如何練就“見(jiàn)微知著”的火眼金睛？

孫風(fēng)建 管慧慧

摘? 要：從確定題眼入手，在“將面積之比為定值化歸為直線過(guò)定點(diǎn)”這一核心思想的引領(lǐng)下，讓學(xué)生更多關(guān)注簡(jiǎn)化運(yùn)算的算理，依靠邏輯推理能力的支撐，逐步看清問(wèn)題本質(zhì)、突破難點(diǎn)，能“見(jiàn)”橢圓而“思”圓錐曲線，實(shí)現(xiàn)深度探究，完成從特殊到一般的數(shù)學(xué)抽象，“知”數(shù)學(xué)思想的精妙，達(dá)到分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造的高階思維水平.

關(guān)鍵詞：高階思維;解析幾何;核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)著力培養(yǎng)的是提高學(xué)生在復(fù)雜情境下解決問(wèn)題的能力. 在實(shí)際教學(xué)中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生疲于做題卻難做到對(duì)問(wèn)題的深入理解，遇到復(fù)雜的情境容易陷入困境. 布魯姆基于認(rèn)知目標(biāo)分類學(xué)的視角，將認(rèn)知發(fā)展水平分為知道、領(lǐng)會(huì)、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造六個(gè)層次，其中的分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造三個(gè)層次定義為高階思維. 僅就題論題，很難達(dá)到高階思維水平.

如果能跳出問(wèn)題表象的束縛，從一道題延伸至一類題，直至挖掘出問(wèn)題的本質(zhì)和內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，從知識(shí)的整體高度推進(jìn)對(duì)問(wèn)題的深入思考，則容易借助“見(jiàn)樹木更見(jiàn)森林，見(jiàn)森林才見(jiàn)樹木”的整體思維理念，逐步達(dá)成創(chuàng)造性應(yīng)用的高階思維.

那么，要怎樣練就這樣一雙“見(jiàn)微知著”的火眼金睛呢？解析幾何在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中占有舉足輕重的地位，往往難度較大，下面結(jié)合一道解析幾何題目的探究過(guò)程闡釋如何逐步促進(jìn)學(xué)生的高階思維發(fā)展.

題目? 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的離心率為[22，] 焦距為2，其上、下頂點(diǎn)分別為[A，B，] 直線[l：y=-2]與[y]軸交于點(diǎn)[E.] 點(diǎn)[P]是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)[A，B]），直線[PA，][PB]分別與直線[l：y=-2]交于點(diǎn)[M，N.] 連接[AN，] 與橢圓交于點(diǎn)[Q，] 連接QM，QE.

（1）求橢圓[C]的方程;

（2）設(shè)[△AQM]的面積為[S1，△EQM]的面積為[S2，]試判斷[S1S2]是否為定值？并說(shuō)明理由.

一、“見(jiàn)”題眼，“知”思路多元化

此題第（1）小題，易求得橢圓[C]的方程為[x22+y2=1.] 以下針對(duì)第（2）小題展開(kāi)探究.

從已知條件出發(fā)，可以知道[S1S2=12QMhA12QMhE=hAhE.] 其中，[hA，hE]分別為點(diǎn)[A，E]到直線[QM]的距離，而[hA，][hE]計(jì)算量的大小取決于直線方程的復(fù)雜程度. 然而，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，假設(shè)直線[QM]與[y]軸的交點(diǎn)為[T，] 利用平面幾何知識(shí)，可得[hAhE=ATTE.] 從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線[QM]是否過(guò)[y]軸上的一定點(diǎn).

思考抓手：直線[QM]由誰(shuí)決定，即如何選擇變量？變量選擇，是解答解析幾何問(wèn)題的難點(diǎn). 變量的選擇一般分為三類. 一是選擇主動(dòng)點(diǎn)，即變化的主要原因（動(dòng)因）. 此題中點(diǎn)[P]是動(dòng)因，刻畫點(diǎn)[P]的方式又有兩種——點(diǎn)[P]的坐標(biāo)或直線[AP]的斜率. 二是選擇從動(dòng)點(diǎn)，如點(diǎn)[Q，] 刻畫動(dòng)點(diǎn)[Q]的方式同樣有兩種——點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)或直線[AQ]的斜率. 三是選擇多個(gè)變量，再尋找這些變量之間的關(guān)系.

