基于準(zhǔn)正則模式的全電介質(zhì)超材料寬帶反射器機(jī)理*

蔣樂昕 謝振龍 郭澤虹 丘伊寧 陳溢杭

(華南師范大學(xué)物理學(xué)院,原子亞原子結(jié)構(gòu)與量子調(diào)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣東省高等學(xué)校物質(zhì)結(jié)構(gòu)與相互作用基礎(chǔ)研究卓越中心,廣州 510006)

全電介質(zhì)超材料寬帶反射器具備損耗低、反射效率高、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn),深入理解其反射帶的形成機(jī)理對超材料結(jié)構(gòu)和性能的優(yōu)化、以及進(jìn)一步設(shè)計(jì)新型光子器件均具有重要意義.本文利用離散的硅納米柱陣列和硅膜底層連接的硅納米柱陣列分別構(gòu)造了兩個(gè)全電介質(zhì)超材料寬帶反射器,通過求解其準(zhǔn)正則模式,結(jié)合散射矩陣?yán)碚摂M合出了超材料的反射譜.發(fā)現(xiàn)零頻準(zhǔn)正則模式對擬合準(zhǔn)確性有重要影響,并提出了用色散關(guān)系分析法準(zhǔn)確求解零頻準(zhǔn)正則模式.進(jìn)一步用高Q 值和低Q 值準(zhǔn)正則模式分別擬合出共振反射譜和背景反射譜.結(jié)果表明,超材料反射器的寬帶反射源于低Q 值的準(zhǔn)正則模式造成的背景反射.本文提出的研究方法可進(jìn)一步拓展,用于分析Mie 共振、準(zhǔn)連續(xù)域束縛態(tài)等共振現(xiàn)象,為超材料光譜特性的解釋提供新的思路.

1 引言

超材料寬帶反射器在許多領(lǐng)域有重要的應(yīng)用,包括激光反射鏡、熱光伏器件、表面增強(qiáng)拉曼散射等[1-3].研究人員致力于設(shè)計(jì)反射率高、工作帶寬大、結(jié)構(gòu)緊湊的近紅外反射器,以提高器件的工作效率.基于表面等離激元效應(yīng)的金屬結(jié)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)寬帶的電磁波反射,然而金屬結(jié)構(gòu)在可見及近紅外波段的歐姆損耗較大,反射效率較低[4,5],難以滿足實(shí)際應(yīng)用的需求.盡管有研究提出用金屬和電介質(zhì)的復(fù)合諧振結(jié)構(gòu)可降低損耗[6],但仍無法實(shí)現(xiàn)寬帶近完美反射.由高、低折射率電介質(zhì)薄膜交替堆疊形成的布拉格反射器,具有損耗低、反射帶較寬的優(yōu)點(diǎn),然而工作在可見及近紅外波段的布拉格反射器需要層數(shù)較多(通常是幾十層)的薄膜堆疊才能獲得理想的反射性能[7,8],其結(jié)構(gòu)厚度遠(yuǎn)超工作波長,在實(shí)際應(yīng)用中受到了限制.由高折射率電介質(zhì)微結(jié)構(gòu)組成的超材料可在亞波長的厚度實(shí)現(xiàn)寬帶近完美反射,因此受到了廣泛的關(guān)注[9-11].以往研究大多采用導(dǎo)模共振(guide mode resonance,GMR)[9-14]來解釋這類反射器的工作機(jī)理.為方便理解GMR,假設(shè)超材料反射器為一維光柵結(jié)構(gòu),如圖1(a)所示,它沿x方向呈周期性,沿y方向無限長,由高折射率(nH)電介質(zhì)單元在基底(折射率為nS)上排列構(gòu)成,厚度為d,背景介質(zhì)折射率為nL,I,R和T 分別表示入射光、反射光和透射光,在正入射情況下,反射率隨角頻率ω的變化如圖1(b)所示,從圖中可看出存在共振線型,GMR 理論對此的解釋是:入射光能激發(fā)出光柵中的泄露模式(leaky modes)[9],從而產(chǎn)生窄帶或?qū)拵Ч舱窬€型,這種模式是在光柵內(nèi)沿x方向傳播的布洛赫模,由于該模式能與外界耦合,其能量會在傳播過程中向光柵上下兩側(cè)泄露,如圖1(c)所示,其傳播常數(shù)β為復(fù)數(shù)βR+iβi,虛部βi代表模式會隨傳播距離指數(shù)衰減,如圖1(d)所示.該模式的色散關(guān)系βR-ω如圖1(e)所示,在正入射情況下(βR=0),當(dāng)滿足位相匹配條件(如對應(yīng)圖1(c)中GMR1 和GMR2)時(shí)能激發(fā)出泄露模,并在反射譜相應(yīng)的頻率位置附近形成共振線型,如圖1(b)所示,此外,圖1(e)中兩處紅色標(biāo)記處同樣滿足位相匹配,但相應(yīng)模式的對稱性與自由空間中模式不匹配,導(dǎo)致這類模式在正入射下無法被激發(fā)[9].GMR 理論能較好解釋弱對比結(jié)構(gòu)(nH和nL數(shù)值接近)的共振現(xiàn)象,但無法準(zhǔn)確描述強(qiáng)對比結(jié)構(gòu)(nH和nL差異較大)中寬帶共振現(xiàn)象的物理來源[11].

