加權(quán)正則函數(shù)列的性質(zhì)

羅利萍，王麗萍，邱 芬, 李冰心，王龍優(yōu)

(河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050024)

1 預(yù)備知識(shí)

(1)

(2)

(3)

(4)

經(jīng)計(jì)算滿足

另一個(gè)公式也可通過(guò)計(jì)算得到.

通過(guò)(4)所構(gòu)造的加權(quán)ψi是向量值函數(shù),也可以構(gòu)造不是向量值的加權(quán)ψi.

(5)

利用引理1中的2)計(jì)算可得

之后只考慮(5)給定的加權(quán)ψi的形式.

定義2對(duì)于Rn中任意2點(diǎn)ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn),x=(x1,x2,…,xn),定義它們之間的非歐氏距離ρ為

(6)

其中Aij是矩陣A的元素.

對(duì)于Rn內(nèi)任意2點(diǎn)x,ξ,當(dāng)x≠ξ時(shí),設(shè)它們之間的歐氏距離為r,即r=|x-ξ|,則有x-ξ=ry(|y|=1),把此點(diǎn)y和(0,0,…,0)之間的非歐氏距離記作ρ0,由文獻(xiàn)[5]可知ρ0≥c>0和ρ=rρ0.

(7)

其中ωn表示Rn中單位球的表面積.

(8)

設(shè)Ω,?Ω如上所述,對(duì)于任意ξ∈Ω,以ξ為心,ε為半徑,做n維非歐氏距離下的超球Uε(ξ)={x∈Ω:ρ{(x,ξ)<ε},?Uε(ξ)的外法向量取正向,則曲面?Uε(ξ)的參數(shù)化方程可表示為

(9)

再來(lái)考慮參數(shù)化方程的Jacobian矩陣,有

則曲面?Uε(ξ)上一點(diǎn)法向量在基底{ψ1,ψ2,…,ψn}下可表示為

(10)

(11)

?Uε(ξ)在基底ψ下的單位外法向量表示為

則面積微元

dμ=|nψ|dt.

記dμr是Rn中單位球的面積微元,則dμr=C1dt.從而dσ可表示為

(12)

(13)

引理3[5](Cauchy積分公式) 設(shè)Ω,?Ω如上所述,u是Ω的加權(quán)正則函數(shù),則Borel-Pompeiu公式即為Cauchy積分公式

(14)

2 加權(quán)正則函數(shù)列的性質(zhì)

定義3設(shè)Σ={f(x)}是定義在連通開(kāi)集G?Rn上的函數(shù)族,如果存在一個(gè)正數(shù)M,對(duì)于Σ中的所有函數(shù)f(x)都有|f(x)|

定義4如果函數(shù)列{fm(x)}在K?Ω上滿足對(duì)任意給定的ε>0,存在δ>0,使得對(duì)K上任意2點(diǎn)x1,x2,只要ρ(x1,x2)<δ,那么對(duì)于m=1,2,…,都有|fm(x1)-fm(x2)|<ε,則稱函數(shù)列{fm(x)}在K?Ω上等度連續(xù).由定義知,若函數(shù)列{fm(x)}在K?Ω上等度連續(xù),則對(duì)于每一個(gè)m,fm(x)于K上一致連續(xù).

定理1(非歐氏距離下的Hile引理) 設(shè)x,t是Rn中的任意2點(diǎn),ρx是x與(0,0,…,0)之間的非歐氏距離,ρt是t與(0,0,…,0)之間的非歐氏距離,n≥2,m≥0是正整數(shù),則有如下結(jié)論:

(15)

其中

證經(jīng)計(jì)算有

則若要證明結(jié)論成立,即證明

如果x或t為0,則結(jié)論顯然成立;否則上式等價(jià)于

即證

只需證

又由于

則可證

根據(jù)Pm(x,t)的定義可知

即證

又由于

即證

ρtmρxm≤Pm2(x,t).

上式顯然成立,因而(15)成立.

定理2設(shè)Ω如上所述,{fm(ξ)}是Ω內(nèi)的加權(quán)正則函數(shù)序列,且在Ω中內(nèi)閉一致有界,則對(duì)于任一給定有界閉集K?Ω,加權(quán)正則函數(shù)序列{fm(ξ)}在K上是等度連續(xù)的.

|fm(ξ1)-fm(ξ2)|<ε,m=1,2,…,

故{fm(ξ)}在K上是等度連續(xù)的.

定義5設(shè)G如上所述,Σ={f(x)}是定義在G上的加權(quán)正則函數(shù)族,如果對(duì)于Σ中任意序列{fm(ξ)}都含有在G中內(nèi)閉一致收斂于一個(gè)加權(quán)正則函數(shù)的子序列{fmk(ξ)},則稱此函數(shù)族Σ在G中是列緊的.{fmk(ξ)}在G中內(nèi)閉一致收斂即對(duì)于每一個(gè)有界閉集K?G,{fmk(ξ)}都一致收斂.

定理3設(shè)Ω如上所述,{fm(ξ)}是Ω內(nèi)的加權(quán)正則函數(shù)序列,且在Ω中內(nèi)閉一致有界,則{fm(ξ)}在Ω中具有列緊性.