下面我們按照上述尋找變量的方法，在實(shí)踐中進(jìn)行比較，看看哪種方法更具優(yōu)越性.

解法1：設(shè)點(diǎn)[Ps，t s≠0，]

則直線[AP]的方程為[y=t-1sx+1，] 直線[BP]的方程為[y=t+1sx-1，] 且[s2+2t2=2.]

在方程[y=t-1sx+1]中，令[y=-2，] 得[x=-3st-1，]

即[M-3st-1，-2.]

在方程[y=t+1sx-1]中，令[y=-2，] 得[x=-st+1，]

即[N-st+1，-2.]

所以直線[AN]的方程為[y=3t+1sx+1.]

聯(lián)立直線[AN]和橢圓[C]的方程，消去[y，]

整理，得[s2+18t+12x2+12st+1x=0.]

解得[xQ=-12st+1s2+18t+12.]

由[s2+2t2=2]，消去[s2，] 得

[xQ=-3s4t+5，yQ=-5t+44t+5.]

所以直線[QM]的方程為[y+2=-5t+44t+5+2-3s4t+5+3st-1x+3st-1=][t-13sx+3st-1，]

即[y=t-13sx-1.]

所以直線[QM]過(guò)定點(diǎn)[T0，-1，] 即過(guò)點(diǎn)B.

所以[S1S2=hAhE=ABBE=2.]

解法2：由題意，可設(shè)直線[AP]的方程為[y=kx+1，]

則點(diǎn)[M-3k，-2.]

將[y=kx+1]代入橢圓[C]的方程，消去[y，] 得

[1+2k2x2+4kx=0.]

解得[xp=-4k1+2k2，得yp=1-2k21+2k2.]

所以點(diǎn)[P-4k1+2k2， 1-2k21+2k2.]

所以直線[BP]的方程為[y=-12kx-1.]

令[y=-2，] 得[x=2k.]

所以點(diǎn)[N2k，-2.]

所以直線[AN]的方程為[y=-32kx+1.]

代入橢圓[C]的方程，消去[y，]

整理，得[2k2+9x2-12kx=0.]

解得[xQ=12k2k2+9，得yQ=2k2-92k2+9.]

所以直線[QM]的方程為[y+2=2k2-92k2+9+212k2k2+9+3kx+3k=][k3x+3k，]

即[y=k3x-1.]

下同解法1.

【評(píng)析】在解法1中，解得[xQ=-12st+1s2+18t+12.] 因?yàn)閇xQ]的坐標(biāo)比較復(fù)雜，所以[yQ]的坐標(biāo)也會(huì)很復(fù)雜，從而使得后面的運(yùn)算都會(huì)產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，這就需要學(xué)生有預(yù)判能力，通過(guò)橢圓方程[s2+2t2=2]消去[s2，] 從而簡(jiǎn)化[xQ，] 為后面的運(yùn)算做好鋪墊，這是解析幾何中重要的算理.

在解法2中，不難發(fā)現(xiàn)：[kAPkBP=k-12k=-12，kQAkQB=][-32k ? k3=-12.] 由此得到結(jié)論：若點(diǎn)[P]是橢圓[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]上異于點(diǎn)[A，B]（點(diǎn)[A，B]關(guān)于原點(diǎn)呈中心對(duì)稱）的動(dòng)點(diǎn)，則[kAPkBP=-b2a2.]

解法3：設(shè)點(diǎn)[Qu，v，] 得[u2+2v2=2，]

則直線AN的方程為[y=v-1ux+1.]

令[y=-2，] 得[x=-3uv-1.]

所以[N-3uv-1，-2.]

所以[kNB=-1+23uv-1=v-13u.]

利用[kAPkBP=-12，] 得[kAP=-3u2v-1.]

所以直線AP的方程為[y=-3u2v-1x+1.]

所以點(diǎn)[M2v-1u，-2.]

所以直線QM的方程為[y-v=v+2u-2v-1ux-u=][v+2uu2-2v-1x-v+2u2u2-2v-1.]

所以[y=v+2uu2-2v-1x-1.]

下同解法1.

解法4：設(shè)[Mm，-2 m≠0，Nn，-2 n≠0，]

則[kAP=-3m，kBN=-1n.]

