì)研究院,廣東省核物質(zhì)科學(xué)與技術(shù)重點實驗室,廣州 510006)

3)(華南師范大學(xué)南方核科學(xué)計算中心,粵港量子物質(zhì)聯(lián)合實驗室,廣州 510006)

4)(湖南師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,長沙 410000)

通過分析淬火近似下高統(tǒng)計量格點兩點關(guān)聯(lián)函數(shù)實部與虛部對規(guī)范場采樣的分布,給出了一種可能的實、虛部分布間的定量關(guān)系,并通過計算實部與虛部的非平庸統(tǒng)計相關(guān)性對該關(guān)系加以驗證.利用該實、虛部的統(tǒng)計相關(guān)性,格點關(guān)聯(lián)函數(shù)的方差可以得到約40%的改進.這些結(jié)果為進一步理解格點計算中統(tǒng)計誤差的物理來源以及發(fā)展信號改進方案提供了全新的思路.

1 引言

在標(biāo)準(zhǔn)模型框架下,量子色動力學(xué)(QCD)是描述強相互作用的基本理論.然而,QCD 在強子能區(qū)具有非微擾特性,傳統(tǒng)量子場論中的微擾解法失效,需要非微擾求解方案.格點QCD 是目前最重要的、從第一性原理出發(fā)非微擾求解強相互作用的理論方法,通過將連續(xù)的閔氏時空轉(zhuǎn)換到離散的歐氏時空,使強相互作用問題可以通過大規(guī)模數(shù)值模擬求解.目前,在高能核物理與強子物理領(lǐng)域,格點QCD 計算已逐步成為除實驗、理論之外的第三種不可或缺的研究手段[1],取得了一系列重要的研究成果,如文獻[2-4]中的工作等.隨著格點QCD計算精度的不斷提升,其所需計算資源也快速增長,大型的格點研究項目所需算力超過千萬CPU小時,使得格點QCD 成為基礎(chǔ)研究中消耗計算資源最大的研究方向之一.這促使格點研究一直積極采用如并行計算、GPU 加速、量子計算等新的硬件技術(shù)[5];同時,格點QCD也在不斷地探索新的數(shù)值算法及數(shù)據(jù)分析方案,從算法和理論角度改進計算效率和信噪比.如近年來χQCD 合作組通過分析算符間有限關(guān)聯(lián)長度對格點數(shù)值結(jié)果信噪比的影響,提出了集團展開噪聲減除方案(CDER)[6],解決了格點計算非連通關(guān)聯(lián)函數(shù)的困難,獲得了廣泛的應(yīng)用[7-9].

格點計算的統(tǒng)計誤差本質(zhì)上來自于對SU(3)規(guī)范場的有限采樣,反映了物理可觀測量對規(guī)范場的依賴,不同可觀測量在同一組態(tài)樣本上的漲落區(qū)別很大.理解格點計算結(jié)果在組態(tài)采樣上的分布,并進而發(fā)展提升信噪比的格點新方法,是格點研究的基本需求.此外,由于格點QCD 定義于歐氏時空,在使用格點方法研究有限化學(xué)勢下的物理問題或者重核問題時,會遇到著名的“符號問題”.符號問題的本質(zhì)也是信噪比問題[10].對格點誤差的研究,是理解格點計算中符號問題物理根源的重要途徑.格點研究中最常見的計算量為場算符的歐氏時間多點關(guān)聯(lián)函數(shù).由于QCD 中的夸克場和膠子場均為復(fù)數(shù)場,因而得到的直接計算結(jié)果同樣為復(fù)數(shù),具有實部和虛部兩部分.容易證明,若所計算的關(guān)聯(lián)函數(shù)在CH 變換下[11]的因子為正,則計算結(jié)果的信號只存在于實部中,虛部完全為噪聲,在無窮大統(tǒng)計量極限下虛部為零①若CH 宇稱為負(fù),則結(jié)果在虛部中;若關(guān)聯(lián)函數(shù)不是CH 變換的本征態(tài),則實部虛部均有信號.本文只考慮CH 為正的情況,這包括了絕大部分的實際格點計算.,所以在大部分格點計算中,數(shù)據(jù)的虛部被直接丟棄.然而,近年來有研究發(fā)現(xiàn),在有限統(tǒng)計下,虛部對規(guī)范場采樣的分布與實部(信號)的誤差分布相關(guān).文獻[10,12]強調(diào)了格點關(guān)聯(lián)函數(shù)的分布是對數(shù)正態(tài)(log-normal)的,并以此為出發(fā)點,提出了一種全新的抽取基態(tài)能量的統(tǒng)計方法,并使用玩具模型以及真實格點QCD 數(shù)據(jù)對該方法進行了初步驗證.之后,美國華盛頓大學(xué)的格點合作組發(fā)展了這一想法[13,14],開始同時關(guān)注格點數(shù)據(jù)的虛部與實部分布,并指出相應(yīng)的復(fù)相位對規(guī)范場組態(tài)采樣的分布與格點計算的誤差密切相關(guān).在此基礎(chǔ)上,提出了在格點關(guān)聯(lián)函數(shù)的分析中使用相位重加權(quán)的思路提高信噪比.實際上,虛部分布與實部分布的相關(guān)性是可以理解的,這是因為它們共同來自于對復(fù)值規(guī)范場的隨機采樣.這樣的相關(guān)性可以幫助理解信號誤差的物理來源,進而幫助改進計算結(jié)果的信噪比.但是,已有研究尚未能給出相關(guān)性的確切形式以及完整有效的信號改進方案.本文通過分析具有非零動量的格點兩點關(guān)聯(lián)函數(shù)實部和虛部對組態(tài)采樣的分布,針對實、虛部分布的關(guān)系,給出了一種可以合理解釋格點數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)描述,并由此給出了自洽的信噪比改進方案.

