正切平方量子阱中的非線性光整流

段一名，李學(xué)超，張糧成，趙 莊

(安徽理工大學(xué) 力學(xué)與光電物理學(xué)院，安徽 淮南 232001)

近年來，低維半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的非線性光學(xué)特性在理論物理和應(yīng)用物理領(lǐng)域都得到了廣泛運(yùn)用.由于半導(dǎo)體生長技術(shù)的進(jìn)步，已經(jīng)有可能生產(chǎn)出不同類型的低維半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)，如量子點(diǎn)、量子阱、量子線和超晶格[1].因?yàn)榈途S半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)具備量子受限效應(yīng)，所以許多新的非線性光學(xué)特性出現(xiàn)在這些低維半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)中[2-3].除了量子受限效應(yīng)以外，形狀和約束勢對這些低維半導(dǎo)體的物理性質(zhì)也有較大影響.此外，在所有非線性光學(xué)特性中，二階非線性光學(xué)特性起著至關(guān)重要的作用，原因是其具備最簡單和最低階的非線性效應(yīng)，并且其幅度大于所有其他非線性效應(yīng).基于以上因素，對具有不同形狀和各種限制勢量子阱的二階非線性光學(xué)性質(zhì)的研究已經(jīng)引起學(xué)界的關(guān)注[4].

關(guān)于二階非線性光學(xué)性質(zhì)的相關(guān)研究在國內(nèi)外學(xué)術(shù)界一直都是熱點(diǎn)，Benmahrsia等[5]用密度矩陣?yán)碚摵陀邢薏罘址椒ㄑ芯苛司哂袧櫇駥拥拇怪瘪詈贤哥R形InAs/GaAs量子點(diǎn)在靜水壓力和溫度下的非線性光學(xué)整流.Guanguly等[6]研究了高斯白噪聲存在與否的不同境況下，雜質(zhì)摻雜量子點(diǎn)的光學(xué)整流、二次諧波和三次諧波產(chǎn)生的特性.Yu等[7]用位置相關(guān)質(zhì)量方法研究了量子阱中光學(xué)整流和二次諧波的產(chǎn)生.Liu等[8]用有限差分法研究了磁場作用對對稱高斯勢量子阱中非線性光學(xué)整流(OR)和二次諧波產(chǎn)生的影響.Sari等[9]研究了強(qiáng)激光場對δ摻雜GaAs量子阱中子帶間光吸收和折射率變化的影響.然而在壓力和溫度的作用下，具有Utan2(πz/d)勢的正切平方量子阱(QWs)的非線性光學(xué)性質(zhì)尚未見報(bào)道.基于此,本文中，筆者從理論上研究在溫度和流體靜壓作用下正切平方量子阱中的光整流系數(shù).通過求解薛定諤方程得到了本征函數(shù)和能量本征值，并用密度矩陣方法和迭代法得到了OR系數(shù)的解析表達(dá)式;研究了在溫度和流體靜壓作用下典型正切平方量子阱的OR系數(shù)，并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和討論.計(jì)算結(jié)果表明,流體靜壓、溫度、限制勢能和QWs的直徑對OR系數(shù)有較大影響.

1 本征函數(shù)和能量本征值

考慮一個(gè)限制電位為Utan2(πz/d)的電子限制在系統(tǒng)中，當(dāng)有效質(zhì)量近似并在流體靜壓、溫度作用下，系統(tǒng)的哈密頓量可以寫成[9]

(1)

V(z)=Utan2(πz/d).

(2)

其中,?表示約化普朗克常數(shù)，z表示量子阱的生長方向，d和U分別表示量子阱的直徑和限制勢能.根據(jù)(2)可知,d和U對限制電位V(z)的影響很大.P表示流體靜壓，T表示溫度，m(P,T)*表示量子阱中依賴于靜水壓力和溫度的電子有效質(zhì)量，由下式給出[10]：

(3)

(4)

(5)

通過求解這個(gè)方程，可以得到能譜

(6)

同時(shí)可以推導(dǎo)出波函數(shù)

(7)

當(dāng)n=0,1,2,3,…時(shí)，fn(t)分別取

f0(t)=1,

f1(t)=t,

…

其中

2 光整流系數(shù)

在得到能量及其相應(yīng)的波函數(shù)后，用密度矩陣法和迭代程序計(jì)算出非線性光整流系數(shù)，可以假設(shè)系統(tǒng)受到一個(gè)電磁場的激勵(lì)，該電磁場表示為

密度矩陣算符ρ的演化遵循以下隨時(shí)間變化的薛定諤方程：

(8)

其中ρ(0)表示未擾動(dòng)的密度矩陣算符，H0表示沒受電磁場影響的系統(tǒng)哈密頓量，Γij表示弛豫速率.

(8)可以通過以下迭代方法計(jì)算[12]：

(9)

(10)

由E(t)引起的量子阱的極化可以表示為

(11)

(12)

其中V表示相互作用體積，Tr表示矩陣的跡(主對角元素之和).通過使用密度矩陣法和迭代程序，得到單位體積的OR系數(shù)

(13)

3 結(jié)果與討論

對正切平方量子阱的光整流系數(shù)做如下系統(tǒng)分析.主要探討流體靜壓、溫度、QWs的直徑d以及限制勢能U對OR系數(shù)的影響.計(jì)算中所采用的參數(shù)如下[13-14]：σv=5×1024m-3，T1=1 ps，T2=0.2 ps，ε0=8.85×10-12fm-1.

