數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)話題之七：0的認識

劉勁苓：最初，人類是沒有數(shù)的概念的，隨著人類的進化和社會的發(fā)展，出于生產(chǎn)、生活實踐的需要，逐漸形成了數(shù)的概念。歷史上產(chǎn)生了很多種表達數(shù)的符號、語言和文字，如羅馬數(shù)字、希臘數(shù)字、楔形文字等。現(xiàn)今國際通用的是“印度-阿拉伯?dāng)?shù)字”，其中的數(shù)字0比較特殊，是一個極為重要的數(shù)字。今天我們重點聊一聊“零”。

湯佳佩：現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)最早的代表零的符號（用空格表示）是古代巴比倫人書寫在泥板上的，距今已有3000多年。后來，瑪雅人用貝殼或半開的眼睛的形狀作為零的符號；古希臘人用希臘文“ουδεν”（意思是空）的第一個字母ο表示零號（取自我國數(shù)學(xué)史家梁宗巨的觀點）；印度人阿耶波多有時用印度梵文的“Sunya”（意思是空）表示零。

劉勁苓：零是位值制的必然產(chǎn)物，零的出現(xiàn)使得位值制更加完善。但在歷史上，它的出現(xiàn)比位值制思想晚很多。世界上較早了解位值制原理的地區(qū)有古代巴比倫、瑪雅、印度和中國，今天就重點從這幾個地區(qū)來了解“零”。公元前19世紀建立的古巴比倫王國，大致位于現(xiàn)今伊拉克版圖內(nèi)，一般稱公元前19世紀至公元前16世紀間，在該地域發(fā)展的數(shù)學(xué)為巴比倫數(shù)學(xué)。巴比倫人有較高的數(shù)學(xué)水平和豐富的想象力，發(fā)明了一套十進制和六十進制混合的記數(shù)法。60以下用十進簡單累數(shù)制，60以上用六十進位值制，共有兩種符號（如圖1）。巴比倫人用空格分隔兩個數(shù)碼，但也要用來表示空位（即這個位置上沒有任何數(shù)，相當(dāng)于0）?？梢哉f，古巴比倫人發(fā)明了“零”的概念。

湯佳佩：瑪雅人是印第安人的一支，是古代美洲唯一留下文字記錄的民族，主要活動于現(xiàn)今的墨西哥南部和中美洲北部?，斞盼幕钠鹪纯梢宰匪莸焦?000年或更早，但真正的繁榮時期是在公元3—9世紀。聰慧的瑪雅人創(chuàng)造了一種獨特的記數(shù)方法——二十進位值制記數(shù)法。我們現(xiàn)在使用的是十進制，跟我們的十個手指有關(guān)，“屈指可數(shù)”表明手是我們最早、最簡單的計算工具。而瑪雅文明作為世界上唯一一個誕生于赤道附近熱帶叢林的古代文明，由于人們喜歡赤腳，當(dāng)用10個手指數(shù)數(shù)不夠時，就會接著用10個腳趾數(shù)，于是產(chǎn)生了二十進位制?，斞诺南笮挝淖种?，有一種指示零（空位）的符號，用相似的各類頭像表示，頭像一般是神秘死神的形象，代表著“終止”，一只手放在下巴上，暗示著“完成”。但在歷史上，瑪雅人使用零比位值制記數(shù)法要早。公元初年，他們發(fā)明了帶有明確意義的零號，形狀很像一只貝殼或半開的眼睛（如圖2）?，斞诺牧闾栯m然形式多樣，但是貝殼符號是最常見的一種，在瑪雅的位值制記數(shù)法中起到很大作用。它可用于兩個數(shù)字之間，可用于末尾，表示某一具體位置上沒有數(shù)（相當(dāng)于空位），或指明各個數(shù)碼的準確位置。這種計數(shù)法的不足之處在于，沒有用零號單獨來表示“空”和“一無所有”，也沒有將0作為一個獨立的數(shù)用在計算之中。

劉勁苓：古希臘數(shù)學(xué)一般指公元前600年—公元600年在希臘本土及希臘帝國的占領(lǐng)地發(fā)展起來的數(shù)學(xué)。古希臘數(shù)學(xué)受古巴比倫數(shù)學(xué)的影響，記數(shù)法采用混合的十進制和六十進制，且用字母表示數(shù)字。古希臘人把小于1的數(shù)用巴比倫的六十進位值制分數(shù)表示，而整數(shù)則用十進非位值制表示。如1，2，3，4分別記作α，β，γ，δ；10，20，30，40卻記作ι，κ，λ，μ；而100，200，300，400記作ρ，σ，τ，υ等。直到15世紀才逐漸開始采用位值制，如用β.β表示202?，F(xiàn)在的史料對古希臘人發(fā)明的零說法不一，主要是創(chuàng)用時間、符號形式和功能使用方面有所不同：一種說法認為，古希臘的零是在公元2世紀創(chuàng)立的，使用小圈“ο”表示零，即為空位，可放于首位、末位和兩數(shù)之間；另一種說法認為，古希臘人在公元前3世紀發(fā)明了零。