2 兩點函數(shù)的實部與虛部

在格點研究中,介子兩點關(guān)聯(lián)函數(shù)是最基本的計算量之一,形式上可以表達為

其中O?(0) 代表粒子的產(chǎn)生算符,O代表粒子的湮滅算符,等式最右邊是關(guān)聯(lián)函數(shù)的譜分解形式,求和范圍是所有與算符O具有相同量子數(shù)的哈密頓量的本征態(tài).為精確抽取實、虛部的分布,本文使用由4000 個純規(guī)范組態(tài)構(gòu)成的統(tǒng)計系綜,格點大小為 163×192.價夸克作用量為clover 類型[15],有效夸克質(zhì)量取作奇異夸克質(zhì)量.為更好地確定采樣上的分布隨虛時t的變換,在計算中使用了非對稱的格子[16],空間方向格距約為0.138 fm,時間方向格距為空間格距的1/5,圖1 中橫坐標(biāo)t/at對應(yīng)格點間距.

圖1 縱坐標(biāo)為對數(shù)坐標(biāo)情況下,不同量子數(shù)和不同動量的兩點關(guān)聯(lián)函數(shù)Fig.1.Two-point correlations function with different quantum numbers and momenta when the vertical axis is in log scale.

本文主要關(guān)心標(biāo)量S,贗標(biāo)P以及矢量V三種量子數(shù).容易證明,產(chǎn)生、湮滅算符相同的兩點函數(shù)的CH 宇稱恒為正,信號在實部上,兩點函數(shù)實部的具體行為如圖1 所示.可以看到,標(biāo)量道的值衰減最快,對應(yīng)質(zhì)量(能量)最高,贗標(biāo)道的衰減最慢,對應(yīng)質(zhì)量(能量)最低.同時,帶一個單位動量(2π/L,L為格子空間長度)的情況比零動量情況衰減更快.這些都是符合物理實際的.

從圖1 還可以看到,對于標(biāo)量情況,實部的相對誤差隨時間增大而變大.盡管圖中其他兩種量子數(shù)的誤差由于絕對值太小而不可見,但可以證明(Lepage 規(guī)則[17,18]),除了零動量的贗標(biāo)道之外,其他量子數(shù)或動量的兩點函數(shù)的誤差都是隨時間指數(shù)增大的[6].這是一個重要的事實,一方面給實際格點計算帶來了極大的障礙,但另一方面也給理解誤差提供了線索,這一點之后會討論.現(xiàn)在,同時考慮虛部,重點關(guān)注在不同t下p21 的贗標(biāo)兩點函數(shù)其實部虛部在規(guī)范組態(tài)上的分布(圖2).通過觀察這些分布,可以總結(jié)出如下規(guī)律.

