把握度量本質(zhì)，促成深度理解

摘 要：對(duì)知識(shí)的深度理解是深度學(xué)習(xí)的一個(gè)重要特征。教學(xué)《長(zhǎng)方形的面積》一課，需在把握度量本質(zhì)的基礎(chǔ)上，精心設(shè)計(jì)能引發(fā)學(xué)生思考的學(xué)習(xí)任務(wù)和關(guān)鍵問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)想象、操作探析，經(jīng)歷從“計(jì)數(shù)”到“公式計(jì)算”的優(yōu)化過(guò)程，層次分明的探究活動(dòng)、包括教師在內(nèi)的學(xué)習(xí)共同體的分享與對(duì)話，最終促成學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形面積公式的“度量”本質(zhì)的深度理解。

關(guān)鍵詞：長(zhǎng)方形面積；度量本質(zhì)；猜測(cè)想象；操作探析；深度學(xué)習(xí)

【教學(xué)思考】

深度學(xué)習(xí)指向?qū)?shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解，也就是不僅要學(xué)生“知其然”，還要“知其所以然”。只有在“知理”的層面才能將知識(shí)技能轉(zhuǎn)化成素養(yǎng)和能力。

長(zhǎng)方形面積的本質(zhì)在于度量，即通過(guò)面積單位的計(jì)數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖形大小的定量刻畫。由于我們規(guī)定的面積單位是正方形，在長(zhǎng)方形中“成行成列”，因此匹配乘法模型“每行的面積單位個(gè)數(shù)×行數(shù)=面積單位的總個(gè)數(shù)”。這一模型經(jīng)過(guò)提煉就得到長(zhǎng)方形的面積公式：“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”，實(shí)現(xiàn)了從“計(jì)數(shù)”到“公式計(jì)算”的升級(jí)。

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在編排這部分內(nèi)容時(shí)，為了讓學(xué)生經(jīng)歷從“計(jì)數(shù)”到“公式計(jì)算”的優(yōu)化度量過(guò)程，層層深入地設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的探究活動(dòng)：

第一層次，安排了用面積單位測(cè)量長(zhǎng)方形面積的活動(dòng)。用乘法計(jì)算出面積單位的個(gè)數(shù)，不僅為面積公式的形成提供直接經(jīng)驗(yàn)，更揭示了面積計(jì)算的實(shí)質(zhì)意義。

第二層次，安排了用面積單位拼擺多個(gè)長(zhǎng)方形的活動(dòng)，探索長(zhǎng)方形面積與它的長(zhǎng)和寬之間的關(guān)系，并以表格的方式進(jìn)行記錄，進(jìn)而概括出長(zhǎng)方形面積公式。

第三層次，安排了測(cè)量圖形的長(zhǎng)和寬再計(jì)算面積的活動(dòng)，先將正方形看作特殊的長(zhǎng)方形，再通過(guò)推理，得出正方形面積公式。

那么，要促成學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，本節(jié)課的教學(xué)重心應(yīng)當(dāng)放在哪里呢？筆者認(rèn)為，應(yīng)精心設(shè)計(jì)能夠引發(fā)學(xué)生思考的學(xué)習(xí)任務(wù)和關(guān)鍵問(wèn)題，促使學(xué)生在大量感知、理性思考中明晰長(zhǎng)方形、正方形面積計(jì)算的實(shí)質(zhì)意義，即長(zhǎng)方形的面積=面積單位的每行個(gè)數(shù)×行數(shù)，進(jìn)而得到“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”“正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)”的結(jié)論。幫助學(xué)生深度理解長(zhǎng)方形面積公式的“度量”本質(zhì)，同時(shí)將量感、幾何直觀、空間觀念等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育落在實(shí)處。

【教學(xué)過(guò)程】

一、猜測(cè)想象，度量面積

師：（出示信封）1個(gè)方塊表示1平方厘米，這個(gè)信封里有一個(gè)圖形，它的面積是3平方厘米，猜一猜它是什么樣子的？把你想到的樣子畫出來(lái)。

（學(xué)生獨(dú)立畫圖，展示不同的作品，如圖1，全班交流。）

師：你怎么知道這些圖形的面積都是3平方厘米呢？

生：因?yàn)樗鼈兌加?個(gè)方塊，就是3平方厘米。

師：看來(lái)，一個(gè)圖形只要包含3個(gè)1平方厘米的小方塊，它的面積就是3平方厘米。

[思考：作為一種量，面積可以用相應(yīng)的面積單位去度量，從而得到度量結(jié)果。從3平方厘米圖形的多種畫法中，學(xué)生體會(huì)到求面積就是用面積單位鋪擺圖形，一個(gè)圖形的面積有多大，只要看它包含了幾個(gè)這樣的面積單位，也就是我們常說(shuō)的“數(shù)格子”，為接下來(lái)深入理解面積的本質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。]

二、操作探析，領(lǐng)悟本質(zhì)