證首先證明從{fm(ξ)}中可以選出子函數(shù)序列在Ω中的全部有理點(diǎn)上收斂.把Ω中全部有理點(diǎn)排成序列:r1,r2,…,rm,…, 因?yàn)閧fm(ξ)}在Ω中內(nèi)閉一致有界,所以{fm(r1)}有界.從有界數(shù)列{fm(r1)}中選出一個(gè)收斂子序列{fm,1(r1)},與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)序列為{fm,1(ξ)},它在ξ=r1處收斂.然后從有界數(shù)列{fm,1(r2)}中選出一個(gè)收斂子序列{fm,2(r2)},與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)序列為{fm,2(ξ)},它在ξ=r1,r2處收斂.依此類推,有{fm(ξ)}的子函數(shù)序列{fm,3(ξ)},{fm,4(ξ)},…,{fm,n(ξ)}，…，而{fm,n(ξ)}在ξ=r1,r2,…,rm處收斂.將上述依次選出的子函數(shù)序列寫成

取對(duì)角線序列f1,1(ξ),f2,2(ξ),…,fm,m(ξ),…,它除了前m-1個(gè)函數(shù)外,都包含在序列{fm,n(ξ)}中,因此{(lán)fm(ξ)}的子函數(shù)序列{fm,m(ξ)}在Ω中的全部有理點(diǎn)r1,r2,…,rm，…處收斂.

其次證明對(duì)Ω中任意有界閉集K,上述子函數(shù)序列{fm,m(ξ)}在K上一致收斂.由定理2可知{fm(ξ)}在K上是等度連續(xù)的,{fm,m(ξ)}是{fm(ξ)}的子函數(shù)序列,所以fm,m(ξ)在K上是等度連續(xù)的,即對(duì)任意ε>0,存在δ1>0,使得當(dāng)任意2點(diǎn)ξ1,ξ2∈K且ρ(ξ1,ξ2)<δ1時(shí),有

(16)

每個(gè)半徑為δ的開(kāi)球中必含有某個(gè)rk, 由等度連續(xù)可知

(17)

根據(jù)(16)和(17)可知,對(duì)上述ε>0 存在自然數(shù)N,當(dāng)m,n>N時(shí),有

|fm,m(ξ)-fn,n(ξ)|=|fm,m(ξ)-fm,m(rk)+fm,m(rk)-fn,n(rk)+fn,n(rk)-fn,n(ξ)|≤

|fm,m(ξ)-fm,m(rk)|+|fm,m(rk)-fn,n(rk)|+|fn,n(rk)-fn,n(ξ)|<

現(xiàn)固定上式中的n,讓m→∞,于是當(dāng)n>N時(shí),有

|f(ξ)-fn,n(ξ)|<ε,k=1,2,…,p.

由于N與U(ξ,δ)中的點(diǎn)ξ無(wú)關(guān),所以fn,n(ξ)(n=1,2,…)在U(ξ,δ)上一致收斂.由U(ξ,δ)的任意性以及根據(jù)Weierstrass關(guān)于加權(quán)正則函數(shù)序列的一致收斂定理可知,fn,n(ξ)(n=1,2,…)在Ω中任意有界閉集K上一致收斂到一個(gè)加權(quán)正則函數(shù)f(ξ)上,由定義5可知,{fm(ξ)}在Ω中具有列緊性.

定理4設(shè)Ω如上所述,{fn(ξ)}是Ω內(nèi)的加權(quán)正則函數(shù)序列,且在Ω中內(nèi)閉一致有界,又{fn(ξ)}在Ω中一點(diǎn)列{ξk}上收斂,{ξk}的極限點(diǎn)屬于Ω,則{fn(ξ)}在Ω中內(nèi)閉一致收斂.

證首先證{fn(ξ)}在Ω中的收斂性,用反證法.

假設(shè){fn(ξ)}在Ω中不收斂,則必存在點(diǎn)a∈Ω,使得數(shù)列{fn(a)}不收斂,于是可從{fn(a)}中選出2個(gè)子序列{fn,1(a)}和{fn,2(a)}分別收斂到Clifford數(shù)b1,b2,且b1≠b2.由條件知{fn,1(a)}與{fn,2(a)}對(duì)應(yīng)的函數(shù)列{fn,1(ξ)}, {fn,2(ξ)}在Ω中的內(nèi)閉一致有界,由定理3知{fn,1(ξ)},{fn,2(ξ)}在Ω中具有列緊性,即可找到子序列{fn,1*(ξ)},{fn,2*(ξ)}在Ω中分別內(nèi)閉一致收斂到加權(quán)正則函數(shù){f1*(ξ)},{f2*(ξ)},即

又

由加權(quán)正則函數(shù)的唯一性定理可知,

其次,證明對(duì)Ω中任意閉集K上述子函數(shù)序列{fn(ξ)}在K上一致收斂.由于K為有界閉集,則任意ξ∈K,存在點(diǎn)列{ξk}∈K,使得ξk→ξ(k→∞),由于{fn(ξ)}在Ω中每一點(diǎn)均收斂,則對(duì)任意ε>0,存在N1>0,當(dāng)k>N1時(shí)，有

由定理3可知,對(duì)上述ε>0,存在N2>0,當(dāng)m,n>N2時(shí)，有

綜上,對(duì)上述ε>0,存在N3=max{N1,N2},使得當(dāng)k,m,n>N3時(shí),

|fm(ξ)-fn(ξ)|=|fm(ξ)-fm(ξk)+fm(ξk)-fn(ξk)+

fn(ξk)-fn(ξ)|≤

|fm(ξ)-fm(ξk)|+|fm(ξk)-fn(ξk)|+

由定理3可知,根據(jù)Weierstrass關(guān)于加權(quán)正則函數(shù)序列的一致收斂定理可知,fn(ξ)在Ω中任意閉集K一致收斂到一個(gè)加權(quán)正則函數(shù)f(ξ),fn(ξ)在Ω中內(nèi)閉一致收斂.

注 由于ρ=rρ0,故當(dāng)非歐氏距離ρ任意小時(shí)，也可得到歐氏距離r任意小,從而上述結(jié)論在歐氏距離r任意小時(shí)也成立.