“圓錐曲線定值問題”課堂實錄及反思

呂德榮

摘? 要：解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何圖形中所蘊含的性質(zhì)和規(guī)律. 以“圓錐曲線定值問題”的教學為載體，通過問題驅(qū)動的教學方式，引導學生分析圓錐曲線的幾何特征，提高學生的解析幾何運算能力，進行解題規(guī)律的提煉與數(shù)學思想的升華，培養(yǎng)學生的邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;定值問題;幾何轉(zhuǎn)化

一、引言

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）中要求解析幾何重點提升學生的直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學建模、邏輯推理和數(shù)學抽象素養(yǎng);要求學生能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程，根據(jù)具體問題情境的特點建立平面直角坐標系，根據(jù)幾何問題和圖形的特點用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，根據(jù)對幾何問題的分析探索解決問題的思路，運用代數(shù)方法得出結(jié)論，給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋解決幾何問題. 同時，《標準》也提出了教師要加強對學生的學習方法指導，幫助學生養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，敢于質(zhì)疑、善于思考，理解概念、把握本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合、明晰算理，厘清知識的來龍去脈，建立知識之間的關(guān)聯(lián).

章建躍博士在文獻[2]中談到，“四基”“四能”只有通過“思維過程的教學”才能得到落實. 這個“過程”是學生在教師啟發(fā)下積極主動地理解數(shù)學知識的思維過程，數(shù)學學科核心素養(yǎng)也只有在這樣的過程中才得以實現(xiàn). 因此，我們特別注重以數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程為載體，以恰時、恰點的問題引導學生的思維活動，努力使學生經(jīng)歷研究一個數(shù)學對象的基本過程，在過程中培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，發(fā)展學生的數(shù)學能力.

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何圖形中所蘊含的性質(zhì)和規(guī)律，解析幾何綜合問題對學生的能力要求較高. 在高考備考中要著重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維習慣，讓學生在解題過程中重視對幾何關(guān)系的深入研究，深入挖掘題目中的幾何條件，探究運動變化過程中所蘊含的幾何特征. 要讓學生依據(jù)題目中的幾何關(guān)系，通過代數(shù)運算實現(xiàn)對圖形中幾何關(guān)系的探究，從而形成正確的求解思路. 在培養(yǎng)學生數(shù)學思維習慣的過程中，問題的引導和驅(qū)動非常重要.《標準》倡導教師要運用適當?shù)膯栴}串幫助學生探究新知，突破學習障礙. 基于學情，在解題的各個環(huán)節(jié)，在學生需要處和思維的深刻處精心設計問題，實現(xiàn)師生之間的深度對話，充分暴露師生解題的思維過程，教給學生遇到解題障礙時應該怎么想，努力說明每個念頭都是自然的、合理的. 問題的設計要問在理解題意處、問在思路探究處、問在思維障礙處、問在回顧反思處. 針對解析幾何綜合問題的特點，通過一系列問題的設計，完成對題目的幾何特征進行代數(shù)表達的分析，從而幫助學生在關(guān)鍵步驟、容易“卡殼”的步驟展示思維過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學學習習慣.

解決解析幾何問題面臨的困難之一就是煩瑣、復雜的代數(shù)運算. 在解題過程中，許多學生因為不能順利進行數(shù)學運算而導致解題半途而廢. 課堂上和復習過程中，教師要舍得花費時間與學生共同經(jīng)歷分析問題、解決問題的全過程，向?qū)W生闡述每一步計算的算理，提醒學生注意每一個運算細節(jié)，教給學生重要的代數(shù)變換方法和必備的計算技巧，促進學生運算能力的發(fā)展，使學生感悟“理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇原則方法，設計運算程序，求得運算結(jié)果”的數(shù)學運算素養(yǎng)的內(nèi)涵與實際價值.

2021年11月19日，筆者有幸參加了一場以“利用幾何圖形建立直觀? 通過代數(shù)運算刻畫規(guī)律”為主題的教研活動，活動圍繞“高三年級圓錐曲線復習課”展開研討. 研討過程中，筆者上了一節(jié)“圓錐曲線定值問題”公開課，得到了與會專家的一致好評. 本文以這節(jié)課為例，談談如何通過問題驅(qū)動，實現(xiàn)對研究對象幾何特征和解析幾何運算特點的分析. 在這一過程中，需要教師重視引導學生進行解題規(guī)律的提煉與數(shù)學思想的升華.

