向量組的極小生成組

嚴(yán)質(zhì)彬

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)理學(xué)院，廣東 深圳518055)

1 引 言

線性相關(guān)、線性無關(guān)、秩等概念，是線性代數(shù)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn).用消元法求解具體的線性方程組，中學(xué)生完全理解并能熟練運(yùn)用.用行列式解線性方程組，雖然推導(dǎo)和總結(jié)出公式的過程有些冗長，但是從思想和概念的層面來說，學(xué)生也容易理解，無非是用字母表示數(shù)來得到一個(gè)解的公式.正是線性相關(guān)性一系列概念的引入，才使得對(duì)線性方程組這個(gè)具體數(shù)學(xué)對(duì)象的研究，注入了現(xiàn)代抽象數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，也就是不變量的觀點(diǎn).解線性方程組的消元過程受人為選擇的影響，隨不同的選擇而千變?nèi)f化，但結(jié)果不隨這些不同的選擇而變化.捕捉變化過程中不變的東西，正是驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)不竭的動(dòng)力.利用秩的概念，人們把線性方程組是否有解，以及解集合描述成了方程組本身內(nèi)蘊(yùn)的性質(zhì).

線性代數(shù)教學(xué)中，可以借助于幾何向量(有向線段)是否共面的幾何直觀及代數(shù)刻畫來引入線性相關(guān)等概念[1-2].本文引入向量組的生成組和極小生成組的概念，并用它們刻畫線性相關(guān)和極大線性無關(guān)組，為線性相關(guān)性理論的教學(xué)提供一些參考.關(guān)于線性相關(guān)性理論的教學(xué)，近年來文獻(xiàn)中還有一些有趣的研究[3-5].

下文所說的數(shù)，都是屬于一個(gè)指定的數(shù)域；所說的向量，都是屬于該數(shù)域上的一個(gè)指定的向量空間.

2 線性相關(guān)概念的教學(xué)難點(diǎn)

向量組α1，…，αm稱為線性相關(guān)，如果存在不全為零的m個(gè)數(shù)k1，…，km，使得

k1α1+…+kmαm=0.

下面指出，正是系數(shù)不全為零這個(gè)特殊要求，導(dǎo)致了學(xué)生在理解和邏輯方面的雙重困難.理解方面的困難在于，初學(xué)者一時(shí)難以琢磨出要求系數(shù)不全為零的動(dòng)機(jī)是什么. 一些教材會(huì)引導(dǎo)學(xué)生觀察有向線段共面的幾何現(xiàn)象及其代數(shù)刻畫[1-2]，再引出線性相關(guān)的上述定義. 然而，好奇心驅(qū)使人們進(jìn)一步追問，為什么要在向量空間中模仿共面的概念呢？本文后面三節(jié)的內(nèi)容，可以看作是按這個(gè)問題驅(qū)動(dòng)，來實(shí)施線性相關(guān)概念的教學(xué).

至于邏輯方面的困難，則在于系數(shù)不全為零這個(gè)條件，使得線性相關(guān)的邏輯否定，也就是線性無關(guān)的刻畫有一定的難度. 具體來說就是雙重否定以及必要條件等有關(guān)的邏輯技巧，初學(xué)者一般不能熟練運(yùn)用. 多年的教學(xué)實(shí)踐表明，在講解線性相關(guān)概念時(shí)，作一些邏輯上的鋪墊是非常有益的. 要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“A僅當(dāng)B”，或者說必要條件的邏輯含義:A僅當(dāng)B，也就是自然語言中所說的“只有B，才有A”，指的是從A可以推出B.于是有

向量組α1，…，αm線性無關(guān)

向量組α1，…，αm線性相關(guān)的否定

不存在不全為零的m個(gè)數(shù)k1，…，km，使得k1α1+…+kmαm=0.

只有全為零的m個(gè)數(shù)k1，…，km，才使得k1α1+…+kmαm=0.

如果k1α1+…+kmαm=0，則m個(gè)數(shù)k1，…，km必須全為零.

注意上述第三個(gè)等價(jià)關(guān)系還用到下面這個(gè)關(guān)于雙重否定的事實(shí):

不存在不全為零的m個(gè)數(shù)k1，…，km

只有全為零的m個(gè)數(shù)k1，…，km.

3 在線性相關(guān)之前引入線性表示

向量β可由向量組α1，…，αm線性表示是指: 存在m個(gè)數(shù)k1，…，km，使得

β=k1α1+…+kmαm，

(1)

稱向量組β1，…，βt可由向量組α1，…，αm線性表示，如果每個(gè)βk，1≤k≤t都可由向量組α1，…，αm線性表示.

向量概念引入之后，可以直接講線性表示[2，6，7]. 由于(1)式中對(duì)m個(gè)系數(shù)沒有特殊要求，也就沒有上節(jié)指出的邏輯上的難點(diǎn). 從理解上說，學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)和物理中，已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的合成與分解，并用這種觀點(diǎn)來理解坐標(biāo)系. 在此基礎(chǔ)上引入線性表示是自然的. 另一方面，利用線性表示的語言，可以立即給出線性方程組有解的一個(gè)等價(jià)表述: 右端項(xiàng)作為列向量可由系數(shù)矩陣的列向量組線性表示. 教材[2，P80]對(duì)此給出了有啟發(fā)意義的評(píng)論，“這個(gè)結(jié)論開辟了直接從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)判斷方程組有沒有解的新途徑.” 這樣學(xué)生很快能體會(huì)到引入線性表示概念的一種合理的動(dòng)機(jī)了.

