課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的實(shí)踐探索

郭藝斌 危志剛

摘? 要：從課堂引入、習(xí)題講解、作業(yè)布置等環(huán)節(jié)討論數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)的方法.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化;育人價(jià)值;課堂教學(xué);實(shí)踐探索;滲透

數(shù)學(xué)文化內(nèi)容豐富、功能多樣，其最大的作用是以數(shù)“化”人. 合理運(yùn)用數(shù)學(xué)文化是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效手段之一，也是立德樹(shù)人的一種具體表現(xiàn). 數(shù)學(xué)課堂是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的主陣地，在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化是本次課程改革的重要內(nèi)容之一. 如何讓數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中發(fā)揮良好的育人作用？筆者將在本文中進(jìn)行初步探討.

一、活用數(shù)學(xué)史料，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)精神

要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，就要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題，用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題. 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更要教給學(xué)生看問(wèn)題的角度和方法，從而形成正確的理性思維和科學(xué)精神.

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分. 在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，適當(dāng)融入數(shù)學(xué)史有助于學(xué)生弄清數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展過(guò)程. 因此，很多數(shù)學(xué)教師在新課導(dǎo)入時(shí)會(huì)介紹與新課內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史實(shí). 在介紹數(shù)學(xué)史實(shí)時(shí)，教師如果能合理組織、恰當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生對(duì)一些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)精神有所感悟，就會(huì)達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

下面以人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）選擇性必修第二冊(cè)中的“等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例進(jìn)一步探討.

教材是這樣引入的：據(jù)說(shuō)，200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問(wèn)題：[1+2+…+100=？]當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：[1+100+2+99+…+][50+51=101×50=5 050]. 高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列[1，2，3，…，n ，…]前100項(xiàng)的和的問(wèn)題.

學(xué)生對(duì)于這個(gè)關(guān)于高斯的歷史故事耳熟能詳，故事中介紹的“倒序相加法”也是經(jīng)典. 教師直接把這個(gè)故事再講一遍導(dǎo)入新課，雖然不會(huì)出現(xiàn)大的紕漏，但是總覺(jué)得少了一些數(shù)學(xué)味道. 對(duì)于高斯給出的這個(gè)“巧妙”的計(jì)算方法，學(xué)生容易理解，也能做到，但是就是想不到. 如何利用這個(gè)故事引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的思維過(guò)程，在得到等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式的同時(shí)，使學(xué)生體會(huì)蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，感悟數(shù)學(xué)家深入思考問(wèn)題的探索精神，是教師在授課前需要思考的問(wèn)題. 以下是筆者的教學(xué)設(shè)計(jì).

問(wèn)題1：與其他算法相比，高斯的算法有何不同？?jī)?yōu)勢(shì)在哪里？

追問(wèn)：累加法就一定不好嗎？

師生互動(dòng)：作為課堂的開(kāi)始階段，這個(gè)環(huán)節(jié)以學(xué)生的自主思考和回答為主，以教師的引導(dǎo)為輔. 教師引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)構(gòu)出發(fā)比較、分析兩種算法的特點(diǎn)：高斯的算法是通過(guò)首尾配對(duì)將不同的數(shù)的求和轉(zhuǎn)化為同一個(gè)數(shù)的求和，進(jìn)而把多步的加法變成一步的乘法，從思維角度考慮，它比較高效;累加法是最基礎(chǔ)的計(jì)算方法，雖然操作機(jī)械，動(dòng)作重復(fù)，但是它卻給計(jì)算機(jī)的運(yùn)算提供了有力的理論保障.

【設(shè)計(jì)意圖】課堂引入要圍繞教學(xué)目標(biāo)將學(xué)生的注意力盡快吸引到教學(xué)任務(wù)上來(lái). 從育人的角度來(lái)看，這樣的問(wèn)題設(shè)計(jì)可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度看問(wèn)題，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，拓展學(xué)生思維的寬度，使他們體會(huì)到蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法和探索精神，從而提高學(xué)生的探索能力.