（一）自主探究

師：用12個(gè)1平方厘米的小方塊擺長(zhǎng)方形，能擺出哪幾種？同桌合作試一試。

師：（出示圖2）它們的面積為什么都是12平方厘米？

生：因?yàn)樗鼈兌及?2個(gè)1平方厘米的小方塊。

（二）想象提升

師：（出示圖3）這兩個(gè)長(zhǎng)方形沒(méi)有用12個(gè)1平方厘米的小方塊擺，它們的面積是12平方厘米嗎？

生：雖然沒(méi)有全部擺出來(lái)，但可以想象它是擺滿的。也是每行擺4個(gè)，擺了3行，4×3=12（平方厘米）。

師：（出示圖4）現(xiàn)在你還能看出長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米嗎？

生：從刻度上可以看出來(lái)，每行擺4個(gè)，擺了3行，4×3=12（平方厘米）。

師：（出示圖5）如果連刻度也沒(méi)有了，你知道面積有多大嗎？

生：面積也是4×3=12（平方厘米）

師：你是怎么想的？

生：長(zhǎng)4厘米表示每行擺4個(gè)，寬3厘米表示擺了3行，4乘3就算出了一共擺了多少個(gè)。

師：用“每行個(gè)數(shù)×行數(shù)”就算出了長(zhǎng)方形里含有小正方形的總個(gè)數(shù)，也就是長(zhǎng)方形面積。

（板書：每行個(gè)數(shù)×行數(shù)=長(zhǎng)方形里小正方形的總個(gè)數(shù)=長(zhǎng)方形的面積。）

（三）溝通比較

師：（出示圖6）比較這幾個(gè)圖形，你發(fā)現(xiàn)它們有什么相同的地方嗎？

生：都是每行擺4個(gè)，擺了3行，面積都是12平方厘米。

師：那它們之間有什么不同的地方呢？

生：有的長(zhǎng)方形里面鋪滿了小正方形，有的空了一些，有的全都空著。

師：如果長(zhǎng)方形里面空了一些甚至全都空著，怎么知道它的面積有多大呢？

生：可以想象把長(zhǎng)方形鋪滿。

生：看看長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是幾、寬是幾，再用長(zhǎng)乘寬就能算出面積。

師：為什么用長(zhǎng)乘寬就能計(jì)算出長(zhǎng)方形的面積呢？

生：因?yàn)橹懒碎L(zhǎng)就知道了一行能擺幾個(gè)，知道了寬就知道了能擺幾行。用長(zhǎng)乘寬就能算出長(zhǎng)方形的面積了。

師：長(zhǎng)乘寬，也就是一行擺幾個(gè)小正方形，擺了幾行，一共有幾個(gè)小正方形，計(jì)算出的是什么呀？

生：是長(zhǎng)方形的面積。

生：是長(zhǎng)方形里一共有多少個(gè)小正方形。

師：長(zhǎng)乘寬的積就是面積為1平方厘米的小正方形的個(gè)數(shù)，也就是長(zhǎng)方形的面積。（出示圖7）那你會(huì)算這個(gè)圖形的面積嗎？

生：60平方厘米，10×6=60（平方厘米）

師：你是怎么想的呢？

生：長(zhǎng)10厘米，說(shuō)明一行能擺10個(gè)小正方形；寬6厘米，說(shuō)明能擺6行。10×6就是共有60個(gè)1平方厘米的小正方形。（長(zhǎng)方形的）面積就是60平方厘米。

[思考：本環(huán)節(jié)中，學(xué)生經(jīng)歷了用1平方厘米的小正方形分別測(cè)量鋪滿、未鋪滿和空白圖形的完整過(guò)程，圖6的整體呈現(xiàn)恰恰是度量方法逐步優(yōu)化的過(guò)程，幫助學(xué)生將思維從直觀形象層面提升到空間想象與抽象推理的階段。教學(xué)中通過(guò)課件演示和數(shù)數(shù)，學(xué)生的思路逐漸清晰，很好地解釋了長(zhǎng)和寬在面積公式中表示的實(shí)際意義，學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中也真正理解了公式的內(nèi)涵。]

師：（出示圖8）估一估，這兩個(gè)圖形的面積分別有多大。

生：長(zhǎng)方形的面積大約是20平方厘米，正方形的面積大約是25平方厘米。

師：如果想知道它們的準(zhǔn)確面積，怎么辦？

生：量它們的長(zhǎng)和寬。

師：為什么測(cè)量了長(zhǎng)度，卻算出來(lái)面積？

生：因?yàn)殚L(zhǎng)就是“一行擺幾個(gè)”，寬就是“擺幾行”，長(zhǎng)乘寬就能算出“一共擺了多少個(gè)1平方厘米”，就知道它們的面積了。

師：你們的學(xué)習(xí)單上都有一個(gè)一模一樣的長(zhǎng)方形和正方形，看看誰(shuí)有辦法求出它們的面積。

[思考：用數(shù)格子直接測(cè)量的方法在度量面積時(shí)存在諸多限制。當(dāng)學(xué)生通過(guò)測(cè)量長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算面積時(shí)，老師追問(wèn)“計(jì)算圖形的面積，你們?yōu)槭裁慈y(cè)量它們的長(zhǎng)和寬”，直逼面積公式的本質(zhì)。一旦領(lǐng)悟了長(zhǎng)方形面積公式的本質(zhì)，面積公式的出現(xiàn)也就水到渠成了。]

（四）歸納總結(jié)

師：你能總結(jié)出長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法嗎？正方形呢？

（根據(jù)學(xué)生回答，完善板書。）

師：大家還記得怎樣求“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)”嗎？

生：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2。

師：想一想，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積公式中的“長(zhǎng)、寬”代表的意義一樣嗎？

生：不一樣！長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式中的“長(zhǎng)和寬”代表的是長(zhǎng)度，但面積公式中的“長(zhǎng)”代表的是一行擺幾個(gè)小正方形，“寬”代表的是能擺幾行。

（根據(jù)學(xué)生回答，出示圖9，展示對(duì)比。）

[思考：深度學(xué)習(xí)要讓學(xué)生在探究、理解中建立起穩(wěn)定清晰、可遷移的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教學(xué)中，在歸納面積公式之后，再將長(zhǎng)方形的“周長(zhǎng)公式”與“面積公式”進(jìn)行對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生在辨析中理解長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)與面積公式中“長(zhǎng)、寬”所代表的不同意義。]

（牛獻(xiàn)禮，特級(jí)教師，正高級(jí)教師，北京亦莊實(shí)驗(yàn)小學(xué)，郵編：100176）