從分類(lèi)定義的差異化到數(shù)學(xué)本質(zhì)的一致性

摘? 要：從學(xué)生對(duì)圓錐曲線離心率分類(lèi)定義產(chǎn)生的疑問(wèn)入手，分析圓錐曲線離心率的教學(xué)情況和教學(xué)價(jià)值，探索促進(jìn)學(xué)生理解圓錐曲線離心率數(shù)學(xué)本質(zhì)一致性的途徑：一是利用圓錐曲線統(tǒng)一定義消除圓錐曲線離心率分類(lèi)定義的差異;二是以直線的斜率作為新的認(rèn)知附著點(diǎn);三是在Dandelin模型中進(jìn)行探源;四是創(chuàng)設(shè)情境理解圓錐曲線圖形上的統(tǒng)一性. 對(duì)圓錐曲線離心率及分類(lèi)定義的概念教學(xué)進(jìn)行反思.

關(guān)鍵詞：離心率;一致性;分類(lèi)定義

一、問(wèn)題的提出

在一次教學(xué)研討中，筆者聽(tīng)了一節(jié)“拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”公開(kāi)課. 在執(zhí)教教師給出拋物線離心率的定義后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)其與橢圓和雙曲線的離心率定義不一致并提出疑問(wèn). 筆者認(rèn)為，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并提出問(wèn)題的表現(xiàn)值得稱(chēng)贊，但是教師也應(yīng)該反思圓錐曲線離心率的教學(xué)情況，分析圓錐曲線離心率分類(lèi)定義的教學(xué)價(jià)值，探尋促進(jìn)學(xué)生理解圓錐曲線離心率數(shù)學(xué)本質(zhì)一致性的途徑. 如下分析和實(shí)踐與大家交流.

二、問(wèn)題的分析

1. 從提出的疑問(wèn)分析教師教學(xué)和學(xué)生理解情況

首先，學(xué)生能夠提出疑問(wèn)，體現(xiàn)了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，表明其形成了積極的學(xué)習(xí)心向. 疑問(wèn)本身表明學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三類(lèi)圓錐曲線的離心率定義不一致，試圖用統(tǒng)一的方式來(lái)同化離心率的定義. 這是“在關(guān)聯(lián)的情境中，發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá)”. 這種整體思維的意識(shí)和探尋圓錐曲線離心率內(nèi)在一致性的學(xué)習(xí)心向，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)十分重要.

其次，在教學(xué)過(guò)程中，執(zhí)教教師沒(méi)有發(fā)揮例題和習(xí)題的鋪墊拓展功能. 在人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)（以下統(tǒng)稱(chēng)“教材”）中，關(guān)于橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，都給出了求“動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比值等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡”的例題，并設(shè)置了“用信息技術(shù)探究點(diǎn)的軌跡——橢圓”的活動(dòng). 筆者認(rèn)為，教材如此編排是為建立圓錐曲線統(tǒng)一定義做好鋪墊，也為學(xué)生消除圓錐曲線離心率定義上的差異、理解其數(shù)學(xué)本質(zhì)的一致性提供支架. 經(jīng)過(guò)了解，執(zhí)教教師雖然講過(guò)這些例題，但沒(méi)有將題目的結(jié)論拓展成橢圓和雙曲線的一般性質(zhì)，沒(méi)有使學(xué)生留下深刻印象. 這表明，執(zhí)教教師在教學(xué)上對(duì)教材意圖的理解和實(shí)施存在偏差，對(duì)例題和習(xí)題教學(xué)功能的體現(xiàn)和發(fā)揮有所欠缺.