最近,準(zhǔn)正則模式(quasi-normal modes,QNMs)的概念被拓展到了光子學(xué)領(lǐng)域[15-17],它是指滿足無源麥克斯韋方程組且本征頻率為復(fù)數(shù)Ω-iΓ的本征態(tài),這些模式隨時(shí)間呈指數(shù)衰減,如圖1(g)所示,虛部Γ代表衰減速率,且由于 QNMs 在自由空間中的輻射具有 e±iωz/c(c為光速)的形式(±代表沿z軸正方向或負(fù)方向輻射),其振幅隨著遠(yuǎn)場傳播距離|z| 增大而指數(shù)發(fā)散,同時(shí)也意味著模式的能量會隨時(shí)間推移而泄露到外界,如圖1(f)所示.QNMs 與散射過程密切相關(guān),結(jié)合時(shí)域耦合模方程(temporal coupled-mode theory,TCMT)[18-20]能擬合出散射矩陣及相應(yīng)的反射譜或透射譜.圖1(h)展示了兩個(gè)QNMs 的復(fù)本征頻率及它們分別獨(dú)立形成的反射譜線型,在僅考慮單個(gè)QNM 的情況下,其譜線為洛倫茲線型,共振頻率為Ωn(n···,-1,0,1,···),半高寬為 2Γn.但TCMT 會考慮到QNMs 之間的耦合作用,從而擬合出如圖1(b)中的譜線,其共振頻率相比于Ωn略有偏移,共振帶寬接近 2Γn.相比GMR 理論,QNMs 的優(yōu)勢在于不僅能預(yù)測共振頻率和共振帶寬,且能進(jìn)一步擬合出反射譜.文獻(xiàn)[18-23]報(bào)道的擬合結(jié)果均與數(shù)值仿真結(jié)果吻合,但它們討論的范圍僅限于單個(gè)或少量的QNMs,一般只用于解釋窄帶共振現(xiàn)象.最近,Alpeggiani 等[24]對基于TCMT 的散射矩陣?yán)碚?scattering matrix theory,SMT)進(jìn)行拓展,使其能夠同時(shí)考慮多個(gè)QNMs,揭示出復(fù)雜散射是由若干QNMs 之間相互耦合形成的.但Benzaouia 等[25]指出以上SMT 的擬合結(jié)果違背了能量守恒(即在無源結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)了反射率大于1 的情況),并對其進(jìn)行修正,進(jìn)一步應(yīng)用于微波段超表面結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)[26].然而當(dāng)前仍缺乏運(yùn)用QNMs 對寬帶共振現(xiàn)象的分析研究.

本文運(yùn)用QNMs 對超材料寬帶反射的形成機(jī)理進(jìn)行研究.首先利用硅納米柱陣列構(gòu)造了超材料反射器,在近紅外波段實(shí)現(xiàn)了寬帶近完美反射.接著,運(yùn)用基于QNMs 的SMT 對結(jié)構(gòu)的反射譜進(jìn)行了擬合,發(fā)現(xiàn)零頻QNM(頻率實(shí)部為0,虛部不為0)對反射譜擬合的準(zhǔn)確度影響較大,進(jìn)一步用色散關(guān)系分析法準(zhǔn)確求解零頻QNM.接著,利用低Q值和高Q值的QNMs 分別擬合出背景反射譜和共振反射譜,揭示了寬帶反射主要源于低Q值QNMs 提供的背景反射.最后討論了引入硅薄膜底層對超材料反射性能的影響.