所以直線[AP]和直線[BN]的方程分別為[y=-3mx+1，][y=-1nx-1.]

聯(lián)立直線方程，得點(diǎn)[P2mn3n-m， -3n-m3n-m.]

代入橢圓[C]的方程，得

[2mn3n-m2+2-3n-m3n-m2=2.]

化簡(jiǎn) ，得[4nmmn+6=0.]

解得[mn=-6.]

由點(diǎn)A，N的坐標(biāo)，可得直線AN的方程為[y=-3nx+1.]

將其與橢圓[C]的方程聯(lián)立，消去[y，] 得

[n2+18x2-12nx=0.]

解得[xQ=12nn2+18，得yQ=n2-18n2+18.]

所以直線[QM]的方程為[y+2=n2-18n2+18+212nn2+18-mx-m.]

因?yàn)閇mn=-6，]

所以[y+2=n2-18n2+18+212nn2+18+6nx+6n=n6x+1.]

所以直線[QM]的方程為[y=n6x-1.]

下同解法1.

二、“見(jiàn)”方法，“知”問(wèn)題本質(zhì)

解法1和解法2選擇主動(dòng)點(diǎn)[P]作為變化的原因，刻畫的方式分別為將點(diǎn)[P]的坐標(biāo)[s，t]作為變量及將直線[AP]的斜率[k]作為變量. 選擇坐標(biāo)作為變量，優(yōu)點(diǎn)是減少了直線方程與橢圓方程聯(lián)立求點(diǎn)[P]坐標(biāo)的過(guò)程;缺點(diǎn)是計(jì)算點(diǎn)[Q]坐標(biāo)的過(guò)程非常煩瑣，讓很多學(xué)生望而生畏，同時(shí)需要引進(jìn)兩個(gè)變量且滿足[s2+2t2=2]的約束條件，在得到[Q]的橫坐標(biāo)后，需要利用[s2+2t2=2]的約束關(guān)系，化簡(jiǎn)點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)，否則在求直線[QM]的方程時(shí)會(huì)很煩瑣. 這是解析幾何中簡(jiǎn)化運(yùn)算、提高運(yùn)算效率的重要舉措，即算理. 選擇斜率作為變量，優(yōu)點(diǎn)是將單一量作為變量，目標(biāo)比較明確，程序好操作;缺點(diǎn)是要兩次將直線方程與橢圓方程聯(lián)立.

解法1和解法2在計(jì)算直線[QM]方程時(shí)運(yùn)算量較大，可以大膽猜測(cè)直線[QM]過(guò)點(diǎn)[B，] 再證明. 但這有難度，需要學(xué)生具有非常好的數(shù)感.

解法3利用了[kAPkBP=-b2a2，] 避免了求點(diǎn)[P]的坐標(biāo)，減少了計(jì)算，但橢圓的性質(zhì)需要單獨(dú)給出證明.

解法4引入了兩個(gè)變量，即點(diǎn)[M，N]的橫坐標(biāo)，先根據(jù)點(diǎn)[P]在橢圓上，尋找[m，n]的關(guān)系式[mn=-6，] 再求出點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)，最后得到直線[QM]的方程，運(yùn)算量相對(duì)小些. 解法4還有一個(gè)意外收獲，即[NE ? EM=6，] 為定值.

通過(guò)上面的解法，我們發(fā)現(xiàn)了面積之比為定值的本質(zhì)：點(diǎn)[Q，B，M]三點(diǎn)共線，即直線[QM]過(guò)定點(diǎn)[B.]

三、“見(jiàn)”背景，“知”問(wèn)題源頭——壓縮變換的不變性

思考抓手：橢圓可以看成由圓經(jīng)過(guò)壓縮變換得到的，壓縮變換具有很多不變性. 例如，長(zhǎng)度之比的不變性，共線的不變性，等等.

遵循上述思路，利用類比思想，猜想得出如下結(jié)論.

如圖2，已知直線[AB]過(guò)圓[C]的圓心，直線[l]與直線[AB]垂直，且交于點(diǎn)[E.] 點(diǎn)[P]是圓[C]上的一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)[A，B]），直線[PA，PB]分別與直線[l]交于點(diǎn)[M，N.] 連接[AN，] 與圓[C]交于點(diǎn)[Q.]