圖2 p2 1 的贗標(biāo)兩點函數(shù)其實部(上半部分)虛部(下半部分)在規(guī)范組態(tài)上的分布,從左至右分別對應(yīng) t/at 1,30 和90 的情況Fig.2.The real-part(upper panel) and imaginary-part(lower panel) distributions of the pseudoscalar two-point functions with p2 1 over gauge configurations.From left to right,the figures are for t/at 1,30 and 90,respectively.

i)實部的分布在小t,尤其是在中間t時是不對稱的,類似于對數(shù)正態(tài)分布.這一點可以通過(1)式給出解釋:在信號主導(dǎo)關(guān)聯(lián)函數(shù)的情況下,由于關(guān)聯(lián)函數(shù)恒正,其分布是以零為下限的.小t時兩點函數(shù)數(shù)值較大,下限對分布形狀影響不顯著;中間t時兩點函數(shù)數(shù)值接近零,下限顯著影響了分布函數(shù)的形狀.

ii)實部的分布在大t時趨向于對稱的正態(tài)分布,且其統(tǒng)計漲落已經(jīng)包含了負(fù)值.這說明,由于相對誤差在不斷增加,此時的兩點函數(shù)已經(jīng)不再是信號占主導(dǎo)地位了.

iii)虛部的分布一直都接近對稱的、以零為中心的正態(tài)分布.這符合信號在實部上、虛部在無窮大統(tǒng)計量極限下為零的理論要求.

iv)實部和虛部的分布隨時間增大都在變窄(絕對誤差在變小).但虛部分布變窄的速度比實部慢.具體而言,在t0處,實部分布的寬度近似為0.1,而虛部分布的寬度小于0.01,相比之下虛部寬度可忽略不計.而在t90處,實部分布與虛部分布的寬度均近似為 1×10-6,二者可比擬.

上述是針對單位動量贗標(biāo)情形總結(jié)的規(guī)律,實際上,對其他量子數(shù)也同樣適用.為了解釋以上關(guān)于實部、虛部在組態(tài)采樣上的分布行為,本文提出如下的理論假設(shè):

即實部分布函數(shù)R(x) 是虛部分布I(x) 與真實物理信號分布S(x) 的卷積,其中x和y代表規(guī)范組態(tài)采樣,K(Ux) 是一個與規(guī)范場Ux相關(guān)的核函數(shù).雖然是理論假設(shè),但由于沒有限定核函數(shù)的性質(zhì),(2)式具有理論意義上的普適性.考慮到所有的分布函數(shù)均起源于規(guī)范組態(tài)的采樣,理論上分布之間的關(guān)系可以通過具體考慮規(guī)范場采樣得到.為虛部分布增加與規(guī)范組態(tài)直接相關(guān)的核函數(shù)修正K(Ux),相當(dāng)于把規(guī)范場采樣的漲落顯式包含在公式中.

如果進而假設(shè)核函數(shù)是平庸的,則有

其中?表示卷積,即實部分布是信號分布與虛部分布的直接疊加.物理上,這里的虛部分布可以理解為(某種)誤差分布,因為我們知道虛部的真值為零,虛部的統(tǒng)計漲落反映了組態(tài)采樣的隨機性.從(2)式或(3)式出發(fā),可以解釋所有上述的數(shù)值結(jié)果.例如,在小t和中間t時,虛部分布的寬度與實部相比小很多,那么就有R(x)～S(x),信號是恒正的,信號分布是對數(shù)正態(tài)的,所以實部也是一樣.而在大t時,信號的值指數(shù)衰減到非常趨近于零,分布接近狄拉克δ函數(shù),虛部相對于信號而言更重要(虛部/信號衰減更慢),這時有R(x)～I(x),所以實部的分布趨向于對稱,且出現(xiàn)了負(fù)值.