2 基于準(zhǔn)正則模式的散射矩陣?yán)碚?/h2>

2.1 準(zhǔn)正則模式

QNMs 與正則模式(normal modes,NMs)類似,它們都是所研究結(jié)構(gòu)在外界無激勵情況下支持的本征模式,滿足無源麥克斯韋本征方程[15]:

當(dāng)所研究結(jié)構(gòu)具有損耗或處于開放的空間時(shí),方程(1)描述的將是一個(gè)非厄密系統(tǒng),其本征頻率用復(fù)數(shù)ωnΩn-iΓn表示,虛部Γn是模式的衰減速率,QnΩn/2Γn是模式的品質(zhì)因子,根據(jù)Γn是否為0,本征模式可劃分為NMs 和QNMs.Γn0對應(yīng)NMs,其振幅不隨時(shí)間衰減,共振線寬為0,在光譜中無法形成共振線型,但實(shí)際結(jié)構(gòu)均有損耗且處于開放的空間中,因此NMs 僅存在于理想情況.在無損結(jié)構(gòu)中的波導(dǎo)導(dǎo)模和連續(xù)域束縛態(tài)均屬于NMs.而Γn0 對應(yīng)QNMs,其振幅隨時(shí)間指數(shù)衰減,具有共振線寬,能在光譜上形成相應(yīng)的共振線型.法布里-珀羅共振模式、泄露模式、準(zhǔn)連續(xù)域束縛態(tài)和Mie 共振模式等均屬于QNMs.通常采用有限元(finite element method,FEM)法求解QNMs,通過引入完美匹配層(perfect matching layers,PMLs)來截?cái)喾抡鎱^(qū)域并將空間離散化,方程(1)將由微分方程變?yōu)橛邢蘧S矩陣的特征方程,通過數(shù)值方法即可對QNMs 進(jìn)行求解.

2.2 散射矩陣?yán)碚?/h3>

根據(jù)Benzaouia 等[26]所提出的SMT,若只考慮包含兩個(gè)端口的線性光學(xué)系統(tǒng),則分別在兩端口的入射光振幅s+[s+1s+2]T和散射光振幅s-[s-1s-2]T滿足線性變換關(guān)系s-S(ω)s+,其中S(ω)為與入射光角頻率相關(guān)的散射矩陣.假設(shè)光在端口1 入射,即s+[1 0]T,則反射率和透射率分別為|S11|2和|S12|2.S可做進(jìn)一步的矩陣分解:

其中S′和C分別是由較高和較低Q值的QNMs所構(gòu)成的共振散射矩陣和背景散射矩陣,在光譜中分別產(chǎn)生較窄或較寬的共振線型,它們的表達(dá)式分別為

3 超材料寬帶反射器的理論解釋

3.1 基于硅納米柱陣列的超材料反射器

如圖2(a)所示,超材料寬帶反射器由硅柱陣列構(gòu)成,晶格常數(shù)Λ0.65 μm,硅柱直徑為D,高度為H.硅折射率nH=3.464,背景介質(zhì)折射率nL=1.采用有限時(shí)域差分法(finite-difference time-domain,FDTD)對硅柱的高度、直徑做多次掃描得到反射譜的變化規(guī)律,以優(yōu)化超材料的結(jié)構(gòu)參數(shù),最終確定圓柱的參數(shù)為H=0.41 μm,D=0.48 μm.數(shù)值仿真中光源設(shè)置為平面波,沿z軸入射,電場偏振方向沿x軸.圖2(b)顯示了當(dāng)硅柱直徑固定為D=0.48 μm時(shí),反射譜隨硅柱高度的變化規(guī)律.定義近完美反射帶需滿足反射率R＞0.95,從圖2(b)可見,H=0.41 μm 對應(yīng)的近完美反射帶寬達(dá)到極大.隨后固定H=0.41 μm,數(shù)值仿真了超材料的反射譜隨硅柱直徑的變化關(guān)系,如圖2(c)所示.從圖中可見,當(dāng)D=0.48 μm時(shí),近完美反射帶寬達(dá)到極大.結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化后的超材料反射譜如圖2(d)所示(對應(yīng)圖2(b),(c)中的白色虛線),陰影區(qū)域表示近完美反射波段(1.35—1.59 μm).