湯佳佩：古印度數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)的影響廣泛，現(xiàn)在廣泛使用的阿拉伯?dāng)?shù)字就源自印度。最初，古印度人用梵文字頭表示數(shù)字，后來演變?yōu)橛《葦?shù)字形式并流傳至阿拉伯，再傳至歐洲，前后經(jīng)過一千多年的演變，成為現(xiàn)代形式的數(shù)字，歷史學(xué)家較準確地稱其為“印度-阿拉伯?dāng)?shù)字”。由于古印度的書寫材料通常是樺樹皮或棕樹葉，非常不利于保存，因而留下的文獻材料很少，有關(guān)數(shù)學(xué)的記載自然更加少見，這與古印度數(shù)學(xué)的發(fā)展?fàn)顩r極不相稱。直到公元7世紀末，隨著中國的造紙術(shù)傳到印度，才有更多印度的典籍流傳下來。古印度典籍中，最初是沒有表示零的記號的，遇到零時就空一位，意味著什么也沒有，如“1005”表示成“1 5”，“105”表示成“1 5”，但這中間的距離容易讓人產(chǎn)生誤解。為了避免混淆，印度人改用實心圓點“·”替代空位，如“3·7”表示“307”。直到11世紀，這種方法還在使用。后來，印度人的零記號從空心圓點演變成空心小圈，再由空心小圈演變成扁圓形的零，最遲在公元9世紀，印度人使用“0”表示數(shù)零，這是印度人對零的研究的偉大貢獻。

劉勁苓：中國是世界四大文明古國之一，擁有五千年的輝煌歷史。其中有關(guān)數(shù)學(xué)的歷史就有四千多年。中國古代的數(shù)碼體系一向是我們引以為豪的成就之一，數(shù)字零更是有其獨特的演變歷史。中國是世界上最早使用十進位值制的國家（這在上一個話題中已經(jīng)說過，此處不再贅述），但在早期記數(shù)法中，由于零的缺乏導(dǎo)致位值制不夠完善。春秋戰(zhàn)國時期，算籌是我國普遍使用的計算工具，用縱橫兩種形式的算籌記數(shù)，個位常用縱式，其余縱橫相間。早期的算籌記數(shù)受工具限制，缺乏零的符號，當(dāng)遇到數(shù)位中有零時就用空位表示。但在讀法上則是很久后才有了“零”的說法，如唐朝著作《立成算經(jīng)》上記錄：208讀作“二百八”而不是“二百零八”，405讀作“四百五”而不是“四百零五”。我國古代書中缺字都用“□”來表示，因此數(shù)字間的空位自然也借用“□”來替代。如南宋蔡元定的《律呂新書》中，就把118098寫作“十一萬八千□九十八”。由于書寫較快，行云流水，方塊逐漸被畫成了圓圈。最早使用○表示數(shù)的空位（零），是在《大明歷》（金）中，將“403”寫作“四百○三”，南宋秦九韶的《數(shù)書九章》中已經(jīng)開始大量使用○，直到清朝光緒年間才明確開始使用印度數(shù)字“0”。

湯佳佩：看來，零的歷史源遠流長。古巴比倫人發(fā)明了“零”的概念，古希臘人用高深的術(shù)語為它進行過辯論，古瑪雅人和古羅馬人都把零當(dāng)作數(shù)字系統(tǒng)的一部分。印度人對零的最大貢獻就是承認“0”是一個數(shù)，而不僅僅是空位或一無所有。公元8世紀，印度數(shù)字傳播到阿拉伯世界，在那里興旺起來，逐漸得到充分的運用。正式將包括0在內(nèi)的“印度-阿拉伯?dāng)?shù)字”介紹到歐洲的是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（約1175—1250）。

劉勁苓：其實介紹這么多的主要目的，是為教學(xué)服務(wù)。

湯佳佩：“0這么簡單，有什么好教的？”

劉勁苓：曾經(jīng)聽過一節(jié)《0的認識》。教師教學(xué)的基本流程是：2分鐘時間引出情境圖和課題，完成第1個例題的教學(xué)，2分鐘完成“試一試”，4分鐘完成第2個例題教學(xué)，描紅仿寫8分鐘，28分鐘完成“想想做做”中的練習(xí)，1分鐘課堂總結(jié)。整節(jié)課，新授課用時極少，練習(xí)部分耗時大半。所以當(dāng)時一起聽課的一位高年級教師感慨地說：“真不知道《0的認識》有什么好教的，要一個課時呢！”這說明很多老師并未認識到零的重要作用。其實，通過對零的發(fā)展的了解，我們會發(fā)現(xiàn)零的背后有極其豐富的數(shù)學(xué)素材可以挖掘。

