突破常規(guī)，引向創(chuàng)造

創(chuàng)新，看似是一瞬間的靈光乍現(xiàn)，無(wú)規(guī)律可循，其實(shí)還是有一些大致的方向和路徑的。標(biāo)新立異，往往能另辟蹊徑、創(chuàng)新思路；多維思考，往往能拓寬視野、破局前行；聯(lián)想類(lèi)比，往往能把握本質(zhì)、觸類(lèi)旁通……這些，都是通向創(chuàng)新的可能方向和有效路徑。數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以通過(guò)編擬一些“非典型”問(wèn)題，促其立新、思變、求聯(lián)，突破常規(guī)，發(fā)展創(chuàng)造性思維。

【題目】

第1題 趕時(shí)間的乘客

春節(jié)快要到了，爸爸準(zhǔn)備帶著小宇從南京飛往北京，看望爺爺奶奶。收拾好行李之后，爸爸對(duì)小宇說(shuō)：“我預(yù)約的出租車(chē)馬上就到了，我們出發(fā)吧！”來(lái)到小區(qū)門(mén)口，看到預(yù)約的出租車(chē)遠(yuǎn)遠(yuǎn)向他們駛來(lái)。圖1中的父子對(duì)話，你認(rèn)為誰(shuí)說(shuō)得有道理？

第2題 航站樓傳送帶

到達(dá)機(jī)場(chǎng)、順利通過(guò)安檢之后，爸爸和小宇向指定登機(jī)口趕去。他們發(fā)現(xiàn)，航站樓通往指定登機(jī)口的路分為兩段，一段是平地，一段是自動(dòng)傳送帶（人在傳送帶上的實(shí)際速度就是平地上的步行速度與傳送帶的速度之和）。小宇靈機(jī)一動(dòng)，想到了一個(gè)問(wèn)題：“如果在前往登機(jī)口的過(guò)程中，我不得不花兩秒鐘蹲下來(lái)系鞋帶，那么為了更快到達(dá)目的地，我應(yīng)該把這兩秒鐘的時(shí)間花在哪里更好呢？還是在哪里系鞋帶都不影響呢？”你的答案是什么？能向其他同學(xué)解釋一下你這樣判斷的道理嗎？

第3題 登山者的思考

小宇的爺爺是登山愛(ài)好者，他興致勃勃地向小宇介紹著他前兩天的登山之旅：“前天早晨8時(shí)從山腳出發(fā)，沿著山路步行上山，一路上走走停停，欣賞風(fēng)景，晚上8時(shí)到達(dá)山頂。昨天早上看過(guò)日出之后，早上8時(shí)從山頂沿著原路下山，最終在晚上8時(shí)回到山腳……我敢肯定，這兩天我一定在某個(gè)相同的時(shí)刻經(jīng)過(guò)了山路上的同一個(gè)地點(diǎn)！”小宇搖搖頭，表示“哪有這么準(zhǔn)啊”！你相信爺爺?shù)脑拞?？為什么?/p>

【解析】

第1題，看著自己預(yù)約的出租車(chē)遠(yuǎn)遠(yuǎn)駛來(lái)，爸爸選擇“迎著空車(chē)走上去”，認(rèn)為這樣可以提前與車(chē)相遇，可以盡早地上車(chē)，因?yàn)檐?chē)速大于人的步行速度，所以爸爸覺(jué)得自己充分利用了車(chē)速快的優(yōu)勢(shì)。而小宇的思路，是想要充分地利用時(shí)間，于是他選擇先朝目的地走一段路，再讓車(chē)追上人、并載人走完剩下的路程。站在爸爸和小宇的立場(chǎng)來(lái)看，會(huì)覺(jué)得他們各有各的道理，難以判斷采用誰(shuí)的辦法更能早點(diǎn)趕到機(jī)場(chǎng)。此時(shí)，我們不妨切換視角，站在出租車(chē)司機(jī)的角度來(lái)思考：對(duì)于司機(jī)來(lái)說(shuō)，不管乘客在哪兒上車(chē)，汽車(chē)停、人上車(chē)、再開(kāi)走，這一套動(dòng)作所耽誤的時(shí)間是一樣的，只不過(guò)發(fā)生的地點(diǎn)不同而已，所以并不會(huì)影響總時(shí)間。因此，不管你選擇爸爸的做法還是小宇的做法，或是干脆站在原地等車(chē)，都不會(huì)影響到達(dá)目的地的時(shí)間。當(dāng)然，如果出租車(chē)還沒(méi)追上你，你就已經(jīng)到達(dá)終點(diǎn)，這種特別極端的情況就另當(dāng)別論了！之所以說(shuō)極端，是因?yàn)樯钪羞@種情況也就犯不著叫出租車(chē)了，但是一旦抽象之后，并不排除這種情況。