實際上,還有更多證據(jù)支持(3)式.前面討論過,根據(jù)Lepage 規(guī)則,僅有零動量的贗標(biāo)兩點函數(shù)的誤差不隨時間增加而變大.但同時,零動量的贗標(biāo)兩點函數(shù)還有一個非常重要的性質(zhì):即便是在有限統(tǒng)計下,其虛部也是嚴(yán)格為零的.這是一個很有意思的事實,這說明,對于零動量贗標(biāo)情形,I(x)是以零為中心的δ函數(shù),R(x)S(x).也就是說,贗標(biāo)沒有虛部,其信噪比也不隨時間衰減.這為我們提供了一個自洽的極限例子.如果考慮信噪比改進的話,零動量贗標(biāo)情況就是我們的目標(biāo).當(dāng)然,(2)式及其特例(3)式的正確性很難從QCD 第一性原理直接導(dǎo)出.本文下一部分將進一步通過考慮實、虛部數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性具體驗證上述公式.

3 實部與虛部分布的統(tǒng)計相關(guān)性

兩個分布疊加而成的新分布的均值和方差與原始分布的均值和方差具有確定的關(guān)系.如(3)式可以給出

其中E表示分布的均值,V表示分布的方差.類似地,如果把核函數(shù)與虛部分布的整體視作一個新的“虛部分布”,則上述關(guān)系對于非平庸核函數(shù)的情況依舊成立.可以看到,由于方差為非負(fù),所以V(S)≤V(R),虛部分布的寬度越大,信號的方差比實部方差減小得越多.這直接提示我們,不直接使用實部的結(jié)果,而是通過(2)式或(3)式抽取信號分布,可以減小格點計算的統(tǒng)計誤差.但是,(4)式告訴我們,信號分布S(x) 的均值也同時相對于實部分布R(x) 發(fā)生了變換.數(shù)值上,既可以直接通過(5)式計算信號分布的方差,也可以利用如Jackknife 重采樣方法,在每個重采樣樣本中根據(jù)(4)式計算S(x) 的均值并由此估計S(x) 的分布方差.這是一個非常重要的驗證.由重采樣方法得到的方差直接反映了信號S在樣本上的分布,是更準(zhǔn)確的估計,如果兩種方法得到的方差不一致,則說明本文的理論出發(fā)點是不合理的.物理上,這對應(yīng)于一個直觀的要求:即如果抽取的新分布S(x) 的方差相對R(x) 減小,那S(x) 的均值就需要更接近真值.后文信號部分的所有方差計算均采用重采樣方法.

要通過重采樣方法得到減小的誤差,就需要在每個重采樣點上得到的S(x) 的均值都更接近于真值.考慮到Jackknife 重采樣的具體形式,即在不考慮組態(tài)自相關(guān)的情況下,每個重采樣樣本是樣本總體去掉某一個原始樣本所得,于是重采樣樣本的統(tǒng)計漲落與原樣本的漲落是同步的.進而可以推知,上述一致性的必要條件是,作為隨機變量,虛部和實部是統(tǒng)計正相關(guān)的.即如果在某個組態(tài)采樣上實部大于或小于實部的均值,那么虛部也同時會傾向于大于或小于虛部的均值.考慮到虛部的均值非常接近零,這樣在每個采樣點上,實部減去虛部之后都會更接近于實部的均值,那么實部的方差就會相應(yīng)地減小.

實際上,一般地,假設(shè)有兩個相關(guān)的隨機變量,O1,O2,滿足

其中C表示協(xié)方差:

則總會有

即如果O1,O2的協(xié)方差大于O2方差的1/2,那 么新隨機變量(O1-O2) 的方差減小.進一步考慮O1,O2的統(tǒng)計相關(guān)性

具體到關(guān)于關(guān)聯(lián)函數(shù)實、虛部相關(guān)性的討論取實部為O1,虛部為O2,以上公式可直接用于理解和估計誤差改進.例如,之前討論過,在t較大時,虛部的方差與實部相近,此時有

即誤差改進的程度取決于實部和虛部的相關(guān)性.當(dāng)相關(guān)性為1時,實部減虛部不再具有誤差,當(dāng)相關(guān)性為70%時,方差減為原方差的60%,當(dāng)相關(guān)性小于50%時,方差不再有改進.

以上討論詳細(xì)論述了(2)式和(3)式的自洽性,要求關(guān)聯(lián)函數(shù)的實部與虛部具有相當(dāng)?shù)南嚓P(guān)性.為了具體驗證(3)式,計算了單位動量贗標(biāo)關(guān)聯(lián)函數(shù)在每個t上實部和虛部之間的統(tǒng)計相關(guān)性(如圖3中藍色虛線所示).可以明顯看到,藍線在零上下漲落,即在平庸核函數(shù)的假設(shè)性下,實部和虛部之間并沒有表現(xiàn)出具有統(tǒng)計意義的相關(guān)性.這直接說明,即便可以解釋很多數(shù)據(jù)現(xiàn)象,(3)式也不足以反映真實的物理.