二、課堂實錄

環(huán)節(jié)1：復習回顧，鋪墊引入;創(chuàng)設情境，提出問題.

問題1：上節(jié)課我們研究了橢圓中斜率積為定值的問題，探究過程是按照什么思路展開的？得到了什么結(jié)論？用到了哪些運算方法？

師生活動：上節(jié)課的學習已經(jīng)從定點問題的研究過渡到了橢圓中斜率積為定值的問題，教師與學生一起推導了定值結(jié)論，共同回顧，進行研究思路、參數(shù)引入和運算處理方法的梳理. 這節(jié)課主要探究定值問題，讓學生對研究過的定值問題進行回顧. 引導學生說出引例1.

引例1：已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的上、下頂點為[A，B]，點[P]為橢圓[C]上異于點[A，B]的一個動點，直線[PA，PB]的斜率分別為[k1，k2]，試探究[k1k2]是否為定值.

學生給出解答如下.

由題設，知[A0，b，B0，-b].

設[Px0，y0]，則[x0≠0].

所以直線[PA]的斜率為[k1=y0-bx0]，直線[PB]的斜率為[k2=y0+bx0].

因為點[P]在橢圓上，

所以[x02a2+y02b2=1 x0≠0].

從而有[k1k2=y0-bx0 · y0+bx0=y02-b2x02=b2-b2a2x02-b2x02=][-b2a2]，為定值.

追問1：如果把橢圓的上、下頂點為[A，B]，換成左、右頂點為[A，B]，結(jié)果如何呢？

師生活動：重現(xiàn)之前研究過程的細節(jié)，讓學生理解上個課時給出橢圓中斜率積為定值的邏輯的合理性.

橢圓的四個頂點是橢圓的基礎幾何性質(zhì)，學生很自然能夠產(chǎn)生這樣的探究想法，也保障了研究的完整性和嚴密性.

追問2：這里的點[A，B]都是橢圓的頂點，關(guān)于原點對稱. 那么，橢圓上任意關(guān)于原點對稱的兩點是否都有同樣的性質(zhì)呢？

師生活動：教師帶著學生整理，按照從特殊到一般的規(guī)律，把普適性的研究成果進行重申. 強調(diào)運算方法——點差法. 引導學生說出引例2.

引例2：已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]，動直線[y=kx]與橢圓交于[A，B]兩點，點[P]為橢圓[C]上異于點[A，B]的一個動點，直線[PA，PB]的斜率分別為[k1，k2]，試探究[k1k2]是否為定值.

追問3：上述問題探討的性質(zhì)類似于圓的直徑所對的圓周角是直角，如圖1所示. 圓還具備什么重要性質(zhì)？

師生互動：引導學生從定值[-b2a2]的結(jié)構(gòu)入手，聯(lián)系圓的幾何性質(zhì)——直徑所對的圓周角是直角，讓學生意識到直徑所在的直線在運動，直徑所對的圓弧上的點也在運動，而它們形成的角度卻是定值. 通過類比圓的性質(zhì)，讓學生感悟“動中不動是為定”的辯證思想，體會動與靜的完美統(tǒng)一，同時聯(lián)想圓的其他重要性質(zhì)——垂徑定理.

追問4：圓的一個重要結(jié)論是垂徑定理（圓的弦中點和圓心連線與圓的弦互相垂直），如圖2所示. 橢圓中是否也有類似的性質(zhì)與結(jié)論呢？

師生互動：學生回顧探究思路，口述了結(jié)論的成立，并用“點差法”證明了結(jié)論. 學生說出引例3.

引例3：已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]，直線[l]不過原點[O]且不平行于坐標軸，直線[l]與[C]有兩個交點[A，B]，線段[AB]的中點為[M]. 直線[OM]的斜率與直線[l]的斜率分別為[k1，k2]，試探究[k1k2]是否為定值.

教師引導學生對這三個引例進行如下分析：引例1（動點[P]）[→]引例2（動點[P]，動直線[y=kx]，動直線產(chǎn)生的點有關(guān)聯(lián)）[→]引例3（動點[P]，動直線，中點等更多幾何情境），選擇參數(shù)時也會相應變化.

環(huán)節(jié)2：典例探究.

問題2：受問題1研究過程的啟發(fā)，當運動的因素變化，引起變化的量越多參數(shù)也越多，對幾何問題代數(shù)化表達的過程也會越來越復雜. 如何正確地表達幾何量？如何選擇合理的參數(shù)簡化運算？

通過下面的例子進一步探討.