問(wèn)題2：高斯的算法利用了等差數(shù)列的什么性質(zhì)？這個(gè)性質(zhì)有沒(méi)有推廣價(jià)值？

追問(wèn)1：能否用高斯的算法計(jì)算[1+2+3+…+][100+101]的值？

追問(wèn)2：能否類比高斯的算法計(jì)算[1+2+3+…+n]的值？

追問(wèn)3：能否向高斯學(xué)習(xí)，對(duì)上述做法進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn)？

師生互動(dòng)：課堂探索進(jìn)一步深入，教師引導(dǎo)學(xué)生思考高斯的算法中蘊(yùn)含的等差數(shù)列的性質(zhì)，并思考推廣到一般的可能性. 通過(guò)計(jì)算[1+2+3+…+101]的值進(jìn)一步鞏固高斯的算法，讓學(xué)生在探索中發(fā)現(xiàn)首尾逐項(xiàng)配對(duì)后，中間項(xiàng)51是單獨(dú)的. 這時(shí)候，教師可以引導(dǎo)學(xué)生類比高斯的算法對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和. 同時(shí)，讓學(xué)生思考：是否需要對(duì)這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)進(jìn)行分類？然后讓學(xué)生進(jìn)一步探索[1+2+3+…+n]的結(jié)果. 經(jīng)歷了這樣的過(guò)程后，學(xué)生的思路就會(huì)比較清晰. 當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)無(wú)論項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)結(jié)論都一致時(shí)，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：是否可以改進(jìn)算法，不用討論就可以得出結(jié)論？從而引出數(shù)列求和的“倒序相加法”.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看待問(wèn)題，重溫?cái)?shù)學(xué)家的探索之旅，可以幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，體驗(yàn)數(shù)學(xué)家思考問(wèn)題的方式、方法，感悟他們孜孜不倦的探索精神，進(jìn)而提升學(xué)生的好奇心和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

利用數(shù)學(xué)史實(shí)創(chuàng)設(shè)情境可以讓學(xué)生在情境的引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，并從數(shù)學(xué)的角度經(jīng)歷完整的探索過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和科學(xué)精神. 通過(guò)解決問(wèn)題，學(xué)生獲得真切的體會(huì)，能夠形成良好的思維習(xí)慣，從而在以后面對(duì)新的、復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)會(huì)有屬于自己的精神動(dòng)力和處理方式. 這就是數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值的體現(xiàn). 當(dāng)然，學(xué)生個(gè)體品行的良性發(fā)展是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，不可能通過(guò)課堂上一兩次的以數(shù)“化”人就輕易實(shí)現(xiàn). 數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)性較強(qiáng)，不宜在課堂上過(guò)多宣講精神和理念，以免喧賓奪主. 如果教師通過(guò)適時(shí)、適度、恰當(dāng)?shù)貪B透，能夠在學(xué)生心里滴下一滴“理性的水滴”，那么這堂課就充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.

二、拓展習(xí)題講解，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值

數(shù)學(xué)育人的基本途徑是對(duì)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的（邏輯）思維訓(xùn)練，而思維訓(xùn)練的基本手段是讓學(xué)生進(jìn)行邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算. 眾所周知，要想學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，適當(dāng)?shù)牧?xí)題訓(xùn)練必不可少. 在盲目的習(xí)題訓(xùn)練中，用“題海戰(zhàn)術(shù)”來(lái)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，不僅會(huì)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生倦怠感，也會(huì)使他們?cè)跀?shù)學(xué)發(fā)展道路上越走越窄，這偏離了數(shù)學(xué)育人的初衷. 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生是主體，教師是主導(dǎo). 教師要通過(guò)習(xí)題訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，幫助學(xué)生形成思維體系，并認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值. 事實(shí)上，很多數(shù)學(xué)習(xí)題中隱含文化知識(shí). 在進(jìn)行習(xí)題講解時(shí)，教師不妨適當(dāng)講一講習(xí)題的文化背景或應(yīng)用價(jià)值，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)用性，提升他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)的動(dòng)力.

下面以教材必修第二冊(cè)中的“余弦定理、正弦定理”一課的習(xí)題設(shè)計(jì)為例談?wù)劰P者的做法.

習(xí)題：在[△ABC]中，角[A，B，C]的對(duì)邊分別為[a，b，c]. 已知[a=13，b=14，c=15].

（1）求[cosB，sinB]的值;

（2）求[△ABC]的面積.

師生互動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立完成，然后讓學(xué)生展示解答過(guò)程.

對(duì)于第（1）小題，已知三角形三條邊的長(zhǎng)求內(nèi)角，主要利用余弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系代入公式求解，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)并不困難. 解題后，教師要讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)運(yùn)算過(guò)程中的一些感受，以及是否有一些運(yùn)算小技巧（如利用平方差公式）.