第2題，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，筆者曾在自己班級(jí)了解到一些情況：有的學(xué)生根據(jù)直覺(jué)判斷，在傳送帶上系鞋帶更省時(shí)間，卻無(wú)法言明道理；還有的學(xué)生認(rèn)為，無(wú)論在哪里都得花兩秒鐘系鞋帶，所以沒(méi)啥差別，都不省時(shí)間。看來(lái)，對(duì)于成年人來(lái)說(shuō)顯而易見(jiàn)的問(wèn)題，學(xué)生未必就能很快地找到有效思路或道出個(gè)所以然，這時(shí)就需要教師及時(shí)的點(diǎn)撥與引領(lǐng)，讓學(xué)生經(jīng)歷高質(zhì)量的數(shù)學(xué)思考，從而“吃一塹，長(zhǎng)一智”。我們不妨先對(duì)題目中的情境做這樣的梳理：人在傳送帶上行走，其速度是人步行速度與傳送帶速度之和；而人在平地上行走，就僅有自身的步行速度。梳理到此，是否覺(jué)得似曾相識(shí)？沒(méi)錯(cuò)，這其實(shí)與流水行船問(wèn)題是相類(lèi)似的。我們可以展開(kāi)這樣的類(lèi)比與想象——將航站樓的走廊想象成一條河流，把旅客想象成一條小船。人在平地上行走，就好比是靜水里行船（只有船速），而在傳送帶上行走就好比是順?biāo)写ù?水速）。如果船不得不停留一小會(huì)兒，在靜水里停留，船會(huì)靜止不動(dòng)；在順?biāo)锿Ａ?，船還會(huì)順?biāo)?。?lèi)比聯(lián)想之后，我們不難理解，為了更快到達(dá)目的地，應(yīng)該把這兩秒鐘的時(shí)間花在傳送帶上。當(dāng)然，如果學(xué)生沒(méi)有乘船經(jīng)驗(yàn)，也可聯(lián)想到其他類(lèi)似情景，如在行駛的大巴或火車(chē)上順著行駛方向往前走移動(dòng)更快，或坐著不動(dòng)被車(chē)子帶往前方的情景。

第3題，兩天的行程，路徑復(fù)雜，而且并非勻速，爺爺何以能這么確定呢？題目中所給出的信息紛亂復(fù)雜，一時(shí)間也難以分辨出哪些是有效信息，哪些是冗余信息。那我們就干脆換個(gè)思路，從問(wèn)題入手尋找突破口。爺爺說(shuō)，他會(huì)在某個(gè)相同的時(shí)刻經(jīng)過(guò)山路上的同一個(gè)地點(diǎn)。這句話中有兩個(gè)關(guān)鍵詞——“相同時(shí)刻”“同一地點(diǎn)”，這兩個(gè)關(guān)鍵詞會(huì)讓人聯(lián)想到什么呢？那當(dāng)然就是“相遇”啦！可是平時(shí)我們所說(shuō)的“相遇”，發(fā)生在兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的人（或物）身上，那怎么建立聯(lián)結(jié)才能讓爺爺實(shí)現(xiàn)“一個(gè)人的相遇”呢？這就需要展開(kāi)想象的翅膀了：我們可以“無(wú)中生有”地再想象出一位登山者（比如小宇），再把這兩天的行程重疊到同一天。這樣就把原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為——爺爺早晨8時(shí)出發(fā)，從山腳走向山頂；小宇同時(shí)出發(fā)，從山頂走向山腳。那么，爺孫兩人一定會(huì)在山路上的某個(gè)地點(diǎn)相遇。這就相當(dāng)于，登山者（爺爺）在兩天的同一時(shí)刻都經(jīng)過(guò)了這里。