圖3 贗標(biāo)單位動量兩點關(guān)聯(lián)函數(shù)實部與虛部的統(tǒng)計相關(guān)性.藍色虛線表示原始數(shù)據(jù),橙色實線表示符號修正過的數(shù)據(jù)Fig.3.Statistical correlations between the real and imaginary parts of the pseudoscalar two-point correlation function with unit momentum,where the blue dashed line represents the original data,and the orange solid one is for the data after sign-correction.

那讓我們退回到(2)式.前面已經(jīng)討論過,考慮到實、虛部的分布均來自于規(guī)范場的采樣,加入跟規(guī)范場相關(guān)的修正核函數(shù)K(Ux) 之后,(2)式是具有普適性的.(3)式作為(2)式的簡化,相當(dāng)于取了完全平庸的核函數(shù),這目前看來是不夠的.可以進而假設(shè)核函數(shù)不是完全平庸的,但僅是符號函數(shù),只可能改變虛部的符號.這一點假設(shè)實際上是來自于上面對實部虛部相關(guān)性的討論.相關(guān)性要求實部虛部在各自均值上下同步漲落,又考慮到虛部的均值非常接近零,那么相關(guān)性就要求虛部的正負(fù)與實部的漲落方向是傾向于一致的.據(jù)此,我們對數(shù)據(jù)進行修正,改變虛部的符號使其與實部減實部均值的符號相同.所得結(jié)果如圖3 中橙色實線所示.可以看到,這樣修正之后,實部與虛部表現(xiàn)出了較強的關(guān)聯(lián)性(約 70%).

這里需要著重說明的是,由于修正虛部符號的準(zhǔn)則是使其與實部的漲落方向同步,圖3 的結(jié)果似乎陷入了循環(huán)論證.但實際上,這里只是修正了虛部漲落的方向,并沒有修正虛部漲落的幅度.作為對比,圖4 給出了在修正符號的基礎(chǔ)上,同時對虛部的值進行隨機擾動后的關(guān)聯(lián)性結(jié)果.可以看到,即便是1%量級的擾動,也會使相關(guān)性降到50%以下.僅有當(dāng)擾動弱到0.1%量級,相關(guān)性才能恢復(fù)到?jīng)]有擾動的情況.這說明,實部和虛部的相關(guān)性不僅依賴虛部的符號(漲落的方向),也強烈依賴虛部的大小(漲落的幅度).換言之,如果原本實部和虛部之間沒有任何聯(lián)系的話,僅修正符號是遠(yuǎn)不足以得到圖3 所示的相關(guān)性的,圖3 展現(xiàn)出的強的關(guān)聯(lián)性是高度非平庸的.這同時也說明,假定核函數(shù)K(Ux) 僅是一個符號函數(shù)是一個相當(dāng)經(jīng)濟且有效的假設(shè).修正符號之后,實部和虛部之間的相關(guān)性(部分)顯現(xiàn)了.此外,值得額外說明的是,在符號修正過程中,約23%的虛部符號由正改為負(fù),約26%的虛部符號由負(fù)改為正,修正之后的虛部依舊近似為以零為中心的對稱分布,這一點也是一個非常重要的檢驗.當(dāng)然將核函數(shù)近似為符號函數(shù)的有效性還有待通過分析更多更精確的格點數(shù)據(jù)進一步驗證.同時,后續(xù)的分析也將對確定核函數(shù)的具體形式提供更多的線索及限制.

圖4 在修正符號的基礎(chǔ)上,考慮對虛部的值進行擾動后的贗標(biāo)單位動量兩點關(guān)聯(lián)函數(shù)實部與虛部的統(tǒng)計相關(guān)性Fig.4.On the basis of sign-correction,the statistical correlations between the real and imaginary parts of the pseudoscalar two-point correlation function with unit momentum after distortions on the absolute values of the imaginary parts.

