帶有微孔黏彈性芯層的纖維金屬混雜層合板振動分析模型

姜世杰，王子恒，于長帥,3，任旭輝，王昕彤，王相平，韓清凱，李 暉,

(1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院，沈陽 110819；2.東北大學(xué) 航空動力裝備振動及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽 110819；3.中國科學(xué)院 沈陽自動化所機(jī)器人學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽 110016；4.遼寧省航空發(fā)動機(jī)沖擊動力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽 110015)

纖維金屬混雜層合板(fiber metal laminated plate, FMLP)被廣泛用于航空航天領(lǐng)域[1-5]。然而，現(xiàn)階段隨著飛行器振動噪聲問題越來越突出[6-8]，F(xiàn)MLP已無法滿足減振降噪的需求，為此國內(nèi)外研究人員把目光投向了帶有微孔黏彈性芯層(microporous-viscoelastic layers,MVL)的FMLP結(jié)構(gòu)(簡稱為MVL-FMLP)。其由帶有微孔結(jié)構(gòu)的高分子黏彈性層與纖維樹脂層交替鋪設(shè)，并與金屬外層粘接而成，具有質(zhì)量輕、減振降噪能力強(qiáng)、抗疲勞性能突出、成本較低等一系列優(yōu)點(diǎn)。

對于帶微孔軟芯層的不同層數(shù)、不同鋪設(shè)形式的多種FMLP結(jié)構(gòu)的振動特性研究，近年來國內(nèi)外做了大量工作。賴余東[9]基于均一化思想建立了帶蜂窩夾芯的復(fù)合材料板結(jié)構(gòu)的有限元模型，并研究了蜂窩體胞尺寸參數(shù)對結(jié)構(gòu)固有頻率的影響?；赗eissner理論，任樹偉等[10]提出了蜂窩夾芯層合板結(jié)構(gòu)的自由振動與聲振耦合理論模型，系統(tǒng)性地研究了芯層幾何尺寸、層合板結(jié)構(gòu)尺寸和聲波入射方向等因素對結(jié)構(gòu)的振動特性和隔聲特性影響。Xiao等[11]建立了帶有質(zhì)量密度梯度放入泡沫芯層夾芯板的自由振動分析模型，并討論了芯層材料參數(shù)對結(jié)構(gòu)固有頻率的影響。基于修正后的Gibson公式，邸馗等[12]研究了對邊簡支邊界下，帶有負(fù)泊松比的蜂窩夾層板板厚比、芯層厚度及胞元角度的改變對結(jié)構(gòu)前4階固有頻率的影響?；诎虢馕龇?，Heshmati等[13]求解了彈性地基邊界下帶有功能梯度的多孔材料板結(jié)構(gòu)的固有頻率。Li等[14]分析了熱環(huán)境下石墨烯增強(qiáng)的功能梯度多孔夾芯板結(jié)構(gòu)的非線性振動響應(yīng)。通過仿真與試驗(yàn)手段，Yurddaskal等[15]研究了曲率和泡沫密度參數(shù)對多孔泡沫夾芯板結(jié)構(gòu)固有特性的影響規(guī)律。考慮壓電效應(yīng)和馮卡門大變形理論，Zeng等[16]建立了電負(fù)載下帶有功能梯度多孔材料芯層的壓電三明治板結(jié)構(gòu)的非線性振動模型。基于非均勻電場模型，Zhu等[17]討論了彈性地基等參數(shù)對帶有多孔黏彈性芯層的錐形夾芯板非線性振動特性的影響。

綜上，現(xiàn)有研究中很少關(guān)注帶有二維規(guī)則分布微孔的黏彈性夾層結(jié)構(gòu)。另外，上述研究較少關(guān)注并求解結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動響應(yīng)與阻尼參數(shù)，無法全面評價該類型結(jié)構(gòu)的振動特性。為填補(bǔ)該類型層合結(jié)構(gòu)在動力學(xué)性能研究方面的缺失，本文考慮了上述影響，建立了帶有微孔黏彈性芯層的FMLP結(jié)構(gòu)振動分析模型。在設(shè)計(jì)并制備獲得帶有二維規(guī)則分布微孔的黏彈性材料的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)得出該類型材料的等效彈性模量，結(jié)合解析建模和試驗(yàn)測試，研究了微孔幾何參數(shù)對層合結(jié)構(gòu)固有頻率、振動響應(yīng)、阻尼性能的影響。本文所建立的理論模型可為該類型層合結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)與減振工程應(yīng)用提供重要參考。