圖2 (a) 離散硅納米柱陣列構(gòu)造的超材料反射器示意圖;(b) 固定硅柱直徑D=0.48 μm,對應(yīng)的反射譜隨硅柱高度 H 的變化,當(dāng)H=0.41 μm時(shí),近完美反射帶寬達(dá)到極大;(c) 固定硅柱高度H=0.41 μm,對應(yīng)的反射譜隨硅柱直徑 D 的變化,當(dāng)D=0.48 μm時(shí),近完美反射帶寬達(dá)到極大;(d) 優(yōu)化后結(jié)構(gòu)(H=0.41 μm,D=0.48 μm)的反射譜(對應(yīng)圖(b),(c)的白色虛線),陰影部分為近完美反射波段(1.35—1.59 μm)Fig.2.(a) Schematic of the metamaterial reflector composed of discrete silicon(Si) cylinders with the lattice constant Λ0.65 μm ;(b) simulated reflection spectrum as a function of the cylinder height H when the cylinder diameter is fixed as D=0.48 μm,a widest near-perfect reflection band is observed when H=0.41 μm;(c) simulated reflection spectrum as a function of the cylinder diameter D when the cylinder height is fixed as H=0.41 μm,it can be seen that the near-perfect reflection band reaches a maximum bandwidth when D=0.48 μm;(d) the reflection spectrum of the optimized structure with H=0.41 μm and D=0.48 μm,corresponding to the white dashed lines in Figs.(b),(c),and the shadow region corresponds to the near-perfect reflection band where R ＞ 0.95.

接著對優(yōu)化后超材料結(jié)構(gòu)的QNMs 的{ωn,σn}進(jìn)行求解.因QNMs 具有一定帶寬,處在擬合頻段外的QNMs 也會影響擬合頻段內(nèi)的反射譜,在擬合過程中需考慮該影響以確保擬合結(jié)果的準(zhǔn)確性[24].這里設(shè)置擬合頻率ω為0—1.8×1015Hz,覆蓋了圖2(d)中近完美反射帶頻段,同時(shí)計(jì)算了頻率在0—2.3×1015Hz 內(nèi)的QNMs(見附錄A).值得注意的是,在FEM 求解過程中使用了離散化的網(wǎng)格,并采用PMLs 對仿真區(qū)域進(jìn)行截?cái)?這使得零頻QNM 難以求解[24,25],然而零頻QNM 具有較大的線寬,對散射譜擬合的影響較大,因此需對其精確求解.在低頻情況下,可將單層超材料等效為均勻薄膜,根據(jù)單層薄膜的本征方程可得到零頻解[25]:

其中neff為有效折射率,d為薄膜厚度.文獻(xiàn)[25]通過平均折射率法近似得到結(jié)構(gòu)的有效折射率,進(jìn)而獲得零頻QNM解,并采用FEM 對求解結(jié)果作高精度優(yōu)化,然而該方法求解時(shí)間長且結(jié)果誤差較大.

為準(zhǔn)確得到超材料的有效折射率,使用嚴(yán)格耦合波分析(rigorous coupled wave analysis,RCWA)計(jì)算了參數(shù)優(yōu)化后的超材料反射器的色散關(guān)系,如圖3(a)所 示(G為倒格矢2π/Λ),當(dāng)k0趨于0 時(shí)neff=k/k0=1.58.將硅柱層厚度d=0.41 μm 和neff代入(6)式即可求得ω0-i·6.91×1014Hz.而平均折射率法的計(jì)算結(jié)果為2.39,對應(yīng)-i·2.54×1014Hz.為了對比兩種方法的計(jì)算誤差,將色散關(guān)系分析法計(jì)算得到的零頻QNM以及所有非零頻QNMs 代入(2)式—(5)式,得到擬合的反射譜|S11|2(這里不對S進(jìn)行分解以確保擬合準(zhǔn)確),如圖3(b)中綠色虛線所示,該擬合結(jié)果與FDTD 的仿真結(jié)果(黑色實(shí)線)完美吻合.而采用平均折射率法得到的擬合反射譜如紅色虛線所示,相比FDTD 仿真結(jié)果的誤差較大.若忽略零頻QNM,所得到的擬合反射譜如藍(lán)色虛線所示,與FDTD 仿真結(jié)果同樣存在較大誤差.