4 方差改進結(jié)果

在修正虛部符號的情況下,得到實部與虛部具有大約70%的統(tǒng)計相關(guān)性.根據(jù)前文的討論,我們期望可以由此改進兩點關(guān)聯(lián)函數(shù)的信號.利用Jackknife 重采樣方法,可以在每次重采樣時利用(4)式計算信號分布S(x) 的均值,在得到N(N4000)個重采樣均值后,可給出抽取的S(x) 在原始采樣數(shù)據(jù)上的分布方差.得到的數(shù)值結(jié)果如圖5 所示,方差的改進為60%—70%,這與(12)式給出的結(jié)果一致.值得注意的是,不同量子數(shù)的情況是基本相同的,也就是說,實部與虛部之間的關(guān)聯(lián)是與觀測量的具體形式無關(guān)的.

圖5 不同量子數(shù)兩點關(guān)聯(lián)函數(shù)的方差改進Fig.5.The variance improvements of two-point correlation functions with different quantum numbers.

目前為止,本文關(guān)注的主要是動量為一個格點單位動量的情況.一個直接的原因是零動量的贗標(biāo)兩點函數(shù)是純實的,無法從虛部入手改進.實際在物理上,非零動量的兩點關(guān)聯(lián)函數(shù)的虛部可以看作是 規(guī)范場采樣在空間方向上的漲落導(dǎo)致的.具體地,動量投影可分為實部虛部兩部分.這里余弦是偶函數(shù),正弦是奇函數(shù),所以如果關(guān)聯(lián)函數(shù)在空間上是對稱的,則僅有實部留存.但在有限統(tǒng)計下,規(guī)范場在空間正反方向上有漲落,關(guān)聯(lián)函數(shù)在空間的正反方向上就不完全對稱,導(dǎo)致有限的虛部.從這個角度出發(fā),我們還計算了不同動量情況下關(guān)聯(lián)函數(shù)實部虛部的相關(guān)性以及方差改進,矢量道的數(shù)值結(jié)果如圖6 所示.可以看到,與動量為1 的情況類似,對高動量的兩點函數(shù)也可以獲得類似的改進.限于目前的數(shù)據(jù)精度,不同動量情況下方差改進的區(qū)別和規(guī)律還不明晰.

圖6 不同動量矢量兩點關(guān)聯(lián)函數(shù)的方差改進Fig.6.The variance improvements of two-point correlation functions with different momenta.

5 總結(jié)與展望

本文通過分析非零動量格點兩點關(guān)聯(lián)函數(shù)實部與虛部對組態(tài)采樣的分布,提出了R(x)S(x)?[I(y)K(Uy)] 的理論猜想.并在假設(shè)核函數(shù)K(Uy)僅體現(xiàn)符號修正的前提下,數(shù)值驗證了實部與虛部的統(tǒng)計相關(guān)性,同時說明了該統(tǒng)計相關(guān)性是高度非平庸的,體現(xiàn)了實部與虛部的內(nèi)在關(guān)聯(lián).由此,通過抽取真實信號分布S(x),給出了利用虛部分布改進格點信號的一種可能,數(shù)值結(jié)果顯示,兩點關(guān)聯(lián)函數(shù)的方差可以降到改進前的約60%.

雖然目前得到的改進并不十分顯著,但原則上,如果可以全知核函數(shù)K(Ux) 的形式,或者對核函數(shù)有更強的約束,則可以進一步得到更強的相關(guān)性和更有效的誤差改進.這需要更精確的格點數(shù)值結(jié)果與先進的算法技術(shù).本質(zhì)上,通過分析有限的實部與虛部分布完全確定積分中的信號分布和核函數(shù)屬于求逆問題,是沒有唯一解的.但近年來格點領(lǐng)域出現(xiàn)了很多新的算法(如文獻[19-21]等),可以在考慮先驗條件的情況下給出求逆問題的最可能的解.利用這些算法進一步探索格點數(shù)據(jù)實部虛部的關(guān)系,幫助理解格點計算的誤差,為解決符號問題提供新的思路,是我們正在進行中的工作.

感謝美國肯塔基大學(xué)劉克非教授和中國科學(xué)院理論物理研究所楊一玻研究員的早期工作和討論.本工作的數(shù)據(jù)產(chǎn)生和數(shù)據(jù)分析分別在湖南師范大學(xué)湘江一號計算機群以及華南師范大學(xué)南方核科學(xué)計算中心完成.