例1? 如圖3，已知橢圓[C： x24+y2=1]，設點[M]為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一個動點，[A，B]分別為橢圓的左頂點和下頂點，直線[MB]與[x]軸交于點[C]，直線[MA]與[y]軸交于點[D]. 求證：四邊形[ABCD]的面積為定值.

師生活動：教師給出典型例題，引導學生讀題、結(jié)合圖形審題.

追問1：解析幾何表達多邊形面積有哪些方法？

追問2：四邊形[ABCD]有什么特征？怎么表達面積合適？

追問3：如何求[AC， BD]？哪些點確定？哪些點變化？

追問4：點[C，D]的運動變化是由什么因素引起的？

追問5：變化是由點[M]引起的，那么如何設參數(shù)？

師生活動：學生總結(jié)多邊形面積的一般表示法. 學生能夠想到三角形面積公式[S=12l1l2sinα]，四邊形的面積通過三角形來轉(zhuǎn)化. 學生表述完，教師進行歸納梳理. 學生發(fā)現(xiàn)四邊形[ABCD]的對角線互相垂直，通過對角線求解四邊形的面積，得[S四邊形ABCD=12ACBD]. 點[A，B]確定，點[C，D]在運動變化，變換是由點[M]的運動引起的，直接設點[Mm，n]. 這樣就可以表示直線[AM]和直線[BM]的方程，從而求出點[C]和點[D]的坐標. 學生自主完成后，教師巡堂，投影展示答案. 對解析幾何多邊形面積的常規(guī)表述進行梳理，并讓學生進行規(guī)律總結(jié). 通過對例1的解題思路的分析，把學生解題過程中遇到的思維疑點和難點逐一解決. 學生把這些問題都解決了，剩下的就交給運算了，教師鼓勵學生大膽計算、敢于計算. 在巡堂過程中，教師發(fā)現(xiàn)學生完成得好的，進行投影展示，同時通過PPT給予解答.

環(huán)節(jié)3：探究交流.

問題3：如果問題情境發(fā)生變化，運動變化的因素變得復雜，甚至研究的問題都變得陌生了，我們又該如何轉(zhuǎn)化？如何引入?yún)?shù)進行求解？

例2? 已知拋物線[C：x2=4y]的焦點為[F]，過點[F]作兩條互相垂直的直線[l1，l2]，[l1]與[C]交于[M，N]兩點，[l2]與直線[y=-1]交于點[P]，判斷[∠PMN+∠PNM]是否為定值. 若是，求出其值;若不是，說明理由.

師生活動：教師給出探究例題，引導學生讀題、審題，自己畫出圖形.

追問1：例2研究的目標是什么？可以怎么轉(zhuǎn)化？

追問2：轉(zhuǎn)化之后依然是角度，表達角度有哪些方法？哪個比較合適？

追問3：如果上述方法研究起來依然有困難，可以從哪方面入手？

追問4：特殊情況是什么？

追問5：特殊情況得出結(jié)論是[PM⊥PN]，一般情況如何證明？

追問6：通過向量或者斜率證明，都需要點[M，N]，[P]的坐標，怎么得到這些點的坐標？哪些點是運動的？運動是怎么引起的？

追問7：運動變化的關(guān)鍵是直線，那么如何設參數(shù)？

師生活動：學生可以想到[∠PMN+∠PNM=π-∠MPN]，把雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，再研究[∠MPN]. 學生口頭總結(jié)了表達角度可以考慮三角函數(shù)，如正切（斜率）、正弦或余弦，還可以用向量. 學生表述完，教師進行歸納梳理. 學生感覺即便有一些角度的表達方式，對于研究例2依然有困難. 教師引導學生從特殊情況入手，讓學生求出特殊情況下的結(jié)論，然后證明一般情況. 學生已有證明垂直能夠轉(zhuǎn)化為斜率或向量數(shù)量積為0的認知基礎，教師引導學生分析需要點[M，N，P]的坐標，而點[M]，[N，P]的運動是由直線的運動引起的，從而引入?yún)?shù)、聯(lián)立求解. 學生自主完成后，教師巡堂，投影展示答案. 教師對角度這個幾何量的“代數(shù)化”梳理可以幫助學生形成知識體系，使學生以后再遇到合適的情境時不至于束手無策. 遇到棘手的問題時，利用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）可以將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向、有目標的一般性證明題，有利于找到解決問題的突破口. 對于參數(shù)的選擇，讓學生從源頭分析，并進行判斷. 在巡堂過程中，教師發(fā)現(xiàn)學生完成得好的，進行投影展示，同時通過PPT給出解答.