1 理論模型

1.1 模型描述

所研究的MVL-FMLP結(jié)構(gòu)的理論模型如圖1所示。以其中面作為參考平面，建立o-xyz坐標(biāo)系。假設(shè)其長為a，寬為b，黏彈性層厚度為hv，纖維層厚度為hf，金屬層厚度為hm。且假設(shè)纖維層由n層纖維布構(gòu)成，各層纖維厚度相等，均為hf/n，纖維主軸方向與x軸的夾角為θ。同時，在微孔黏彈性層中，孔直徑為d，沿x，y，z3個方向上的孔間距分別為p、q和m。此外，假設(shè)MVL-FMLP結(jié)構(gòu)處于一端約束的懸臂邊界條件，在R0(x0,y0)位置受到一個單點(diǎn)脈沖激勵載荷f(t)的作用。

圖1 MVL-FMLP結(jié)構(gòu)理論模型

1.2 位移假設(shè)

根據(jù)經(jīng)典層合板理論，纖維層與金屬層的位移場如下

(1)

式中：u、v、w為板內(nèi)任意一點(diǎn)位移；u0、v0、w0為中面位移；t為時間。

由于研究對象為對稱結(jié)構(gòu)，僅需考慮橫向振動的影響。因此，纖維層與金屬層內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變可表示為

(2)

式中，εx、εy和γxy分別為對應(yīng)方向的正應(yīng)變和切應(yīng)變。

考慮到微孔黏彈性層中存在剪切變形[18-19]，采用高階剪切變形理論將MVL-FMLP結(jié)構(gòu)中黏彈性層的位移場表示為

(3)

式中：Ψ=z-4z3/3h2；φx與φy分別為垂直于中面的直線在xoz面與yoz面內(nèi)的轉(zhuǎn)角。

微孔黏彈性層的應(yīng)變可表示為

(4)

1.3 材料參數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)[20]，微孔黏彈性材料與構(gòu)成孔壁材料的彈性模量之間有如下關(guān)系

(5)

式中：Ev、Gv、ρv分別為微孔黏彈性材料的楊氏模量、剪切模量與密度；Es、Gs、ρs分別為構(gòu)成孔壁材料的相應(yīng)參數(shù)。

將孔的幾何參數(shù)d、p、q、m代入式(5)，可導(dǎo)出二維規(guī)則微孔分布形式下黏彈層的彈性模量表達(dá)式為

(6)

(7)

(8)

式中，ηm為金屬層材料的損耗因子。

(9)

式中，ηfi、ηfk分別為纖維層對應(yīng)方向的損耗因子。

1.4 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

對于MVL-FMLP結(jié)構(gòu)，其各層材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式可描述為

(10)

在式(10)中，由于金屬層材料與微孔黏彈性材料呈各向同性，因此有

式中：i=m,v；υi為泊松比。

對于具有各向異性特點(diǎn)的纖維層，有

式中，υ12和υ21分別為泊松比。

在纖維層中，當(dāng)纖維主軸方向與設(shè)定坐標(biāo)軸之間存在夾角θ時，根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式[22]可得第k層纖維在設(shè)定坐標(biāo)系內(nèi)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

(11)

1.5 能量表達(dá)式

然后，可將金屬層的動能Tm和應(yīng)變能Um表示為

(12)

纖維層的動能Tf和應(yīng)變能Uf可表示為

(13)

黏彈性層的動能Tv和應(yīng)變能Uv可表示為

(14)

式中：Ni、ρi(i=m,f,v)分別為各層材料的總層數(shù)與密度；S為板面積。

MVL-FMLP結(jié)構(gòu)總的動能T與應(yīng)變能U的表示式如下

(15)

1.6 振動特性求解

假設(shè)橫向振動的位移w0(x,y,t)為

w0(x,y,t)=ejωtW(ξ,η)

(16)

式中：ω為振動頻率；W(ξ,η)為振型函數(shù)。

基于Rayleigh-Ritz法，可將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的中面位移X0表示為

(17)

P1(ξ)=χ(ξ),P1(η)=κ(η),

P2(φ)=(φ-H2)P1(φ)

Pi(φ)=(φ-Hi)Pi-1(φ)-ViPi-2(φ),

φ=ξ,η,i>2

(18)

其中，Hi和Vi為系數(shù)函數(shù)，其表達(dá)式分別為

(19)

式中，W(φ)為權(quán)函數(shù)，通常取W(φ)=1。而χ(ξ)和κ(η)是滿足邊界條件的多項(xiàng)式函數(shù)，具有如下的形式

χ(ξ)=ξp(1-ξ)q,κ(η)=ηr(1-η)s，

ξ=x/a,η=y/b

(20)

對于本文所研究的懸臂條件，可取p=2，q=0，r=0，s=0。

將式(17)代入式(16)，并分別令cos(ωt)=1與sin(ωt)=1，可得出結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的最大動能Tmax與最大應(yīng)變能Umax。如此，可定義能量函數(shù)E為

