區(qū)間值Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分等式

劉 靖，史芳芳，葉國菊，劉 尉

(河海大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210098)

0 引 言

隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，科學(xué)技術(shù)和工程中的許多問題對(duì)計(jì)算的需求也越來越高，誤差問題在數(shù)值運(yùn)算中日益凸顯.不僅有來源數(shù)據(jù)的誤差，還有計(jì)算過程中截?cái)嗾`差的積累等.如何保證計(jì)算結(jié)果的精度和可靠性，成為計(jì)算數(shù)學(xué)面臨的迫切需要解決的問題.1966年，Moore[1]將區(qū)間方法應(yīng)用到數(shù)值計(jì)算中的自動(dòng)誤差分析，提高了計(jì)算結(jié)果的可靠性，進(jìn)一步討論了區(qū)間值函數(shù)的積分理論.此后，區(qū)間分析作為處理不確定性問題的一種新的有效工具被廣泛應(yīng)用于自動(dòng)誤差分析[2]、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出優(yōu)化[4]等領(lǐng)域.區(qū)間值函數(shù)作為一種特殊的映射，其函數(shù)凸性、連續(xù)性、可積性等基本性質(zhì)已經(jīng)得到了充分完善.但是，對(duì)于2個(gè)任意的區(qū)間[A]和[B]，若[A]+[B]=0，得不到[A]=-[B].這意味著區(qū)間減法和導(dǎo)數(shù)不滿足一般情況.為了完善區(qū)間分析理論，Hukuhara在文獻(xiàn)[5]中給出了Hukuhara差(H-差)的定義;但是，當(dāng)區(qū)間[A]的長度小于[B]的長度時(shí)，[A]?[B]就不存在了.Stefanini[6]建立了廣義Hukuhara差(gH-差)和廣義Hukuhara導(dǎo)數(shù)(gH-導(dǎo)數(shù))的定義.由于廣義Hukuhara差是始終存在的，因此受到了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注.

另一方面，與積分有關(guān)的不等式在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論和應(yīng)用研究中一直起著非常重要的作用.2013年以來，一些經(jīng)典的積分不等式被推廣到區(qū)間值函數(shù)的形式中,如區(qū)間值函數(shù)的 Hermite-Hadamard不等式[7-8]、Ostrowski不等式[9]和Jensen不等式[8,10]等.此外，Lupulescu在文獻(xiàn)[11]中給出了區(qū)間值Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的定義并證明了相關(guān)的重要性質(zhì).隨后，Büdak等[12]將積分不等式與區(qū)間分?jǐn)?shù)階積分相結(jié)合，得到了一類新的Hermite-Hadamard型不等式.gH-可導(dǎo)的區(qū)間值函數(shù)是否可以與區(qū)間分?jǐn)?shù)階積分相結(jié)合呢？答案是肯定的.本文中，筆者的主要研究內(nèi)容是構(gòu)造區(qū)間映射，利用區(qū)間值函數(shù)的性質(zhì)和分?jǐn)?shù)階積分理論對(duì)實(shí)值函數(shù)的積分等式進(jìn)一步加細(xì)，建立一類新的區(qū)間值Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分等式，并給出了相應(yīng)的例子來證明所得結(jié)果的準(zhǔn)確性.另外，該結(jié)果可以成為研究gH-可導(dǎo)區(qū)間值函數(shù)積分不等式、區(qū)間微分方程、區(qū)間優(yōu)化等內(nèi)容的有利工具.

1 預(yù)備知識(shí)

但是，任意2個(gè)區(qū)間并不一定存在H-差.為了避免這種情況，Stefanini[6]引入了gH-差:

定義1[13]設(shè)f:[a,b]→Rx.如果存在f′(t0)∈Rx使得

那么稱f在t0處是gH-可導(dǎo)的.若?t0∈[a,b]，f′(t0)∈Rx都存在，則稱f在區(qū)間[a,b]上是gH-可導(dǎo)的.

定義2[13]如果實(shí)值函數(shù)t→w(f(t))在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)增加(單調(diào)減少)的，那么稱f:[a,b]→Rx在區(qū)間[a,b]上是w-單調(diào)增加(w-單調(diào)減少)的.若f是w-單調(diào)增加或w-單調(diào)減少，那么稱f在區(qū)間[a,b]上是w-單調(diào)的.

一般來說，同課異構(gòu)有兩種形式：一是同一個(gè)文本由不同的執(zhí)教者進(jìn)行施教，組織課堂教學(xué)，即多人同課異構(gòu)；二是同一個(gè)文本由同一個(gè)執(zhí)教者進(jìn)行施教，在不同的教學(xué)班級(jí)，通過不同的構(gòu)思和處理組織課堂教學(xué)，即一人同課異構(gòu)。

其中α>0,Γ是Gamma函數(shù).

2 主要結(jié)果

證假設(shè)f是w-單調(diào)增加的，有

類似地，若f是w-單調(diào)減少的，可以得到同樣的結(jié)論.

那么對(duì)任意的x∈[1,2]，有

且

因此，定理1成立.

證假設(shè)f是w-單調(diào)增加的，有

類似地，若f是w-單調(diào)減少的，可以得到同樣的結(jié)論.

例2如例1所設(shè)，有

因此，定理2成立.