非線性弦振動方程的最優(yōu)系統(tǒng)、不變解及守恒律

張 寒

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

0 引言

偏微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，常被用來描述力學(xué)、物理等領(lǐng)域的問題，對這些領(lǐng)域的發(fā)展起著重要的推動作用。研究人員提出了許多求解偏微分方程的方法,其中包括齊次平衡法[1-2]、經(jīng)典李群法[3-5]、CK直接約化法[6-7]等。

本文將研究非線性弦振動方程

utt-(arctanu)xx=0，

(1)

其中u是關(guān)于x,t的未知函數(shù)。文獻[8]利用變分原理得到了非線性弦振動方程，賦予該方程深刻的物理意義，并用減縮攝動法將非線性弦振動方程變換為易于求解的普通KdV方程。文獻[9]通過使用雙曲函數(shù)法，得到了非線性弦振動方程的一類扭狀精確孤立波解,并進一步推廣了雙曲函數(shù)法的思想，從而獲得了更多的精確解。文獻[10]利用試驗函數(shù)法得到了非線性弦振動方程的孤波解和周期波解。Bluman等[11-12]介紹了李對稱在偏微分方程中的應(yīng)用。Ovsiannikov[13]提出了一種利用伴隨變換的全局矩陣來構(gòu)造最優(yōu)系統(tǒng)的直接算法。

在上述文獻的基礎(chǔ)上，擬完成如下工作：一是求解出非線性弦振動方程的對稱，二是推導(dǎo)出非線性弦振動方程的一維子代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng)，三是通過約化方程得到精確解包括冪級數(shù)解，四是分析該方程的守恒律。

1 非線性弦振動方程的對稱

考慮一個單參數(shù)李群的無窮小變換：

x*=x+εξ(x,t,u)+o(ε2),t*=t+ετ(x,t,u)+o(ε2)，u*=u+εφ(x,t,u)+o(ε2)，

其中ξ(x,t),τ(x,t),φ(x,t)是關(guān)于x,t,u的未知函數(shù)，ε是無窮小參數(shù)。由上述方程可知，方程(1)的向量場可以表示為

(2)

根據(jù)李群理論，得到二階延拓

其中

φx=Dx(φ-ξux-τut)+ξuxx+τutx,

φxx=Dxx(φ-ξux-τut)+ξuxxx+τutxx，

φtt=Dtt(φ-ξux-τut)+ξuxtt+τuttt。

從不變性的條件來看，有

Pr(2)V(Δ)|Δ=0=0，

(3)

其中Δ=utt-(arctanu)xx。通過求解方程(3)，可以得到方程(1)的超定方程組,它們分別是

ξx=τt,ξt=ξxx=0,ξu=0,τu=τx=0,φ=0,

求解上述方程組，可以推出

ξ=c1x+c2,τ=c1t+c3,φ=0,

其中c1,c2,c3是任意的常數(shù)。由上述結(jié)果得到方程(1)的不變?nèi)荷稍獮?/p>

V=(c1x+c2)?x+(c1t+c3)?t。

(4)

由方程(4)可得

V1=t?t+x?x,V2=?x,V3=?t。

為了得到對稱群，求解帶有初始問題的常微分方程

利用Vi(i=1,2,3)得到方程(1)的單參數(shù)變換群Gi(i=1,2,3)：

(5)

由式(5)中的單參數(shù)群Gi(i=1,2,3)可以得到方程(1)的解的表達式為

G1*u(x,t)=u1(e-εx,e-εt),G2*u(x,t)=u2(x-ε,t),G3*u(x,t)=u3(x,t-ε)。

由李括號和伴隨變化的定義可知

[Vi,Vj]=ViVj-VjVi,

可以分別得到表1和表2。

表1 換位子表

表2伴隨變換

AdV1V2V3V1V1eεV2eεV3V2V1-εV2V2V3V3V1-εV3V2V3

2 一維子代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng)