E=Tmax-Umax

(21)

求解Ritz參數(shù)的極小值，即令能量函數(shù)對待定Ritz參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為零

m=1,2,…,Mn=1,2,…,N

(22)

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的特征方程可表示為

(K-ω2M)q=0

(23)

式中：K為剛度矩陣；M為質(zhì)量矩陣；q=(q11,q12,…qij)T為特征向量。

為保證式(23)有非零解，系數(shù)矩陣的行列式應(yīng)等于零，即

det(K-ω2M)=0

(24)

求解式(24)，即可得出MVL-FMLP結(jié)構(gòu)的各階固有頻率。將各階固有頻率對應(yīng)的特征向量q代入式(17)，就可獲得各階模態(tài)振型。

接著，將剛度矩陣表述成復(fù)剛度矩陣的形式，則式(7)～(9)中的剛度矩陣系數(shù)可表示為

(25)

式中：i=1, 2, 6；j=1, 2, 6。

ΔU=ΔUm+ΔUf+ΔUv

(26)

式中：ΔUm、ΔUf、ΔUv分別為金屬層、纖維層與黏彈性層的耗散能。

根據(jù)應(yīng)變能法，可將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的第r階模態(tài)阻尼比ξr表示為

(27)

接下來，為了求解對MVL-FMLP結(jié)構(gòu)的彎曲振動響應(yīng)，假設(shè)其在圖1所示的單點(diǎn)脈沖激勵下，可將此脈沖激勵看作一個周期極短的正弦半波，其表達(dá)式為

(28)

式中：F0為激勵幅值；ω為激勵頻率；t0為作用時間。

根據(jù)振型疊加法，設(shè)脈沖激勵的時域響應(yīng)X(t)為

(29)

式中：Wmn(x,y)為模態(tài)振型；Tmn(t)為各階振型分量。

在考慮阻尼的情況下，廣義振動微分方程可表示為

(30)

式中，Pmn(t)與Mmn分別為第(m,n)階廣義力與廣義質(zhì)量，其表達(dá)式為

在初始條件為零的情況下，對式(30)應(yīng)用杜哈梅積分可得

sinωd(t-τ)dτ

(31)

將式(32)代入式(30)即可求解出MVL-FMLP結(jié)構(gòu)的時域振動響應(yīng)，對其進(jìn)行快速傅里葉變換(fast Fourier transform，F(xiàn)FT)操作，亦可獲得頻域振動響應(yīng)。

2 試驗(yàn)驗(yàn)證與討論

2.1 試驗(yàn)對象和測試系統(tǒng)

通過真空導(dǎo)流法制備碳纖維板，并切割出兩塊形狀相同的TC300碳纖維/E21環(huán)氧樹脂板(由3層單向纖維布鋪設(shè)而成，鋪設(shè)方式為[0°/90°/0°])，其材料參數(shù)為：ρf=1 780 kg/m3，Ef1=136 GPa，Ef2=7.9 GPa，Gf12=Gf16=Gf26=3.39 GPa，υ12=0.3，υ21=0.017，ηf=0.04；進(jìn)一步，結(jié)合購買的兩層金屬外層和黏彈性層芯層材料，采用樹脂作為黏結(jié)劑，并在模具的螺栓裝配壓力下自然固化，最終制備獲得5層層合板試件。圖2給出了MVL-FMLP結(jié)構(gòu)的振動測試系統(tǒng)，通過模態(tài)力錘對板試件進(jìn)行脈沖激勵，并通過激光測振儀獲取振動響應(yīng)信號。當(dāng)其一端被約束后，在懸臂邊界下，該試件的有效測試尺寸為170.00 mm×145.00 mm×4.82 mm，其中，各層厚度為：hm=0.3 mm，hf=1.11 mm，hv=2 mm；金屬層材料為鋁合金，其材料參數(shù)為：ρm=2 700 kg/m3，Em=70 GPa，Gm=26.5 GPa，υm=0.35，ηm=0.008；黏彈性層材料為購買的軟性光敏樹脂(soft photosensitive resin，SPR)，其密度ρv=1 300 kg/m3，微孔結(jié)構(gòu)通過3D打印方式獲得，尺寸參數(shù)d=0.5 mm，孔間距p=q=2 mm(此時只有一層微孔，可忽略其沿z方向的孔間距m)。另外，利用自行研發(fā)的復(fù)合材料參數(shù)測試儀[24]和迭代辨識方法來測試黏彈性層對應(yīng)的梁試件的彈性模量和損耗因子等參數(shù)，可得：Ev=15.1 MPa，Gv=5.2 MPa，υv=0.47，ηv=0.3。