【設(shè)計(jì)意圖】

一、立新：克服思維定式，喚醒思維的獨(dú)創(chuàng)性

創(chuàng)造性思維的一大特點(diǎn)是獨(dú)創(chuàng)性，能在司空見(jiàn)慣中別出心裁、慧眼獨(dú)具，能在習(xí)以為常中力破陳規(guī)、與眾不同。而思維定式往往會(huì)讓人沉迷于固有思路無(wú)法自拔，會(huì)阻礙新方法、新思想的產(chǎn)生。俗話說(shuō)，熟知并非真知，阻礙你認(rèn)知的，往往不是未知，而是已知。因此在日常教學(xué)中，教師應(yīng)努力尋找合適的契機(jī)，啟發(fā)學(xué)生克服思維定式，破除路徑依賴(lài)，不斷發(fā)現(xiàn)“另一種可能”。例如，我們不難發(fā)現(xiàn)，上述3道實(shí)際問(wèn)題都與“行程”有關(guān)，卻又與我們常見(jiàn)的行程問(wèn)題不太一樣，屬于一種“非典型”行程問(wèn)題。回憶以往的解題經(jīng)驗(yàn)，但凡提到“坐出租車(chē)”“登山”等真實(shí)情境，所提出的問(wèn)題大多是圍繞“速度、時(shí)間、路程”這組數(shù)量關(guān)系大做文章。這里，筆者反其道而行之，特別選編了這3道“非典型”行程問(wèn)題，主要意圖有二：其一，打破學(xué)生對(duì)行程問(wèn)題的固有印象。畢竟，生活中真實(shí)的行程問(wèn)題，并不都是勻速單調(diào)地你追我趕、你來(lái)我往，并不都是機(jī)械刻板地加減乘除求一個(gè)精確的數(shù)據(jù)。其二，讓學(xué)生感受到，即便是熟悉的生活背景，也可以提出不一樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，就看能否突破陳規(guī)，跳出慣性思維的窠臼。

二、思變：切換分析視角，激活思維的發(fā)散性

發(fā)散性思維是創(chuàng)造性思維的核心，在培養(yǎng)發(fā)散性思維方面，數(shù)學(xué)有著獨(dú)特的學(xué)科優(yōu)勢(shì)，一題多變、一題多法、一題多解等都是打開(kāi)學(xué)生思路的良策，“橫看成嶺側(cè)成峰”，從不同角度、不同層次欣賞廬山，會(huì)發(fā)現(xiàn)山有千面；同理，360°全景式地思考問(wèn)題，思路也會(huì)越來(lái)越寬。此外，“結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題”也是放飛思維的有益載體。教材中的問(wèn)題大多是結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題，探究思考的空間不大。教師可以設(shè)計(jì)一些開(kāi)放式、劣構(gòu)式的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次思考，讓學(xué)生的思維向四面八方打開(kāi)。

比如，解決第1題時(shí)，從乘客的視角不免會(huì)陷入糾結(jié)，不知是該“面向空車(chē)迎上去”還是“繼續(xù)奔赴目的地”。但如果切換到出租車(chē)司機(jī)的視角，就會(huì)發(fā)現(xiàn)兩種方式所需時(shí)間并無(wú)差別。再如，第3題的“登山”問(wèn)題，如果直接根據(jù)原題中描述的“爺爺今天上山、明天下山”這一行程來(lái)判斷，就會(huì)讓自己徘徊在一道看不見(jiàn)的圍墻之下，百思不得其解。但如果換個(gè)角度，“無(wú)中生有”地再假設(shè)出一個(gè)登山者，與爺爺同時(shí)出發(fā)相向而行，那么在山路上的某一地點(diǎn)必然會(huì)相遇，問(wèn)題便迎刃而解了。