圖3 (a) 結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化后的超材料反射器的色散關(guān)系,其中k 為z 方向的波矢分量,k0 ω/c,G=2π/Λ ;(b) 數(shù)值仿真得到的反射譜,忽略零頻QNM 擬合得到的反射譜,分別用色散關(guān)系分析法和平均折射率法得到的零頻QNM代入SMT 進(jìn)行擬合所得到的反射譜Fig.3.(a) Dispersion relationship of the metamaterial reflector with optimized structural parameters,where k is the wave vector component along z direction,k0 ω/c,G=2π/Λ;(b) the reflection spectrum obtained by FDTD simulation,the fitting spectrum when the zero-frequency QNM is ignored,and the fitting spectrum when the zero-frequency QNM is obtained by dispersion relation analysis method and average refractive index method,respectively.

為分析硅柱陣列超材料的寬帶反射形成機(jī)制,將S分解為S′C做進(jìn)一步探究.圖4(a)展示了QNMs的復(fù)本征頻率,其數(shù)字編號代表相應(yīng)的QNMs 序號n.圖4(b)中黑色實(shí)線為超材料反射譜的數(shù)值仿真結(jié)果,可以初步判定,在1.45×1015Hz 和1.73×1015Hz 附近存在明顯的窄帶共振,分別對應(yīng)圖4(a)中的n=2 和n=4 的QNMs 位置,如圖中雙向箭頭所示,這些模式的半高寬 2Γn較小,可形成清晰的窄帶共振線型,因此將它們界定為高Q值QNMs.同理,在擬合頻段外(1.8×1015—2.3×1015Hz),除了n=7 的QNM,其余均為高Q值QNMs.因此,將n=0,1,3,5,7 界定為低Q值QNMs,其余為高Q值QNMs,將它們代入(3)式—(5)式可得到背景反射率|C11|2和共振反射率,如圖4(b)中綠色、紅色虛線所示,陰影部分表示近完美反射頻段.當(dāng)入射光頻率為0—1.3×1015Hz時(shí),由于遠(yuǎn)離高Q值QNMs 的共振頻率,即||ω-||?根據(jù)(3)式和(5)式可得S′≈I,因此共振反射率≈1,即不存在變化劇烈的共振線型,高Q值QNMs 對散射過程的貢獻(xiàn)可忽略,此時(shí)S ≈C,總反射近似等于背景反射.當(dāng)入射光頻率接近高Q值QNMs 的頻率時(shí),會使得總反射形成窄帶線型,而低Q值QNMs 形成的背景反射隨頻率變化平緩,是造成寬帶反射的主要原因.

圖4 (a) 硅柱陣列超材料反射器的QNMs 復(fù)本征頻率;(b)分別用低Q、高Q 值QNMs 進(jìn)行擬合得到的背景反射譜和共振反射譜,以及數(shù)值仿真得到的反射譜Fig.4.(a) Complex frequencies of the QNMs for the metamaterial reflector composed of Si cylinder array;(b) the background reflection spectra and resonance reflection spectra fitted by low-Q and high-Q QNMs,respectively,and the reflection spectrum obtained by FDTD simulation.

為分析低Q值QNMs 形成背景反射的過程,首先根據(jù)SMT 擬合出了部分低Q值QNM 獨(dú)立形成的反射譜,如圖5(a)所示.圖中紅色、綠色和藍(lán)色實(shí)線分別代表n=0,n=1 和n=3 的QNM擬合結(jié)果,隨后考慮低Q值QNMs 之間的耦合作用,分別將n=0,1;n=0,1,3 和n=0,1,3,5的QNMs 代入SMT 進(jìn)行擬合,得到如圖5(b)中綠色、藍(lán)色和紫色實(shí)線所示的反射譜,對比圖5(a)和圖5(b)可見,QNMs 在發(fā)生耦合之后所形成譜線保留了單個(gè)QNM 的譜線特征.例如圖5(b)中任一耦合反射譜在n=1 的QNM 本征頻率附近均存在共振線型,隨著參與擬合的QNMs 數(shù)目增多,擬合結(jié)果會逐漸接近背景反射譜.綜上所述,超材料的寬帶反射來源于若干低Q值QNMs 之間相互耦合形成的背景反射,單個(gè)QNM 的譜線能反映背景反射譜的部分特征.