對(duì)于第（2）小題，學(xué)生過(guò)點(diǎn)[C]作一條高，利用已知條件和三角形的面積公式即可求解.

另外，由于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)三角形的面積公式[S=12acsinB]沒(méi)有提出要求，教材中也并未介紹，僅出現(xiàn)在習(xí)題6.4的第10題中，讓學(xué)生自行探究. 如果有學(xué)生利用三角形的面積公式[S=12acsinB]進(jìn)行解答，教師也應(yīng)該進(jìn)行展示，并給予學(xué)生肯定和表?yè)P(yáng).

【設(shè)計(jì)意圖】提高學(xué)生的運(yùn)算能力既可以鞏固學(xué)生所學(xué)的知識(shí)，又可以強(qiáng)化他們對(duì)運(yùn)算的認(rèn)知水平，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng). 這是數(shù)學(xué)運(yùn)算的育人價(jià)值. 在運(yùn)算過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注運(yùn)算式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄌ岣哌\(yùn)算效率，這是利用數(shù)學(xué)眼光觀察事物的具體表現(xiàn)，是提高學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的有效途徑之一. 對(duì)于學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中的“新”發(fā)現(xiàn)，教師要及時(shí)肯定，以便提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)探究的興趣和信心.

教師給出以下問(wèn)題作為習(xí)題延伸.

問(wèn)題：這道題是有故事背景的，大家知道嗎？

師生互動(dòng)：講故事總會(huì)引起學(xué)生的興趣，緩解純粹的習(xí)題訓(xùn)練給學(xué)生帶來(lái)的疲倦感，從而活躍課堂氣氛. 教師告訴學(xué)生此題是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”中的一道應(yīng)用題：?jiǎn)柹程镆欢危腥? 其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里. 里法三百步. 欲知為田幾何？翻譯過(guò)來(lái)就是前面的習(xí)題. 教師進(jìn)一步介紹此書的作者（南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶）給出的此題的一種獨(dú)特算法——三斜求積術(shù). 我們把三斜求積術(shù)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示出來(lái)：已知[△ABC]的三邊分別為[a，b，c]，且[a<b<c]，則其面積為[S=14c2a2-c2+a2-b222]. 接下來(lái)，教師讓學(xué)生用習(xí)題中的數(shù)據(jù)代入計(jì)算，驗(yàn)證答案是否一致. 最后教師小結(jié)：我國(guó)古代學(xué)者不僅有很高的數(shù)學(xué)水平，而且注重理論與實(shí)踐的結(jié)合，是我們學(xué)習(xí)的榜樣.

【設(shè)計(jì)意圖】在習(xí)題講解時(shí)適當(dāng)擴(kuò)展習(xí)題外延，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值. 適當(dāng)介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，以及數(shù)學(xué)家們勇于探索、求真務(wù)實(shí)的精神，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情和學(xué)習(xí)動(dòng)力，為他們今后的數(shù)學(xué)發(fā)展提供方向.

在現(xiàn)代社會(huì)中，數(shù)學(xué)有很多出人意料的應(yīng)用. 我們生活的各個(gè)方面正在數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)正在悄悄地改變我們的生活. 數(shù)學(xué)文化的顯著特點(diǎn)是實(shí)用性，在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)該合理選取素材，積極、恰當(dāng)?shù)貪B透數(shù)學(xué)知識(shí)，為培養(yǎng)學(xué)生的自主探索和研究性學(xué)習(xí)精神起引導(dǎo)作用. 同時(shí)，教師要有意識(shí)地汲取我國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的精髓并滲透到教學(xué)過(guò)程中，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和愛(ài)國(guó)情操，實(shí)現(xiàn)德智融合，體現(xiàn)立德樹(shù)人.

三、留心作業(yè)布置，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值和審美價(jià)值

數(shù)學(xué)很美，有簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、和諧美和奇異美等. 但是在學(xué)習(xí)過(guò)程中，很多學(xué)生卻覺(jué)得數(shù)學(xué)知識(shí)很抽象，習(xí)題訓(xùn)練很枯燥，沒(méi)有美可言. 這是因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有感受到數(shù)學(xué)的美，也沒(méi)有理解數(shù)學(xué)的美，更不會(huì)欣賞數(shù)學(xué)的美. 教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)審美. 在教學(xué)活動(dòng)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)美，用數(shù)學(xué)方法探索數(shù)學(xué)美，用數(shù)學(xué)思維感受數(shù)學(xué)美，讓學(xué)生體驗(yàn)求知的樂(lè)趣，領(lǐng)會(huì)探索的美妙，感受追求卓越的幸福. 這是體現(xiàn)育人價(jià)值的較高層次.