（1）求證：[Q，B，M]三點(diǎn)共線;

（2）求證：[EM ? EN]為定值，并求出此定值.

證明：（1）因?yàn)閇AB]為圓[C]的直徑，

所以[AP⊥PN.]

因?yàn)閇AB⊥l，]

所以[A，N，E，P]四點(diǎn)共圓.

如圖3，連接[EP，]

則[∠QAB=∠NPE.]

同理，[B，E，M，P]四點(diǎn)共圓.

所以[∠BPE=∠BME.]

所以[∠QAB=∠BME.]

因?yàn)閇△QAB]和[△BME]均為直角三角形，

所以[∠QBA=∠MBE.]

所以[Q，B，M]三點(diǎn)共線.

（2）由（1）知，[A，N，E，P]四點(diǎn)共圓，

所以[∠BNE=∠EAP.]

所以[Rt△BNE]∽[Rt△MAE.]

所以[BEEM=NEAE.]

所以[NE ? EM=BE ? AE].

因?yàn)閇BE ? AE]為定值，

所以[NE ? EM]為定值.

四、“見(jiàn)”橢圓，“知”圓錐曲線的一般結(jié)論

根據(jù)上述對(duì)圓的研究可知，將“AB為直徑，直線[MN]與直徑[AB]垂直”的圓中相互垂直的問(wèn)題，遷移或類比到橢圓中就變成了“AB為過(guò)橢圓中心的直線，直線[MN]所在直線的斜率與[AB]所在直線的斜率之積為[-b2a2”.] 這樣就得到了更為一般的結(jié)論.

結(jié)論1：如圖4，已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0，]過(guò)原點(diǎn)的直線[l]與橢圓交于[A，B]兩點(diǎn). 直線[l1]與直線[l]交于點(diǎn)[E，] 且[l]與[l1]的斜率之積為[-b2a2.] 點(diǎn)[P]是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)[A，B]），直線[PA，PB]分別與直線[l1]交于點(diǎn)[M，N.] 連接[AN，] 與橢圓交于點(diǎn)[Q.] 則有[Q，B，][M]三點(diǎn)共線;[NE ? EM]為定值，且定值為[BE ? AE ? a2b2.]

再類比雙曲線，我們同樣可以得到下面的結(jié)論.

結(jié)論2：如圖5，已知雙曲線[C： x2a2-y2b2=1 a>0，][b>0，] 過(guò)原點(diǎn)的直線[l]與雙曲線[C]交于點(diǎn)[A，B，] 直線[l1]與直線[l]交于點(diǎn)E，且[l]與[l1]的斜率之積為[b2a2.] 點(diǎn)[P]是雙曲線C上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)[A，B]），直線[PA，PB]分別與直線[l1]交于點(diǎn)[M，N.] 連接[AN，] 與雙曲線交于點(diǎn)[Q.] 則有[Q，B，M]三點(diǎn)共線;[NE ? EM]為定值，且定值為[BE ? AE ? a2b2.]

五、“見(jiàn)”解題，“知”思維發(fā)展

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)不能依靠煩瑣、割裂和雜亂堆砌的知識(shí)，更不能依靠追求細(xì)枝末節(jié)、訓(xùn)練解題技巧的題庫(kù)，而是要引導(dǎo)學(xué)生理解核心思想. 由以上探究過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)，從確定題眼入手，在“將面積之比為定值化歸為直線過(guò)定點(diǎn)”這一核心思想的引領(lǐng)下，讓學(xué)生更多地關(guān)注簡(jiǎn)化運(yùn)算的算理，依靠邏輯推理能力的支撐，逐步看清問(wèn)題的本質(zhì)，突破難點(diǎn)，完成從特殊到一般的數(shù)學(xué)抽象，能“見(jiàn)”橢圓而“思”圓錐曲線，實(shí)現(xiàn)深度探究，“知”數(shù)學(xué)思想的精妙. 學(xué)生不必囿于題海，反倒會(huì)在不經(jīng)意間自覺(jué)“玩味”起自己或同伴“創(chuàng)造”出來(lái)的“新”問(wèn)題，經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)的過(guò)程，使思維品質(zhì)從簡(jiǎn)單模仿應(yīng)用上升到分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造的高階層面，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展也更容易從初級(jí)的“雙基層”上升到“問(wèn)題解決層”“學(xué)科思維層”.

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