同時(shí)，教師還可以在引導(dǎo)學(xué)生回顧反思解題思路的過(guò)程中，讓他們體會(huì)到：多角度考慮問(wèn)題并沒(méi)有那么玄幻和高深，或正難則反，或執(zhí)果索因，或以退為進(jìn)，或雙向變通……只要大膽地嘗試，靈活地從一個(gè)角度轉(zhuǎn)向另一個(gè)角度，那么對(duì)問(wèn)題的理解就會(huì)隨著視角的一次次切換而逐漸拓寬、加深，進(jìn)而改變解題思路，找到破解之道。正所謂，角度一變天地寬，退步也許是向前！

三、求聯(lián)：類(lèi)比觸類(lèi)旁通，培養(yǎng)思維的聚合性

良好的思維品質(zhì)，不單指思維的開(kāi)闊性、靈活性，還包括思維的深刻性與批判性。實(shí)際教學(xué)中，教師在關(guān)注發(fā)散思維的同時(shí)，也不能忽略對(duì)學(xué)生聚合思維的培養(yǎng)，兩者并重、協(xié)調(diào)發(fā)展才更有利于創(chuàng)造性思維的形成。因?yàn)?，相較于發(fā)散思維（更多地體現(xiàn)為思維的開(kāi)闊性、靈活性），聚合思維是一種集中的、收斂的、邏輯性強(qiáng)的思維方式（思維的深刻性、批判性常與聚合思維相關(guān)，體現(xiàn)為對(duì)事物本質(zhì)與聯(lián)系的透視）。在創(chuàng)新過(guò)程中，每一步思維都會(huì)有很多方向、諸多可能，其中，比較與甄別、指向與聚焦、整合與歸類(lèi)都離不開(kāi)聚合思維。

為了有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的聚合性，教師可以提供一些“形異質(zhì)同”問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生合理地展開(kāi)聯(lián)想，識(shí)別出不同問(wèn)題情境背后的本質(zhì)屬性，在“表面上不同、結(jié)構(gòu)上類(lèi)似”的問(wèn)題之間建立聯(lián)結(jié)，從而引入新的思路與方法來(lái)解決當(dāng)前面對(duì)的問(wèn)題。比如，要想解決第2題的傳送帶問(wèn)題，完全可以將其類(lèi)比到流水行船問(wèn)題中，人替換成船，人在平地走相當(dāng)于船在靜水中前進(jìn)，而人上了傳送帶就好比船順流而下。同樣，第3題所描述的原情境是“一個(gè)人兩天的上、下山行程”，其實(shí)與“兩個(gè)人分別從山腳和山頂同時(shí)出發(fā)相向而行”這一情境的結(jié)構(gòu)類(lèi)似，而一旦建立了這樣的聯(lián)結(jié)，就讓解題思路“柳暗花明又一村”。當(dāng)然，這樣的聯(lián)結(jié)，可以是性質(zhì)相近或結(jié)構(gòu)相似的同類(lèi)問(wèn)題相聯(lián)結(jié)，也可以是數(shù)與形等方面的聯(lián)結(jié)。通過(guò)解決這樣形異質(zhì)同的問(wèn)題，讓學(xué)生在想象和聯(lián)想、類(lèi)比與遷移、聯(lián)結(jié)與重組的過(guò)程中，不斷發(fā)展思維的聚合性和發(fā)散性。

當(dāng)然，創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的、潤(rùn)物無(wú)聲的過(guò)程，教師可設(shè)法編創(chuàng)或引導(dǎo)學(xué)生提出并探索一些開(kāi)放性的、非典型的問(wèn)題，鼓勵(lì)和啟發(fā)學(xué)生擺脫路徑依賴(lài)，多角度分析思考，建立本質(zhì)聯(lián)結(jié)，做一個(gè)勇于打破常規(guī)、富有創(chuàng)造性思維的人！

（馬麗麗，江蘇省南京市同仁小學(xué)，郵編：210008）