環(huán)節(jié)4：探究運用.

問題4：例1是只有一個點的變化引起圖象的變化，我們設點的坐標;例2是兩條互相關(guān)聯(lián)的直線引起圖象變化，我們設某條直線的斜率. 如果引起運動變化的因素增多，幾何情境也變得更加復雜，我們又該如何處理呢？

例3? 點[M]的軌跡為[C：x2-y216=1 x≥1]，設點[T]在直線[x=12]上，過點[T]的兩條直線分別交[C]于[A，B]兩點和[P，Q]兩點，且[TATB=TPTQ]，求直線[AB]的斜率與直線[PQ]的斜率之和.

師生活動：按照由淺入深，從“動”因素少到“動”因素多的思路，逐層探究. 教師給出探究例題，引導學生讀題、審題，自己畫出圖形.

追問1：例3探討的斜率是我們熟悉的幾何量，那么具體條件給的是什么幾何量？一般怎么轉(zhuǎn)化？

追問2：坐標等價轉(zhuǎn)化，具體怎么表達呢？

追問3：這個問題中變化的幾何量有哪些？這一變化是由哪些量的變化引起的？

追問4：直線[AB，PQ]有沒有關(guān)聯(lián)？根據(jù)這些變化的量，可以怎么引進參數(shù)呢？

追問5：如何得到與點[A，B]的橫坐標有關(guān)的運算結(jié)構(gòu)？

師生活動：學生通過審題發(fā)現(xiàn)條件是長度乘積，由長度的表達想到了兩點間的距離公式和弦長公式. 學生表述完，教師進行歸納梳理. 對于該例具體的表達，學生習慣了弦長公式，直接設[Ax1，y1，Bx2，y2]，則[TATB=1+k21x1-12x2-12]. 通過追問，學生意識到這個情境中變化的幾何量較多，點[T]和直線[AB，PQ]都在運動變化，直線[AB，PQ]除了都過點[T]外沒有別的關(guān)聯(lián)，所以點[T]的坐標和直線[AB，PQ]的斜率都要引入?yún)?shù). 我們設點[T12，t]，則直線[AB]的方程為[y-t=k1x-12]，直線[PQ]的方程為[y-t=k2x-12]. 要得到與點[A，B]的橫坐標有關(guān)的運算結(jié)構(gòu)，聯(lián)立方程，得[y=k1x+t-12k1，16x2-y2=16，] 消去[y]，整理可得. 給學生充裕的時間運算，教師巡堂觀察探究情況，讓學生在黑板上板書. 通過學生的表達，教師幫助學生梳理，可以用兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、平行線間的距離公式、弦長公式、“化斜為直”坐標法等. 層層遞進引導學生意識到定值問題的本質(zhì)就是解析幾何中的某些幾何量（直線的斜率、圖形的面積、角的度數(shù)、線段的長度等）的大小或某些代數(shù)表達式的值等與題目中的參數(shù)無關(guān). 要善于運用辯證的觀點思考和分析問題，在動點的“變”中尋求值的“不變”，選定適合題設的參數(shù)，用題目中的已知量和參變量表示題中涉及的定義、方程和幾何性質(zhì)，再用根與系數(shù)的關(guān)系導出所求定值所需要的表達式，并將其代入定值的表達式，化簡、整理求出結(jié)果. 學生在黑板上板書，可以把運算環(huán)節(jié)展示出來，增強學生運算的信心. 然后教師通過PPT給出解答.

環(huán)節(jié)5：歸納總結(jié)，反思提升.

問題5：（1）根據(jù)上面的解題過程，能否總結(jié)定值問題的解決策略有哪些？

（2）根據(jù)上面的解題過程，能否總結(jié)定值問題的常見類型有哪些？

（3）在研究定值問題的過程中，我們采用了怎樣的探究過程與方法？

師生活動：學生總結(jié)出了定值問題的解決策略. 特殊法，從特殊入手，求出定值，再證明這個定值與變量無關(guān);直接法，直接推理、計算，并在推理、計算的過程中消去參數(shù)，從而得到定值. 由于黑板上有板書，學生能歸納出定值問題常見的類型有直線的斜率、圖形的面積、角的度數(shù)和線段的長度，能說出這些幾何量常見的代數(shù)轉(zhuǎn)化方法. 對于探究方法，學生能說出特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸，教師補充了數(shù)形結(jié)合思想，引導學生說出在解決問題的過程中提高了推理論證能力和運算求解能力.