2. 離心率分類(lèi)定義的教學(xué)價(jià)值

差異化定義便于體現(xiàn)和理解離心率的功能. 一方面，離心率作為刻畫(huà)橢圓扁平程度和雙曲線“張口”大小的幾何量，自然要依托圖形的幾何特征，也就要與幾何量有所關(guān)聯(lián)，因此定義焦距[2c]與橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)（雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)）[2a]的比值為離心率，這既呼應(yīng)圖形形狀又符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，便于學(xué)生理解、記憶. 另一方面，圓錐曲線作為運(yùn)動(dòng)軌跡，是運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)，離心率作為描述和刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不變關(guān)系的幾何量，自然要依托運(yùn)動(dòng)的特征，因此定義為兩種距離的比值. 對(duì)于拋物線，由于其形狀都相似，因此研究重點(diǎn)不是形狀而是運(yùn)動(dòng)特征，即它的本質(zhì)——?jiǎng)狱c(diǎn)到焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離相等. 這種等距性通過(guò)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為常數(shù)1，若推廣為其他常數(shù)，即成為反映橢圓和雙曲線運(yùn)動(dòng)特征的不變關(guān)系，而這個(gè)常數(shù)就是它們的離心率. 因此，代數(shù)運(yùn)算視角下的離心率充分體現(xiàn)了圓錐曲線運(yùn)動(dòng)內(nèi)在的統(tǒng)一性.

理解概念必須經(jīng)歷從表象到本質(zhì)的過(guò)程. 圓錐曲線離心率的差異化定義是基于圓錐曲線的不同類(lèi)別而產(chǎn)生的，這種表象上的差異，隨著圓錐曲線統(tǒng)一定義的建立和對(duì)離心率本質(zhì)的揭示會(huì)悄然消失. 因此，從差異性的產(chǎn)生到消失是理解離心率所必須的過(guò)程，學(xué)生經(jīng)歷此過(guò)程后，對(duì)圓錐曲線統(tǒng)一性的認(rèn)識(shí)將從起源相同性質(zhì)、相似的事實(shí)性結(jié)論上升到本質(zhì)一致性的理性認(rèn)知.

三、促進(jìn)理解的途徑

1. 發(fā)揮統(tǒng)一定義的教學(xué)功能，消除分類(lèi)定義的差異

圓錐曲線統(tǒng)一定義具有重要的教學(xué)功能. 它能激發(fā)猜想引入拋物線的概念，消除離心率分類(lèi)定義的差異，促進(jìn)學(xué)生對(duì)圓錐曲線統(tǒng)一性的理解. 筆者從橢圓和雙曲線的方程出發(fā)，秉持以形導(dǎo)數(shù)的思想，以距離和運(yùn)算的消失、再現(xiàn)為路徑，引入拋物線的概念，教學(xué)片斷如下.

師：回顧推導(dǎo)橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程過(guò)程中第一次平方、化簡(jiǎn)后的方程.

生：推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程過(guò)程中第一次平方、化簡(jiǎn)后的方程為[ax-c2+y2=a2-cx;] 推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程過(guò)程中第一次平方、化簡(jiǎn)后的方程為[±ax-c2+y2=]

[a2-cx.]

師：它們能用同一個(gè)方程來(lái)表達(dá)嗎？

生：[ax-c2+y2=a2-cx.]

師：思考橢圓和雙曲線定義中的距離和運(yùn)算，在上述方程中有何變化？

生：動(dòng)點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離消失了，距離的和（差）運(yùn)算隨之消失.

師：很好！能將方程的右端看成距離或與距離有關(guān)的表達(dá)式嗎？

（學(xué)生短暫思考.）

生1：從絕對(duì)值中提出[c]，即得點(diǎn)[Px，y]到直線[l：x=a2c]的距離[x-ac2.]

師：很好！再現(xiàn)了“消失的距離”，能再現(xiàn)“消失的運(yùn)算”嗎？

生2：[x-c2+y2x-ac2=ca.]

師：距離的和（差）運(yùn)算變成了商，而且運(yùn)算結(jié)果恰好是離心率的表達(dá)式. 可見(jiàn)，幾何元素和運(yùn)算不會(huì)憑空消失，而是以另一種形式呈現(xiàn). 進(jìn)一步觀察方程的意義，左端是兩類(lèi)距離的比值，其有自然的取值范圍，而右端是橢圓和雙曲線的離心率，也有確定的取值范圍，兩者對(duì)比，有何猜想？

生：比值[ca=1]的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線.

師：很好，接下來(lái)我們?cè)贕eoGebra軟件中驗(yàn)證猜想.

（以下過(guò)程略.）

從橢圓和雙曲線的方程出發(fā)，以離心率“新”的表達(dá)式為目標(biāo)，由“新、舊”離心率取值范圍的差異引發(fā)猜想，在建立拋物線概念的同時(shí)消除離心率定義形式上的差異. 為避免喧賓奪主，教學(xué)時(shí)只采用圓錐曲線統(tǒng)一定義的方式，不出現(xiàn)統(tǒng)一定義的概念.