數(shù)學(xué)文化有著豐富的內(nèi)涵，可以陶冶人的審美情操，在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)上起著重要的作用. 在教學(xué)過(guò)程中，教師要注意利用數(shù)學(xué)文化讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美的存在，并通過(guò)一些活動(dòng)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的美.

以布置課堂作業(yè)為例，教師布置作業(yè)的目的是讓學(xué)生鞏固本節(jié)課的學(xué)習(xí)成果. 教師把與本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)文化素材合理融入作業(yè)中，讓學(xué)生在完成作業(yè)的過(guò)程中既能鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，又能感受到數(shù)學(xué)好玩，從而享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣.

例如，在教學(xué)“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”（第1課時(shí)）時(shí)，筆者布置了如下作業(yè).

作業(yè)1：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果點(diǎn)[Mx，y]總滿足關(guān)系式[x2+y-32+x2+y+32=10]，那么點(diǎn)[M]的軌跡是什么曲線？為什么？寫出它的方程.

作業(yè)2：寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為[0，-4]，[0，4]，[a=5];

（2）[a+c=10]，[a-c=4].

作業(yè)3：折紙游戲.

① 準(zhǔn)備一張圓形紙片，標(biāo)注好圓心[O]，在圓內(nèi)任畫一個(gè)點(diǎn)[F]（圓心[O]除外）.

② 在圓上任意找一個(gè)點(diǎn)[A]，把圓形紙對(duì)折，使得點(diǎn)[A]和點(diǎn)[F]重合，畫出折痕[l1].

③ 重復(fù)步驟②，得到一組折痕[l1，l2，l3，…，ln].

觀察折痕所圍成的圖形的形狀，并思考其中隱含的奧秘.

【設(shè)計(jì)意圖】橢圓的概念是研究橢圓的基礎(chǔ)，理解并掌握橢圓的概念很重要. 本節(jié)課教師布置的作業(yè)目的是幫助學(xué)生理解并掌握橢圓的概念. 前兩道作業(yè)題采用教材上復(fù)習(xí)鞏固的第1題和第2題，分別從橢圓的代數(shù)式結(jié)構(gòu)和標(biāo)準(zhǔn)方程兩個(gè)方面鞏固學(xué)生對(duì)橢圓的概念的理解和掌握. 第三道作業(yè)題是亮點(diǎn). 它是教材復(fù)習(xí)鞏固的第6題的變形，把橢圓的概念和我國(guó)民間傳統(tǒng)文化藝術(shù)——折紙有機(jī)結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐進(jìn)一步理解橢圓的概念. 同時(shí)，折紙展示了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美和和諧美，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)，幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值. 通過(guò)這樣的作業(yè)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使他們受益匪淺.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師充分利用數(shù)學(xué)文化引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和挖掘數(shù)學(xué)美，使學(xué)生在賞心悅目的學(xué)習(xí)過(guò)程中與數(shù)學(xué)結(jié)下不解之緣，使學(xué)生的理性精神在追求美的過(guò)程中得到升華. 當(dāng)學(xué)生樂(lè)學(xué)、教師樂(lè)教時(shí)，數(shù)學(xué)的育人價(jià)值就實(shí)現(xiàn)了.

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)文化如春風(fēng)化雨，無(wú)聲地灑在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的漫長(zhǎng)道路上，滋潤(rùn)著學(xué)生的心靈，幫助學(xué)生健康成長(zhǎng). 赫爾巴特曾經(jīng)指出，他不承認(rèn)有任何無(wú)教育的教學(xué)，教學(xué)如果沒(méi)有進(jìn)行道德教育，只是一種沒(méi)有目的的手段. 知識(shí)和技能固然重要，但是與做人的方向和價(jià)值觀相比，顯然有工具的性質(zhì). 數(shù)學(xué)教師不僅要成為數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授者（經(jīng)師），也要幫助學(xué)生形成健全的品格，成為學(xué)生人生道路上的引路人（人師）. 在教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要注意進(jìn)行顯性和隱性的品行教育，充分利用數(shù)學(xué)文化以數(shù)“化”人的功能，把育人與知識(shí)傳授有機(jī)統(tǒng)一起來(lái)，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，使他們成為合格的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人，實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的根本任務(wù).

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