三、回顧與反思

1. 教學內(nèi)容的安排

整節(jié)課中，教師一直在滲透分析幾何因素的思想，希望啟發(fā)學生在面對綜合性解析幾何問題時，對圖形中定與不定的因素有具體的把握與分析，能夠感受圖形中幾何要素的生成過程. 只有對幾何要素的生成過程進行了分析，才能對參數(shù)的選取做出準確的判斷. 引例中的橢圓斜率積定值問題，是本節(jié)課之前學生在解決選擇題和填空題時遇到過的情境，教師在講解過程中已經(jīng)滲透了定值結(jié)論. 本節(jié)課再從類比圓、邏輯梳理的角度層層深入地進行梳理和分析. 學生體會了橢圓定值問題這種由淺入深的邏輯過程和參變量的選取原則. 再把問題推廣到一般的綜合性問題，而不只是局限于橢圓中的斜率積背景.

后面三道例題的選取考慮到了三種曲線的全面性和常見幾何要素代數(shù)化的典型性.

例1的情境是橢圓中的四邊形的面積問題，橢圓是解析幾何綜合問題中最常見的圖形. 無論是基本幾何性質(zhì)的掌握程度，還是畫圖的熟練度，學生都是不錯的. 該題中條件的幾何要素不復雜，目標是研究四邊形的面積，學生也能轉(zhuǎn)化. 這里為了優(yōu)化運算，利用四邊形兩條對角線互相垂直，通過對角線乘積的一半來求四邊形的面積. 這也是四邊形面積求解中常見的類型.

例2的情境是拋物線中的角度問題，雖然學生在以前的學習過程中接觸拋物線綜合問題的機會不如橢圓多，但是拋物線畫圖容易，而且對其幾何性質(zhì)的研究非常透徹，學生在心理上是不害怕的. 條件中運動變化的幾何要素也不多，但是目標情境——角度相對比較陌生. 這里要讓學生形成轉(zhuǎn)化與化歸的意識，結(jié)合圖形至少可以先把兩個角度的研究轉(zhuǎn)化為一個角度的研究，然后再聯(lián)想角度常見的轉(zhuǎn)化方案，看是否可行，如果都不可行，還可以如何解決. 在矛盾沖突中產(chǎn)生從特殊情況入手的念頭，從而通過特殊情況下為直角來簡化一般情況下的證明.

例3的情境是雙曲線中的長度乘積問題，對學生而言是最為陌生的，畫圖不如前兩種熟練，長度乘積在心理上會讓人覺得復雜、難算，但是目標是研究斜率，是學生熟悉的部分. 條件中運動變化的因素變多了，面對多運動變化因素的情境，讓學生心理上不要產(chǎn)生畏懼感. 解決該例的關(guān)鍵是找到長度乘積的適當轉(zhuǎn)化方式，讓學生熟悉“化斜為直”的長度轉(zhuǎn)化方式.

課堂小結(jié)部分讓學生對定值處理策略、常見幾何要素轉(zhuǎn)化方法和數(shù)學思想方法進行條理化的梳理.

2. 教學方法的選擇

問題引領，教師主導，生“動”課堂. 要讓課堂上學生的“動”有目標、有邏輯順序，教師就要設置好一系列問題. 教師設置好了問題和追問，學生就有了思考與討論的載體，本節(jié)課正是借助這些問題串來推進教學的. 問題1及其追問，回顧橢圓中斜率積定值問題的研究思路，讓學生體會幾何因素逐漸變多的層次感，也從聯(lián)系的角度與圓進行類比研究. 問題2及其追問，提出一個情境簡單的問題，完成這道例題的幾何條件的分析，并幫助學生梳理多邊形面積的常見轉(zhuǎn)化方式. 問題3及其追問，對于幾何情境變得復雜時，如何分析幾何條件，如何轉(zhuǎn)化問題，示范了“特殊探路，一般證明”的過程，也幫助學生梳理角度問題的常見轉(zhuǎn)化方式. 問題4及其追問，幾何情境變得更加復雜了，幾何問題更加陌生了，教會學生如何進行幾何條件的分析和轉(zhuǎn)化，如何合理地設參、用參、消參，得出定值，同時梳理和歸納長度問題的常見轉(zhuǎn)化方式. 問題5的三個小問題完成了對本節(jié)課定值處理策略、常見幾何要素轉(zhuǎn)化方法和數(shù)學思想方法的小結(jié).