2. 建立新的認(rèn)知附著點(diǎn)，理解離心率刻畫(huà)曲線形狀的功能

形狀是圖形分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)形狀的刻畫(huà)和研究是幾何的內(nèi)容. 由于研究方法的變化，平面幾何與解析幾何刻畫(huà)圖形形狀的方式不同，前者是直觀的度量方法，只需度量幾何元素的數(shù)目和大小;后者是間接的運(yùn)算方法，既要度量還要運(yùn)算. 這種改變致使學(xué)生在平面幾何中積累的經(jīng)驗(yàn)不能正遷移到解析幾何中. 例如，學(xué)生通過(guò)觀察就能發(fā)現(xiàn)三角形的全等或相似，而對(duì)于“所有拋物線都相似”的事實(shí)性結(jié)論，有的學(xué)生學(xué)完解析幾何也很難認(rèn)同，這是因?yàn)樗麄儗?duì)曲線形狀的認(rèn)知還停留在幾何直觀上，而直觀上難以確定拋物線的相似性. 因此，應(yīng)該建立新的認(rèn)知附著點(diǎn)促進(jìn)學(xué)生對(duì)離心率的理解.

直線斜率是理解離心率的認(rèn)知附著點(diǎn). 首先，兩者功能相同，斜率刻畫(huà)了直線的傾斜程度，斜率相等的直線經(jīng)平移后重合，體現(xiàn)為圖形的全等;同樣，離心率刻畫(huà)的是橢圓的扁平程度（雙曲線的張口大小），離心率相同的圓錐曲線經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)、伸縮和平移后也能重合. 其次，兩者的概念表征相似，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)是計(jì)算斜率的幾何量，但斜率并不依賴(lài)點(diǎn)的坐標(biāo);同樣，圓錐曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離，或者橢圓（雙曲線）的焦距和長(zhǎng)軸（實(shí)軸）是計(jì)算離心率的幾何量，但離心率也不依賴(lài)于它們而是源自截面和圓錐面的相對(duì)位置.

3. 在Dandelin模型中探尋離心率的截口曲線根源

從起源上看，圓錐截線的形狀和類(lèi)別是由截面位置確定的. 因此，離心率是截面與圓錐面相對(duì)位置的代數(shù)表達(dá). 為了滿(mǎn)足學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需求，在單元復(fù)習(xí)時(shí)，利用Dandelin模型以圓錐曲線的統(tǒng)一定義為依據(jù)，探索離心率的截線根源.

如圖1，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為點(diǎn)[O]，圓錐的內(nèi)切球與截面[β]相切于點(diǎn)[F]（即焦點(diǎn)）、與圓錐面的切點(diǎn)圓形成平面[α，] 截面[β]與平面[α]相交于直線[l]（即準(zhǔn)線），所成的二面角為[φ.] 在截線上任取一點(diǎn)[P]，連接[PF]，過(guò)點(diǎn)[P]作[PP0⊥][α]于點(diǎn)[P0]，作[PP1⊥l]于點(diǎn)[P1]，連接[OP]交切點(diǎn)圓于點(diǎn)[P2]，設(shè)[PP2]與平面[α]所成的角為[θ]. 由[PF=][PP2]，得離心率[e=PFPP1=PP2PP1]. 在[Rt△PP0P2]和[Rt△PP0P1]中，分別有[sinθ=PP0PP2，sinφ=PP0PP1，] 所以[e=sinφsinθ.] 當(dāng)圓錐確定后，[θ]是定值，而[φ]由截面[β]的位置確定，所以離心率[e]的數(shù)值取決于截面的位置.

下面分析截面[β]繞直線[l]旋轉(zhuǎn)時(shí)，圓錐面截線的變化情況. 為便于敘述，將截面[β]與平面[α]重合、垂直以及平行于圓錐面的一條母線[l0]的狀態(tài)分別記作[S0、S⊥、S∥.]

當(dāng)[φ=0]時(shí)，截面[β]處于[S0]的狀態(tài)，截口曲線是圓.

當(dāng)[0<φ<θ]時(shí)，截面[β]從[S0]旋轉(zhuǎn)到[S∥]（不含[S0]和[S∥]），圓錐面的所有母線都與截面[β]相交，交點(diǎn)在頂點(diǎn)[O]的同側(cè)，截口曲線是橢圓，隨著[φ]增大，離心率[e]也增大且越來(lái)越接近1，橢圓越來(lái)越扁平.