圖5 (a)單個(gè)低Q 值QNM 形成的反射譜,紅色、綠色和藍(lán)色實(shí)線分別為n=0,n=1 和n=3 的QNM 代入SMT擬合得到的反射譜;(b)多個(gè)低Q 值QNMs 耦合形成背景反射的過程,綠色、藍(lán)色和紫色實(shí)線分別對應(yīng)將n=0,1;n=0,1,3 和n=0,1,3,5 的QNMs 代入SMT 擬合得到的反射譜,隨著參與擬合的QNMs 數(shù)目增加,擬合反射譜逐漸貼近背景反射譜(黑色實(shí)線)Fig.5.(a) The reflection spectra formed by individual low-Q QNM.The red,green,and blue solid lines represent the fitted spectra obtained by substituting QNMs with n=0,n=1,and n=3 into SMT,respectively;(b) the process of multiple low-Q QNMs forming the background reflection.The green,blue,and purple solid lines represent the fitted reflection spectra obtained by substituting QNMs with n=0,1;n=0,1,3;and n=1,3,5 into SMT,respectively.As the increase of the QNMs involved in the fitting process,the fitted reflection spectrum approaches the background reflection spectrum(black solid line).

3.2 含硅膜底層的超材料反射器

進(jìn)一步考慮將厚度為dS的硅薄膜沉積在結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化后的硅柱陣列下方,實(shí)現(xiàn)近完美反射帶的拓寬,如圖6(a)所示.對不同硅膜底層厚度dS的超材料進(jìn)行數(shù)值仿真,得到反射譜的變化規(guī)律,如圖6(b)所示.當(dāng)dS=0.24 μm時(shí),近完美反射帶寬達(dá)到極大,相應(yīng)的反射譜如圖6(c)黑色實(shí)線所示,陰影部分為近完美反射波段(1.33—1.65 μm).對比無硅膜底層結(jié)構(gòu)的反射譜(藍(lán)色實(shí)線)可發(fā)現(xiàn),硅膜底層的引入拓寬了超材料的近完美反射帶.

圖6 (a)含硅膜底層的超材料結(jié)構(gòu)示意圖;(b)固定硅柱高度H=0.41 μm 和直徑D=0.48 μm,反射譜隨硅膜厚度dS 的變化規(guī)律,當(dāng)dS=0.24 μm時(shí),近完美反射帶寬達(dá)到極大;(c)無硅膜底層的超材料結(jié)構(gòu)反射譜(藍(lán)色實(shí)線),硅膜底層dS=0.24 μm 的超材料結(jié)構(gòu)反射譜(黑色實(shí)線,對應(yīng)圖(b)中白色虛線)及其擬合反射譜(綠色虛線)Fig.6.(a) Schematic of the Si-cylinders-based metamaterial reflector with a Si sublayer;(b) simulated reflection spectrum as a function of the thickness of the Si sublayer dS when fixing H=0.41 μm and D=0.48 μm.When dS=0.24 μm,the bandwidth of the near-perfect reflection band(R ＞ 0.95) reaches a maximum;(c) the simulated reflection spectrum of the metamaterial reflector without Si sublayer(blue solid line),the simulated reflection spectrum of the metamaterial reflector with a 0.24 μm-thick Si sublayer(black solid line,corresponding to the white dashed line in figure(b)) and its fitting result(green dashed line).

為分析含硅膜底層結(jié)構(gòu)反射帶的形成機(jī)理,對其QNMs 進(jìn)行了求解(結(jié)果見附錄B).由于此時(shí)超材料可視為雙層結(jié)構(gòu)(硅柱層和硅膜層),(6)式不再適用求解其零頻QNM,這里采用搜尋散射矩陣極點(diǎn)的方法[27]得到零頻QNM:{ω0-i·1.68×1014Hz,σ=0.86}.將所有的QNMs 代入(2)式—(5)式進(jìn)行擬合得到了結(jié)構(gòu)的反射譜,如圖6(c)中綠色虛線所示,與其數(shù)值仿真結(jié)果高度吻合.