圖1顯示了流體靜壓P對正切平方量子阱光整流系數(shù)的影響.取U=40 meV，T=200 K，d=22 nm,做出了在不同流體靜壓作用下OR系數(shù)隨入射光子能量的變化曲線，P=0，1，2 GPa.可以看出：隨著P的增加，OR系數(shù)共振峰向低能方向移動(dòng)，即發(fā)生紅移，由(3),(4)可知,隨著施加壓力的增加，電子有效質(zhì)量m(P,T)*增大,因此，光子能量隨著流體靜壓的增加而向低能方向移動(dòng)，可以通過調(diào)整參數(shù)來獲得期望的躍遷能量.

圖1 P=0，1，2 GPa時(shí)，光整流系數(shù)隨入射光子能量的變化曲線Fig.1 OR Coefficient as a Function of the Photon Energy for Three Different Hydrostatic Pressure,P=0,1,2 GPa

圖2顯示了直徑d對正切平方量子阱光整流系數(shù)的影響.取U=40 meV，P=1 GPa，T=200 K,做出了在不同直徑時(shí)OR系數(shù)隨入射光子能量的變化曲線，d=21，22，23 nm.可以看出：隨著d的增加，OR系數(shù)共振峰向低能方向移動(dòng)，即發(fā)生紅移，這是量子受限效應(yīng)的結(jié)果.由(2)可知，隨著QWs直徑的增加，限制電位V(z)減小，進(jìn)而量子受限效應(yīng)減弱，量子阱中受限電子的能級(jí)間距減小，因此OR系數(shù)共振峰向低能方向移動(dòng)，即發(fā)生紅移.同時(shí)由圖2可見,OR系數(shù)的峰值隨直徑的增加而增大，這是因?yàn)榫仃囋卅蘨j隨著d的增大而增加.這種特性的物理原因是波函數(shù)的重疊程度隨著d的增大而增加.

圖2 d=21，22，23 nm時(shí)，光整流系數(shù)隨入射光子能量的變化曲線Fig.2 OR Coefficient as a Function of the Photon Energy for Three Different Diameter,d=21，22，23 nm

圖3顯示了溫度T對正切平方量子阱光整流系數(shù)的影響.取U=40 meV，P=1 GPa，d=22 nm,做出了在不同溫度下OR系數(shù)隨入射光子能量的變化曲線，T=0，200，400 K.由圖3可以看出：隨著T的增加，OR系數(shù)共振峰向高能方向移動(dòng)，即發(fā)生藍(lán)移，由(3),(4)可知,這是由于隨著溫度的升高，電子有效質(zhì)量m(P,T)*減小，隨后第一和第二態(tài)能量之間的間隔增大.因此，光子能量隨著溫度的升高向高能方向移動(dòng).

圖3 T=0，200，400 K時(shí)，光整流系數(shù) 隨入射光子能量的變化曲線Fig.3 OR Coefficient as a Function of the Photon Energy for Three Different Temperature,T=0，200，400 K

圖4顯示了限制勢能U對正切平方量子阱光整流系數(shù)的影響.取d=22 nm，P=1 GPa，T=200 K,做出了在不同限制勢能下OR系數(shù)隨入射光子能量的變化曲線，U=30，40，50 meV.由圖4可以看出：隨著U的增加，OR系數(shù)共振峰向高能方向移動(dòng)，即發(fā)生藍(lán)移，這是量子受限效應(yīng)的結(jié)果.由(2)可知，隨著量子阱限制勢能的增加，限制電位V(z)增大，進(jìn)而量子受限效應(yīng)增強(qiáng)，量子阱中受限電子的能級(jí)間距增大，因此OR系數(shù)共振峰向高能方向移動(dòng)，即發(fā)生藍(lán)移.同時(shí)由圖4可以看出，OR系數(shù)的峰值隨著限制勢能的增加而減小，這是因?yàn)榫仃囋卅蘨j隨著U的增大而減小，使得OR系數(shù)的峰值減小.

圖4 U=30，40，50 meV時(shí)，光整流系數(shù)隨入射光子能量的變化曲線Fig.4 OR Coefficient as a Function of the Photon Energy for Three Different Confining Potential Energy,U=30，40，50 meV

4 結(jié) 論

通過求解薛定諤方程得到了本征函數(shù)和能級(jí)，然后使用密度矩陣?yán)碚摵偷椒ㄍ茖?dǎo)出了正切平方量子阱的光整流系數(shù)解析表達(dá)式.數(shù)值計(jì)算表明，OR系數(shù)的峰值隨著直徑的增大而增大，但隨著限制勢能的增加而減小.此外,流體靜壓以及QWs直徑的增加使OR系數(shù)共振峰向低能方向移動(dòng)，且隨著溫度的升高及限制勢能的增加，OR系數(shù)共振峰向高能方向移動(dòng).最后，希望此研究成果能為非線性光學(xué)領(lǐng)域的改進(jìn)和新型電子光學(xué)器件的開發(fā)提供理論基礎(chǔ).