當(dāng)[φ=θ]時(shí)，截面[β]處于[S∥]的狀態(tài)，圓錐面的母線除[l0]外都與截面[β]相交，交點(diǎn)在頂點(diǎn)[O]的同側(cè)，與[l0]夾角越小的母線與截面[β]的交點(diǎn)離頂點(diǎn)越遠(yuǎn)，截口曲線是拋物線，離心率[e=1].

當(dāng)[θ<φ≤π2]時(shí)，截面[β]從[S∥]旋轉(zhuǎn)到[S⊥]（含[S⊥]），圓錐面的所有母線都與截面[β]相交，交點(diǎn)在頂點(diǎn)[O]的兩側(cè)，所以截口曲線有兩支，是雙曲線，且[φ]越大，其“張口”越大，離心率[e]越大.

4. 創(chuàng)設(shè)動(dòng)態(tài)情境理解圓錐曲線圖形上的統(tǒng)一性

從代數(shù)的角度容易理解拋物線是橢圓和雙曲線的極限情形，即隨離心率[e]在區(qū)間[0，+∞]上連續(xù)變化，曲線從橢圓變?yōu)閽佄锞€再變?yōu)殡p曲線. 在圖形上很難想象，曲線在離心率[e=1]的瞬間由橢圓變成拋物線再變成雙曲線的突變過(guò)程. 對(duì)此，筆者結(jié)合數(shù)學(xué)史實(shí)，以蘇教版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第81頁(yè)和第93頁(yè)的“操作題”為依據(jù)，在幾何畫(huà)板軟件中創(chuàng)設(shè)情境展現(xiàn)突變過(guò)程，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)圓錐曲線圖形統(tǒng)一性的理解.

首先，要建立學(xué)生關(guān)于拋物線也有兩個(gè)焦點(diǎn)的認(rèn)知. 在數(shù)學(xué)史中，圓錐曲線的焦點(diǎn)由德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒于17世紀(jì)初首次發(fā)現(xiàn)，他指出拋物線還有一個(gè)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的焦點(diǎn)，直線是圓心在無(wú)窮遠(yuǎn)處的圓，他發(fā)現(xiàn)通過(guò)移動(dòng)焦點(diǎn)可以由橢圓、拋物線、雙曲線和圓中任意一個(gè)連續(xù)地變?yōu)榱硗庖粋€(gè). 其次，利用幾何畫(huà)板軟件創(chuàng)建焦點(diǎn)移向無(wú)窮遠(yuǎn)處的情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、想象相關(guān)幾何元素形狀和位置的變化情況，感知由橢圓和雙曲線變成拋物線的極限過(guò)程. 如圖2，在圓[F2]內(nèi)取不同于圓心的定點(diǎn)[F1]，在圓[F2]上取點(diǎn)[G]，對(duì)折線段[GF1]折痕交半徑[GF2]于點(diǎn)[P]，當(dāng)點(diǎn)[G]在圓[F2]上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)[K]是圓[F2]的過(guò)[F1F2]的直徑的端點(diǎn)，則點(diǎn)[P]的軌跡是以[F1，F(xiàn)2]為焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于[KF2]的橢圓. 因?yàn)閇GF2-F1F2=KF1]為定值，所以橢圓的離心率[e=][F1F2KF2=1-KF1KF2.] 現(xiàn)固定點(diǎn)K，在沿著直線[KF1]向右拖動(dòng)點(diǎn)[F2]的過(guò)程中，圓[F2]的半徑越來(lái)越大，橢圓的離心率越來(lái)越接近1，橢圓的形狀越來(lái)越接近拋物線，如圖3所示. 如圖4，在圓[F2]外取一定點(diǎn)[F1]，類(lèi)似地得點(diǎn)[P]的軌跡是以[F1，F(xiàn)2]為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)等于[KF2]的雙曲線. 沿直線[F1K]向右移動(dòng)點(diǎn)[F2]的過(guò)程中，雙曲線的離心率和形狀也有相應(yīng)的變化，如圖5所示.