圖7(a)展示了含硅膜底層超材料的QNMs 的復(fù)本征頻率,對比圖4(a)可發(fā)現(xiàn),硅底層薄膜的引入會使得結(jié)構(gòu)的QNMs 數(shù)量變多,圖7(b)中黑色實(shí)線為數(shù)值仿真結(jié)果,在頻率為1.03×1015Hz,1.49×1015Hz,1.62×1015Hz,1.79×1015Hz 附近處均存在明顯的窄帶共振線型,分別對應(yīng)圖7(a)中n=2,8,10,11 的QNMs(如雙向箭頭所示),因此將其界定為高Q值QNMs,其余為低Q值QNMs.將它們代入(3)式—(5)式可得到背景反射譜和共振反射譜,如圖7(b)中綠色、紅色虛線所示,陰影部分表示近完美反射頻段.從圖中可見背景反射譜與數(shù)值仿真結(jié)果在陰影部分內(nèi)高度重合,這同樣說明了超材料的寬帶近完美反射主要來源于背景反射,在硅柱陣列的基礎(chǔ)上引入底層薄膜會使得低Q值QNMs 數(shù)目增多,從而拓寬近完美反射帶.

圖7 (a)含硅膜底層的超材料的QNMs 復(fù)本征頻率;(b)分別用低Q、高Q 值QNMs 進(jìn)行擬合得到的背景反射譜(綠色虛線)和共振反射譜(紅色虛線)及數(shù)值仿真得到的反射譜(黑色實(shí)線)Fig.7.(a) Complex frequencies of QNMs for the metamaterial with a Si sublayer;(b) the background reflection spectra(green dashed line) and resonance reflection spectra(red dashed line) fitted by low-Q and high-Q QNMs,respectively,and the reflection spectrum obtained by FDTD simulation(black solid line).

4 結(jié)論

本文運(yùn)用基于QNMs 的SMT 分析了基于硅納米柱陣列的超材料的寬帶反射形成機(jī)理,指出寬帶反射來源于若干低Q值QNMs 提供的背景反射,單獨(dú)QNM 的譜線能反映出背景反射譜的部分特征.硅膜底層的引入使得低Q值QNMs 數(shù)目增大,從而拓寬了反射帶.運(yùn)用色散關(guān)系獲得了超材料的有效折射率,進(jìn)而精確求出零頻QNM,使得SMT 擬合出的反射譜線完美貼合FDTD 仿真結(jié)果.本文提出的研究方法能拓展至其他寬帶共振現(xiàn)象的分析,為理解超材料的光譜特性提供了新的思路.

附錄 A 硅柱陣列結(jié)構(gòu)的QNMs 求解結(jié)果

對圖2(a)所示的超材料結(jié)構(gòu)的QNMs 進(jìn)行求解,得到的復(fù)本征頻率ωn、品質(zhì)因子Qn、遠(yuǎn)場復(fù)振幅比σn如表A1所示,其中加粗字體表示低Q值QNMs.因結(jié)構(gòu)在z方向上具有鏡像對稱性,QNMs可以被分為關(guān)于z方向的奇模式或偶模式,對應(yīng)σn為-1或1.

附錄 B 含硅膜底層的硅柱陣列結(jié)構(gòu)的QNMs 求解結(jié)果

對圖6(a)所示的含硅底層結(jié)構(gòu)的QNMs 進(jìn)行求解,得到的復(fù)本征頻率ωn、品質(zhì)因子Qn、遠(yuǎn)場復(fù)振幅比σn如表B1 所示(加粗字體表示低Q值QNMs).因硅膜底層的引入導(dǎo)致結(jié)構(gòu)在z方向的鏡像對稱性打破,QNMs 在z方向上的分布不再是對稱的,此時(shí)σn≠±1.

表A1 圖2(a)所示結(jié)構(gòu)的QNMs 的復(fù)本征頻率ωn、品質(zhì)因子Qn 和遠(yuǎn)場復(fù)振幅比σnTable A1.The complex eigen-frequencies ωn,quality factor Qn,and ratio of far-field complex amplitude σn of QNMs.