對稱子代數(shù)的一維最優(yōu)系統(tǒng)在尋找偏微分方程的不變解方面起著不可或缺的作用。為了得到更豐富的解，需要對伴隨變換矩陣進行分析。接下來，將構(gòu)造方程(1)的一維子代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng)。

(a1V1+a2V2+a3V3)-ε[b1V1+b2V2+b3V3,a1V1+a2V2+a3V3]+o(ε2)=

(a1V1+a2V2+a3V3)-ε(N1+N2+N3)+o(ε2),

(6)

其中Ni=Ni(a1,a2,a3,b1,b2,b3)(i=1,2,3)可以從表1中得到。如果對任意的bj(j=1,2,3)，有公式

(7)

N1=0，N2=b2a1-b1a2，N3=b3a1-b1a3。

然后把N1,N2,N3代入方程(7),提取bj的系數(shù)，有

(8)

求解方程組(8)，發(fā)現(xiàn)η(a1,a2,a3)=R(a1)，這說明方程(1)僅有一個不變量a1。

接下來，就是求解方程(1)的伴隨變換矩陣A,

A=A1A2A3,

Ad(exp(ε1V1))V=a1Ad(exp(ε1V1))V1+a2Ad(exp(ε1V1))V2+a3Ad(exp(ε1V1))V3=

a1V1+eε1a2V2+eε1a3V3=(a1,a2,a3)A1(V1,V2,V3)T,

其中

用同樣的方法，依次求得

所以方程(1)的伴隨變換矩陣為

將一般伴隨變換Ad(exp(ε3V3))Ad(exp(ε2V2))Ad(exp(ε1V1))作用在V上，V有以下變換：

V=(a1,a2,a3)→(d1,d2,d3)=(a1,a2,a3)A。

(9)

最后，要考慮不變量的階數(shù)，若不變量的階數(shù)是偶數(shù)，考慮η=0,η=1,η=-1這三種情況，如果不變量的階數(shù)是奇數(shù)，考慮η=0,η=1這兩種情況。

情形1a1=1。

取一個代表元V*=V1,將d1=1,d2=d3=0代入方程(9)中，得到ε2=a2eε1,ε3=a3eε1,其中ε1是任意常數(shù)。以上結(jié)果說明方程(1)的任意一維子空間與V1等價。

情形2a1=0。

綜上所述，方程(1)的最優(yōu)系統(tǒng)為V1,V3,V2+V3,V2-V3。

3 不變解

u=f(x)。

(10)

把方程(10)代入到方程(1)中，得到相似約化方程(arctanf)zz=0，求解上式方程，得u=tan(c1x+c2),c1,c2是任意的常數(shù)。

u=f(x-t)。

(11)

把方程(11)代入方程(1)，得到相似約化方程

2ffz2+(f4+f2)fzz=0。

(12)

假設(shè)方程(12)有

(13)

形式的解，把方程(13)的冪級數(shù)展開代入方程(12)，有

一般的，當n≥0時

當n=0時，有

即當d0≠0,d1為任意的常數(shù)時，dn+2已經(jīng)被確立。所以方程(1)的解可以表示為

4 守恒律

(14)

根據(jù)Ibragimov的結(jié)論,方程(1)的守恒律由式Dx(Cx)+Dt(Ct)=0決定，向量場C=(Cx,Ct)由式

決定，其中W=φ-ζjuj。

下面討論部分情況。

情形1 取λ(x,t)=xt，V2=?x,則

Cx=xt(1+u2)2utt-4uxtux2+t(1+u2)ux,

Ct=ux(x+2u2+u4+4uxtut+4u3xtux)2utt-uxuxt(1+u2)2。

情形2 取λ(x,t)=x，V3=?t,則

Cx=-ut(6uxux+1+u2)+x(1+u2)uxt,

Ct=x(-uuxx-u2uxx+2uux2)-xut(4uut+4u3ut)。

5 結(jié)論

本文分析了非線性弦振動方程的李對稱，并利用直接算法計算出該方程一維子代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng)。利用約化方程和冪級數(shù)展開法得到了該方程的精確解。最后，給出了非線性弦振動方程的守恒律。