線性表示的概念動(dòng)機(jī)明確容易理解，邏輯上又沒有上節(jié)分析線性相關(guān)概念時(shí)指出的難點(diǎn)，因此建議在線性相關(guān)性理論的教學(xué)及線性代數(shù)教材的編寫中，不要把線性表示概念的陳述，推遲到線性相關(guān)之后.

4 向量組的生成組

設(shè){j1，…，jt}是{1，…，m}的一個(gè)子集合. 向量組αj1，…，αjt稱為向量組α1，…，αm的一個(gè)部分組. 注意按集合論規(guī)定，一個(gè)集合是它自己的一個(gè)子集合.

定義1向量組α1，…，αm如果可由它的一個(gè)部分組αj1，…，αjt線性表示，則稱這個(gè)部分組αj1，…，αjt是α1，…，αm的一個(gè)生成組.

定理1向量組α1，…，αm線性相關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)存在α1，…，αm的生成組αj1，…，αjt滿足t

證充分性. 令

{jt+1，…，jm}={1，…，m}{j1，…，jt}，

也就是{j1，…，jt}在{1，…，m}中的余集. 由t

αjt+1=k1αj1+…+ktαjt.

它可以寫成

k1αj1+…+ktαjt+(-1)αjt+1+0αjt+2+…+0αm=0，

這里k1，…，kt，-1，0，…，0是不全為零的m個(gè)數(shù)，所以α1，…，αm線性相關(guān).

必要性. 已知有不全為零的m個(gè)數(shù)k1，…，km，使得

k1α1+…+kmαm=0.

不妨設(shè)km≠0. 則有

于是α1，…，αm-1即是α1，…，αm的一個(gè)生成組，且m-1

設(shè)αj1，…，αjt是α1，…，αm的一個(gè)生成組，如果t

推論1向量組線性無關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)不存在比它小的生成組.

如果一個(gè)向量組有比它小的生成組，可以解釋說，這個(gè)向量組可以利用線性運(yùn)算，也就是加法和數(shù)乘法進(jìn)行簡約. 至于這種簡約有什么意義，可以從下面這個(gè)容易觀察和理解的現(xiàn)象來引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)[3，8]. 從線性方程組中去掉一些多余的方程后，所得到的方程組與原來方程組同解. 對(duì)不可簡約及可簡約進(jìn)行邏輯刻畫，就解釋了為什么要引入線性無關(guān)及線性相關(guān)的概念了.

5 極小生成組

定義2設(shè)αj1，…，αjt是向量組α1，…，αm一個(gè)部分組. 稱αj1，…，αjt是α1，…，αm的一個(gè)極小生成組，如果

(i)(生成性)αj1，…，αjt是α1，…，αm的一個(gè)生成組；

(ii)(極小性)α1，…，αm沒有比αj1，…，αjt更小的生成組，即對(duì){j1，…，jt}的任何真子集{k1，…，ks}，αk1，…，αks不是α1，…，αm的生成組.

定理2設(shè)向量組αj1，…，αjt是向量組α1，…，αm的一個(gè)部分組. 則αj1，…，αjt是α1，…，αm的一個(gè)極小生成組，當(dāng)且僅當(dāng)，αj1，…，αjt是α1，…，αm的一個(gè)極大線性無關(guān)組.

證若t=m，則由定理1可知結(jié)論成立. 下面假定t

充分性. 為證明定義2中要求的生成性，任取p∈{1，…，m}{j1，…，jt}. 由極大線性無關(guān)組定義，部分組αj1，…，αjt，αp線性相關(guān). 再由αj1，…，αjt本身線性無關(guān)，易知αp可由αj1，…，αjt線性表示. 定義2中要求的極小性可由αj1，…，αjt線性無關(guān)及定理1可得.

必要性. 由定義2中的極小性知αj1，…，αjt本身也沒有更小的生成組. 因此由推論1知αj1，…，αjt線性無關(guān). 任取p∈{1，…，m}{j1，…，jt}. 由定義2中的生成性知αp可由αj1，…，αjt線性表示，從而部分組αj1，…，αjt，αp不是線性無關(guān)的. 證畢.

從線性方程組中去掉多余的方程，直到再?zèng)]有多余的方程可去掉為止，就能自然地引出極小生成組的概念. 極小生成組等價(jià)于極大線性無關(guān)組，實(shí)在是數(shù)學(xué)之美的又一次展示. 可以順便開闊一下視野. 假如系數(shù)不是取自一個(gè)域，而是取自一個(gè)環(huán)，這種等價(jià)不再成立，線性相關(guān)性的理論就沒有這么簡單優(yōu)美了; “環(huán)上的線性方程組”是許多表面上相去甚遠(yuǎn)的問題共同的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì); 在環(huán)上研究這類問題，是一些前沿研究領(lǐng)域所關(guān)心的，如代數(shù)K理論.

6 結(jié) 論

生成組和極小生成組所體現(xiàn)的想法簡單自然，可以認(rèn)為是熟知的. 但以概念的形式將它們清晰地陳述出來，而不是停留在想法上，有利于線性相關(guān)性理論的教學(xué).

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.