在整個教學過程中，通過這些問題串的設計，突出了對研究對象幾何特征的分析. 解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題，但教學中要注意代數(shù)運算與幾何直觀的相互為用. 因為研究對象是幾何圖形，所以把握所研究對象的幾何特征、明確面臨的幾何問題，這是首要的一步，然后才是用代數(shù)方法去研究. 上課過程中讓學生畫圖，結(jié)合圖形思考代數(shù)表征，思考要解決的代數(shù)問題的特點，真正做到數(shù)形結(jié)合.

同時，注重對解析幾何運算特點的分析. 解析幾何中的運算是建立在幾何背景下的代數(shù)運算，所以先用幾何眼光觀察，分析清楚幾何圖形的要素及其基本關(guān)系，再用代數(shù)語言表達，而且在運算中時刻注意圖形的幾何特征及圖形間的關(guān)系來簡化運算，這是突破運算難點的關(guān)鍵舉措. 在解析幾何教學中，提高學生的運算能力不能僅從代數(shù)角度入手，還要努力提高學生的幾何圖形分析能力，也就是要在數(shù)形結(jié)合上下工夫. 學生的計算能力，很大程度上決定了解析幾何的解題效率. 要讓學生意識到簡化運算結(jié)構(gòu)、優(yōu)化運算方案在解析幾何解題中的重要性. 同時，通過不斷成功的過程體驗讓學生建立起運算的信心和克服困難結(jié)構(gòu)式的勇氣.

3. 教學媒體的選用

問題、引例及三道例題的呈現(xiàn)都由教師事先準備好，在課堂上通過PPT顯示在屏幕上，這樣學生在解題過程中能夠清楚地看到所有問題. 但是因為場地限制，黑板書寫效果不佳，學生前面的做題展示都是通過投影設備實現(xiàn)的，相對于上臺板書，未能更多地反映學生的思維過程. 雖然啟用了活動黑板讓學生上臺對例3進行板書，但是還是可以有更多的教師板書過程，并在板書過程中反復強調(diào)書寫運算的規(guī)范性，相信效果會更好.

4. 值得改進的地方

學而知不足，思而得遠慮. 教學本身是一門遺憾的藝術(shù)，本節(jié)課還存在一些需要改進的地方.

（1）對于例1，當我們分析清楚研究對象的幾何特征后，分析出在所有的條件中能夠建立起等量關(guān)系的只有點[M]在橢圓上這一個條件. 因此，不管怎么設“坐標”，都應該在情理之中，沒有必要將問題的解答按照某一個模式來固定，也沒有必要糾結(jié)到底引進哪個點的坐標作為“參數(shù)”，設點[Mm，n]和設點[Cm，0，][D0，n]都是可行的.

當然，解決“定點、定值”問題的常用思路往往是從特殊情形入手. 如果從特殊情形入手，可以取[M1， 32]，則有[C4-23，0，D0， 33]，從而求得四邊形的面積;再證明這個定值與變量無關(guān).

（2）對于例3中的條件[TATB=TPTQ]，由圓冪定理可知[A，B，P，Q]四點共圓，這是不變的. 這就是對代數(shù)表達式[TATB=TPTQ]的幾何因素的分析，所以可以從二次曲線系方程表示為圓的條件（不含[xy]項）入手進行解答，同樣可以得到[k1+k2=0]. 由此可見，認真解讀條件的幾何特征非常重要.

（3）沒有重視教材的使用. 如果對教材進行深入挖掘，也能從教材中看似簡單的題目中挖掘出很多與圓錐曲線定值問題有關(guān)的問題來.

（4）受教學設備所限，沒能充分展示學生的運算過程，對于運算表達規(guī)范的學生的解法只進行了投影展示，沒有讓學生談談是如何做到的，沒有用“放大鏡”再細化這些運算過程的關(guān)鍵點. 為了強調(diào)規(guī)范表達，應該盡量帶領學生完成運算. 高三復習的一個基本要求是要重視思維的邏輯性和表達的規(guī)范性. 不能因為運算煩瑣就只分析解題過程，然后直接用多媒體展示運算過程得出結(jié)論，教師要起到指引和示范的作用. 上課書寫示范盡量不要使用PPT，而是自己板書，不然過程的呈現(xiàn)效果會減弱. 因此，教師需要在今后教學中注意書寫表達和格式要求.

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