四、后續(xù)的思考

1. 解題訓(xùn)練無(wú)法實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)離心率概念本質(zhì)的理解

在教學(xué)實(shí)踐中，部分教師會(huì)以“求圓錐曲線離心率的數(shù)值或取值范圍”的題目為載體，通過(guò)知識(shí)的運(yùn)用促使學(xué)生加深對(duì)離心率概念理解. 但事實(shí)上，這種做法欠妥，因?yàn)轭}目的解答都是從所給的情境中獲得表達(dá)離心率的幾何量，進(jìn)而建立相應(yīng)的等式或不等式進(jìn)行求解. 這是離心率概念在標(biāo)準(zhǔn)或變式情境下的套用和模仿，屬于記憶性理解，不涉及離心率的數(shù)學(xué)本質(zhì)和根源，學(xué)生即使能夠熟練解題也無(wú)法領(lǐng)悟“為什么通過(guò)這些幾何量的運(yùn)算就能算出離心率”. 因此，對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解要深入源頭理清脈絡(luò)，要構(gòu)建關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，才能達(dá)到解釋性理解和探究性理解的層次.

2. 數(shù)形結(jié)合是解析幾何運(yùn)算的內(nèi)在要求

解析幾何的運(yùn)算要求深度的形數(shù)結(jié)合，而不是點(diǎn)綴式地給運(yùn)算結(jié)果賦予幾何意義. 用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題要遵循“幾何問(wèn)題代數(shù)表達(dá)—代數(shù)運(yùn)算獲得結(jié)果—代數(shù)結(jié)果的幾何形式”的順序，但這并非機(jī)械的線性順序，而要數(shù)形結(jié)合貫穿始終. 代數(shù)表達(dá)需要深入分析形的特征，否則將導(dǎo)致表達(dá)形式繁復(fù)、運(yùn)算過(guò)程冗長(zhǎng)，無(wú)法繼續(xù)研究;代數(shù)運(yùn)算需要從幾何關(guān)系上找啟發(fā)、從幾何推理上找路徑、用幾何特征驗(yàn)證運(yùn)算結(jié)果，脫離圖形特征的純粹運(yùn)算毫無(wú)意義，無(wú)法從代數(shù)結(jié)果中獲得幾何形式. 上述教學(xué)片斷中的代數(shù)變形路徑始終圍繞距離的數(shù)目、種類(lèi)等幾何要素及其運(yùn)算的消失再現(xiàn)而延伸. 在教學(xué)實(shí)踐中，圍繞其他幾何要素，如“角度”，在把距離變換成斜率的運(yùn)算過(guò)程中，也能發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的優(yōu)美性質(zhì)，一些教材習(xí)題由此編排.

3. 分類(lèi)定義概念教學(xué)應(yīng)追求本質(zhì)一致性

數(shù)學(xué)中有些分類(lèi)定義的概念，在各類(lèi)別中的定義形式不同，對(duì)特殊情形直接用“規(guī)定”的形式給出;有些概念的教學(xué)需要跨越較長(zhǎng)的時(shí)間間隔. 教學(xué)時(shí)要在每個(gè)類(lèi)別中辨別概念的形式和內(nèi)涵，也要在所有類(lèi)別中厘清概念的共同本質(zhì)，對(duì)于“規(guī)定”的內(nèi)容，教師有必要為學(xué)生揭示“規(guī)定”的合理性和必要性，讓學(xué)生獲得整體的理解. 例如，對(duì)“斜線與平面所成的角”的教學(xué)，不能僅停留在“斜線與射影所成的角”的概念描述上，還要深入到“斜線與平面內(nèi)所有直線所成角的最小值”的本質(zhì)中，這樣學(xué)生才能認(rèn)識(shí)到“規(guī)定直線與平面垂直時(shí)，所成的角為直角”的合理性和一致性，才能對(duì)“直線與平面所成的角”有整體的理解. 同樣地，對(duì)“異面直線間的距離”“平面與平面的距離”等空間距離的教學(xué)，既要?dú)w納其幾何直觀上的共性，也要揭示它們都是“動(dòng)點(diǎn)距離的最小值”這一本質(zhì)，以便學(xué)生從函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)理解概念、用函數(shù)的方法解答問(wèn)題. 唯有此，學(xué)生對(duì)分類(lèi)定義的概念的理解才能觸及本質(zhì)，進(jìn)而獲得整體認(rèn)知.

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