具有恐懼效應(yīng)和半封閉捕獲的Holling-Ⅱ類時滯捕食系統(tǒng)Hopf分岔

劉 娟，張子振

(1.蚌埠學(xué)院 理學(xué)院；2.安徽財經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

近年來，國內(nèi)外研究學(xué)者從不同的角度研究了生物系統(tǒng)的動力學(xué)。捕食者-食餌之間的相互作用是生物系統(tǒng)和種群動力學(xué)中的一個重要的研究領(lǐng)域。文獻(xiàn)[1-3]研究了基本的兩種群捕食系統(tǒng)?？紤]到種群之間的相互作用的復(fù)雜性，文獻(xiàn)[4-7]則研究了三種群捕食系統(tǒng)。由于每個種群具有不同的成長階段，文獻(xiàn)[8-10]研究了具有階段結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)。最近，魏臻[11]考慮到食餌種群因?qū)Σ妒痴叩目謶侄绊懫浞敝衬芰?，以及為了保證種群的合理開發(fā)利用，提出了如下具有恐懼效應(yīng)和半封閉捕獲的Holling-Ⅱ類捕食系統(tǒng)，并研究了系統(tǒng)的局部和全局穩(wěn)定性，

(1)

在現(xiàn)實世界中，捕食者種群吃掉食餌種群以后，需要經(jīng)過一定的妊娠周期才可以不斷繁殖后代。即，系統(tǒng)(1)忽略了捕食者種群的妊娠時滯。另外，時滯對于種群動力系統(tǒng)具有非常重要的影響，它可以影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，導(dǎo)致系統(tǒng)從穩(wěn)定變得不穩(wěn)定，從而使得系統(tǒng)中的種群產(chǎn)生周期震蕩。因此，本文在系統(tǒng)(1)中引入捕食者種群的妊娠時滯，研究具有恐懼效應(yīng)和半封閉捕獲的Holling-Ⅱ類時滯捕食系統(tǒng)

(2)

其中，τ表示捕食者種群的妊娠時滯。

1 Hopf分岔的存在性

系統(tǒng)(2)在E*(x*，y*)處的特征方程為

λ2+J1λ+J0+(K1λ+K0)e-λτ。

(3)

其中，

J0=j11j22，J1=-(j11+j22)，K0=j11k22-j12k21，K1=-k22，

當(dāng)τ=0時，方程(3)變?yōu)?/p>

λ2+(J1+K1)λ+J0+K0=0。

(4)

引理1[11]當(dāng)條件(T1)成立，或者條件(T2)成立且K>M時，方程(4)的特征根均具有負(fù)實部。即，當(dāng)τ=0時模型(2)是局部漸近穩(wěn)定的。其中，

當(dāng)τ>0，假設(shè)λ=iω(ω>0)為方程(3)的根，則可以得到

(5)

方程(5)左右兩邊平方相加，有

(6)

令ω2=σ，則方程(6)變?yōu)?/p>

(7)

定理1 對于系統(tǒng)(2)，如果條件(T1)成立，或者條件(T2)成立且K>M時，當(dāng)τ∈[0,τ0)時，系統(tǒng)(2)局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)τ=τ0時，系統(tǒng)(2)在E*(x*,y*)處產(chǎn)生Hopf分岔。

2 仿真示例

選取α=0.8，K=2，b=0.01，β=0.5，a=0.5，m=0.8，q1=2.5，E=1，n=0.1，r=0.2，c=0.8，q2=1。得到系統(tǒng)(2)的示例模型

(8)

利用MATLAB軟件計算得到示例模型(8)存在唯一正平衡點E*(6.0000,0.6424)。由此可以得到ω0=1.0227，τ0=1.0196。通過計算可以驗證，示例模型(8)產(chǎn)生Hopf分岔的條件成立。當(dāng)τ=0時，示例模型(8)局部漸近穩(wěn)定，其狀態(tài)軌跡和相圖如圖1所示。接下來，選取τ=0.5068∈(0,τ0)，此時的狀態(tài)軌跡和相圖如圖2所示。仿真效果顯示示例模型(8)局部漸近穩(wěn)定。

圖1 當(dāng)τ=0時，示例模型(8)的狀態(tài)軌跡和相圖

圖2 當(dāng)τ=0.5068時，示例模型(8)的狀態(tài)軌跡和相圖

當(dāng)選取τ=1.9598>τ0，示例模型(8)失去穩(wěn)定性，在E*(6.0000,0.6424)處產(chǎn)生Hopf分岔，其狀態(tài)軌跡和相圖如圖3所示。

此外，選取n=(0.10,0.15,0.20)，其他參數(shù)值固定不變。由圖4所示的相圖可以看出，隨著食餌種群和捕食者種群可供捕撈的比例減小，示例模型(8)將由穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入混沌狀態(tài)。因此可以看出，示例模型(8)存在過剩捕撈現(xiàn)象，不利于區(qū)域內(nèi)食餌種群和捕食者種群的生態(tài)平衡。

圖3 當(dāng)τ=1.9598時，示例模型(8)的狀態(tài)軌跡和相圖

3 小結(jié)

圖4 混沌狀態(tài)的相圖

本文在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引入了捕食者種群的妊娠時滯，研究了一類具有恐懼效應(yīng)和半封閉捕獲的Holling-Ⅱ類時滯捕食系統(tǒng)。首先給出系統(tǒng)存在唯一正平衡點的充分條件并計算出正平衡點的表達(dá)式。然后以捕食者種群的妊娠時滯為分岔，討論了系統(tǒng)局部漸近穩(wěn)定和產(chǎn)生Hopf分岔的存在性。研究表明，在一定條件下，系統(tǒng)是局部漸近穩(wěn)定的，食餌種群和捕食者種群處于理想的穩(wěn)定狀態(tài)。但是，當(dāng)時滯的取值越過產(chǎn)生Hopf分岔的臨界點時，食餌種群和捕食者種群處于周期震蕩狀態(tài)。另外，仿真效果表明，對于食餌種群和捕食者種群過剩捕撈，不利于區(qū)域內(nèi)食餌種群和捕食者種群的生態(tài)平衡。