圖2 MVL-FMLP結(jié)構(gòu)振動測試現(xiàn)場圖

開展振動測試時，首先利用LMS Test.Lab軟件中的Impact模塊，通過模態(tài)力錘對試件進(jìn)行3次敲擊測試，對獲得數(shù)據(jù)進(jìn)行平均處理后，根據(jù)半功率帶寬法辨識獲得固有頻率和模態(tài)阻尼比。然后，再利用LMS Test.Lab軟件中的Signature模塊，進(jìn)行脈沖激勵下振動響應(yīng)時域信號的采集，并通過FFT獲得其頻譜數(shù)據(jù)。

2.2 理論與測試結(jié)果對比

試驗(yàn)測試與理論計(jì)算獲得的板試件的前3階固有頻率和模態(tài)阻尼比，如表1所示。對其進(jìn)行分析可知，固有頻率與阻尼比的計(jì)算誤差分別不超過4.5%和9.7%，初步驗(yàn)證了理論模型在預(yù)測頻率和阻尼性能方面的正確性和有效性。

表1 板試件的前3階固有頻率和阻尼比的試驗(yàn)和理論結(jié)果

另外，試驗(yàn)測試與理論計(jì)算獲得的脈沖激勵下的激勵信號的時域波形，如圖3所示。兩種方式獲得的MVL-FMLP板振動響應(yīng)信號的時域波形和頻譜圖，如圖4所示。對其進(jìn)行比較可知，理論與測試獲得的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的時域振動響應(yīng)吻合較好，且頻譜圖中最大響應(yīng)峰值誤差最大不超過7.5%，進(jìn)一步驗(yàn)證了該理論模型在預(yù)測結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)方面的正確性，可以利用該模型對MVL-FMLP結(jié)構(gòu)的振動特性進(jìn)行有效預(yù)測。

圖3 測試與理論計(jì)算獲得的脈沖激勵下激勵信號的時域波形

(a)時域信號

2.3 微孔幾何參數(shù)對結(jié)構(gòu)振動特性的影響

在驗(yàn)證后的理論模型的基礎(chǔ)上，改變黏彈性層中二維規(guī)則微孔幾何參數(shù)，研究MVL-FMLP板振動特性的變化規(guī)律。此時，計(jì)算模型采用的板長、寬、厚為170.00 mm×145.00 mm×4.82 mm，d=0.5 mm，p=q=2 mm，F(xiàn)0=73 N，響應(yīng)點(diǎn)R1(x1,y1)=(65,120)。脈沖激勵下微孔直徑與黏彈性層厚度之比d/hv以及孔間距與直徑之比m/d的改變，對MVL-FMLP結(jié)構(gòu)前3階振動響應(yīng)和阻尼特性的影響規(guī)律(由于固有頻率受到的影響很小，在此未討論)，如圖5所示。由圖5(a)可知，隨著d/hv的增大，會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)系統(tǒng)各階響應(yīng)的峰值下降，并提升阻尼性能。將d/hv=0對應(yīng)的結(jié)果作為基準(zhǔn)，可知在d/hv=0%～100%內(nèi)，且前3階響應(yīng)峰值最大的下降程度ΔXmax為22.3%，而阻尼性能的最大上升程度Δξmax為17.9%。另外，對圖5(b)分析可知，隨著m/d增大，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)各階響應(yīng)的峰值上升，而各階阻尼性能出下降的趨勢。此時，前3階響應(yīng)峰值最大的增大程度ΔXmax為28.2%，而阻尼性能的最大下降程度Δξmax為17.1%。產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因是由于d/hv的增大或m/d的減小，會導(dǎo)致式(6)中黏彈性層中Ev與Gv的減小，進(jìn)一步會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)阻尼比的增加和振動響應(yīng)的下降。

(a)d/hv

3 結(jié) 論

本文提出了MVL-FMLP結(jié)構(gòu)的振動分析模型，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證方式證明了該模型在預(yù)報(bào)固有頻率、振動響應(yīng)和阻尼特性方面的正確性和有效性。同時。討論了該結(jié)構(gòu)包含的黏彈性層中微孔幾何參數(shù)的改變對其振動特性的影響規(guī)律。研究發(fā)現(xiàn)隨著微孔直徑與黏彈性層厚度比的增大，結(jié)構(gòu)前3階振動響應(yīng)峰值減小且相應(yīng)的阻尼比上升；而隨著微孔間距與直徑比的上升，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)和阻尼性能呈現(xiàn)相反的變化趨勢。本文所建立的數(shù)學(xué)模型及其相關(guān)分析結(jié)論，可為帶有規(guī)則微孔構(gòu)型的含黏彈性芯層的纖維金屬混雜層合結(jié)構(gòu)的減振設(shè)計(jì)與性能優(yōu)化，提供理論與實(shí)踐的參考。