一類帶記憶項的熱方程的爆破解

楊 梓，岳麗霞

(蘭州交通大學 數(shù)理學院,甘肅 蘭州730070)

0 引言

含有記憶項的方程被應用于各個科學領域。例如：在核反應堆動力學研究中出現(xiàn)了涉及記憶項的模型[1-2]，人口和人口動態(tài)[3]，特別是涉及非延遲和遺傳效應的邏輯增長模型[4-5]。隨后，學者們研究了此類模型的各種廣義解的有限時間可解性、穩(wěn)定性和爆破性[6]。特別地，討論了一類含有記憶項的半線性拋物型方程的爆破性質(zhì)，這些記憶項產(chǎn)生于非牛頓流體中的黏彈性力模型中。

文獻[7]提出了

(1)

并得到解將在有限時間內(nèi)爆破，且爆破發(fā)生在邊界。文獻[8]在此基礎上把邊界條件從0到t積分得到了模型

(2)

得到了相似的結(jié)論。文獻[9]對反應項進行關于時間的積分，得到如下的方程

(3)

其主要結(jié)論為當p+q>1時，u將在有限時間內(nèi)爆破。

數(shù)十年來，盡管在包含反應記憶、擴散或兩者的模型已經(jīng)有了大量的突破，但在擴散模型的文獻中，反應項和邊界條件同時含有記憶項的模型結(jié)果并不常見。因此，本文在文獻[7-9]的基礎上研究了一類帶記憶項的熱方程

(4)

1 經(jīng)典解

定理1 設GN(x,y,t,τ)是帶有齊次Neumann邊界條件的方程的格林函數(shù)，當t較小時，則

在問題(4)的條件下是一個壓縮映射。

證明令

因此，Γ是X到X的一個自身映射，其中

對任意的v1,v2∈X，有

‖Γ[v1]-Γ[v2]‖∞≤

成立。取

則存在0<β<1，有

‖Γ[v1]-Γ[v2]‖∞≤β‖v1-v2‖∞

(5)

2 解的爆破

定理2 當p>1時，問題(4)的所有非平凡解都將在有限時間內(nèi)爆破。

證明下文中cn或Cn(n=0,1,2,…)均代表不同的正常數(shù)。首先令格林函數(shù)GN滿足

故由(5)式和Jensen不等式得

(6)

其中，令

由(6)式可得

將上述不等式從0到t積分，可得

采用反證法，假設其有全局解v，那么對于任意T>0，都有

以≥10μmol/L為判定標準1473人中,HHT患者1223人,占全部高血壓患者的83.02%;男性HHT患者564人,占男性高血壓患者的90.67%,女性HHT患者659人,占女性高血壓患者的77.49%。以≥15μmol為判定標準1473人中,HHT患者889人,占全部高血壓患者的60.35%;男性HHT患者468人,占75.24%,女性HHT患者421人,占49.47%。以≥10μmol為標準無論總體、男性和女性組的HHT患病率比以≥15μmol為標準均升高了20%以上,均顯示男性高于女性,且隨年齡增加,HHT患病增高。

令

所以，對任意的T≤t≤2T，都有G(t)≥S(t)成立。其中，S(t)滿足

(7)

在(7)式中第一個方程兩端同時乘S′(T)，并在(T,t)上積分，可得

對上式的兩端同時從T到2T積分，可得

故可得

這與T足夠大相違背，故問題(4)將在有限時間內(nèi)爆破。

3 邊界爆破

引理1 令v(x,t)是問題

(8)

的解，則v(x,t)關于時間t是不減的。 其中p>1，且c是一個正常數(shù)。

證明該證明與文獻[12]的引理2.1的證明相似。即通過比較原則可知，問題(8)的解v(x,t)≥c,令

u(x,t)=v(x,t+k)，

故u(x,t)滿足：

故得

u(x,t)≥v(x,t)，

成立。

則對任意Ω′?Ω中，都有

sup{v(x,t),(x,t)∈Ω′×(0,T)}<∞

成立，此引理稱為解的最值性質(zhì)。

證明已在文獻[13]的引理5.1做出證明，故此處不再做證明。

定理3 問題(4)的解在有限時刻的爆破只可能發(fā)生在邊界上。

證明令

設

則由問題(4)的經(jīng)典解和Jensen不等式有

故由上式得

由Jensen不等式可得

上式的左右兩端同乘F′(t)，并在區(qū)間(0,t)上積分可得

將上式在區(qū)間(t,T)上積分，可得

由

等價于

(9)

取任意Ω′?Ω，使d(?Ω,Ω′)=ε>0，對于取定的Ω′，再取Ω″?Ω，使得Ω′?Ω″，并有

故對于?ε>0，有

成立。由問題的經(jīng)典解、引理1以及(9)式可得

由引理2可知

(10)

其中φ(x)滿足

4 結(jié)論

本文研究了一類具有記憶項熱方程的爆破問題。首先利用Banach壓縮映射定理建立了問題的經(jīng)典解，后在此基礎上證明了當p>1時，該方程的所有非平凡解將在有限時間內(nèi)爆破，并證明了解的爆破僅會在邊界上發(fā)生。