湯佳佩：北師大版教材對“數(shù)的認識”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)是這樣安排的：《可愛的校園》（按順序數(shù)出1—10）、《快樂的家園》（1—10的初步認識）、《玩具》（1—5的認識與書寫）、《小貓釣魚》（0的認識與書寫）、《文具》（6—10的認識與書寫）、《快樂的午餐》（用一一對應(yīng)的方法比較大?。?、《動物樂園》（“=”“<”“>”的認識與書寫）。而人教版是這樣安排的：《準備課》（數(shù)一數(shù)、比多少）、《1—5的認識和加減法》（認識1—5、比大小、第幾、分與合、加法、減法、0）、《6—10的認識和加減法》（認識6—10、解決問題、連加連減、加減混合），其中，“0的認識”教學(xué)內(nèi)容涉及“0的讀寫”與“0的意義”。

劉勁苓：通過對不同版本教材的對比研究我們發(fā)現(xiàn)：人教版教材呈現(xiàn)的小猴吃桃情境是動態(tài)的，北師大版教材呈現(xiàn)的小貓釣魚情境是靜態(tài)的。但這都只是表面的不同，如何才能真正實現(xiàn)從只關(guān)注表面現(xiàn)象到追問數(shù)學(xué)概念的實質(zhì)、意義與教育價值的全過程？我們展開了一些深入的思考——

師：同學(xué)們，前面我們已經(jīng)認識了1—5這五個數(shù)，今天這節(jié)課，我們再來認識一位新朋友，你們知道她是誰嗎？有的小朋友已經(jīng)猜到了，對，今天就來認識0。0這個數(shù)可不一般，在小學(xué)里它的用處可大了，那在學(xué)習(xí)之前呢，我們先來看屏幕。（出示圖3）小貓去釣魚，小貓釣了幾條魚？你能用自己的話說一說小貓釣了幾條魚嗎？

師：第一只小貓釣了3條魚，第二只小貓釣了2條魚，第三只小貓釣了1條魚，那最后一只小貓呢？

師：是??！它一條魚也沒釣著，真遺憾！如果讓你用數(shù)來表示他們所釣的魚，你會表示嗎？在作業(yè)紙上寫寫看。

師：我們一起來看一看，三條魚可用3來表示，兩條魚可用2來表示，一條魚可以用1來表示，那一條都沒有呢？到底用什么數(shù)來表示呢？

師：我們再來看一看，小猴特別喜歡吃桃，看他吃的多香啊，（出示圖4）現(xiàn)在盤子里還有桃嗎？盤子里一個桃子都沒有了，如果請你用數(shù)來表示，你會表示嗎？

師：對！可以用0來表示?？催@個圓圓的盤子多像0?。∫粋€桃子都沒有了，就可以用0來表示。

師：（出示圖5）這是一組圖片，上面餅干的數(shù)量在逐漸減少，你能用數(shù)來表示嗎？

師：第一幅圖可以用4來表示，第二幅圖呢？對了！餅干的數(shù)量減少了一塊，就可以用3來表示，第三幅圖呢？用2來表示。餅干的數(shù)量繼續(xù)減少，就可以用1來表示，連一塊都沒有了，我們可以用幾來表示呢？

師：對！就可以用0來表示。0可以表示沒有，1條魚都沒有，所以用0來表示；一個桃子也沒有，所以用0來表示；一塊餅干都沒有了，所以也用0來表示。

師：還記得我們剛才數(shù)的小魚嗎？請你在田字格里把表示魚的數(shù)寫下來，寫0的時候要注意，從豎中線起筆，見邊拐彎，回到原點。注意要寫圓滑，沒有棱角。自己試著在本子上寫一寫。

師：認識了0你有什么樣的收獲啊？

師：快看一看誰來了？（出示圖6）小狗要玩跳格游戲，看看小狗從0跳到了幾?。繉?，從0跳到了4，一共跳了幾個格?。∫还蔡?個格！我們一起來數(shù)一數(shù)！1，2，3，4，從0跳到4一共跳了4個格。

師：再看看生活中的0，（出示溫度計）我們先來看看溫度計上的0。在這里它表示的可不是沒有了！而是溫度計上的分界線，比0℃高的就在0上面，比0℃低的就在0下面，你看多有意思?。?除了表示沒有，還可以表示分界。（出示撥號電話）電話上的0也不是沒有了的意思，而是數(shù)字符號，當(dāng)我們打電話的時候，0表示號碼中的一個數(shù)字。

師：0在生活中有那么多意思，那0在數(shù)學(xué)上除了表示沒有，還有沒有別的意思呢？

師：（出示數(shù)字10）這個數(shù)相信小朋友們都認識，這個是10，你看看這里面的0它就起到了“占位”的作用。如果沒有0，10就變成1了，只有加上這個0，才是10。

師：小朋友們，今天我們認識的這個0，其實在古代很多人都想創(chuàng)造它的寫法，怎么表示0呢？2000多年前，我國古人用算籌來表示數(shù)，當(dāng)時是用空位來表示0的，今天我們使用的0的寫法，是沿用了古印度人的寫法。0的含義非常豐富，希望你能用你的“數(shù)學(xué)眼睛”，尋找生活中更多的不同意義的0！

湯佳佩：這個設(shè)計對0的各種含義都有涉及，那在教學(xué)《0的認識》的過程中，是否要滲透這么多層含義呢？就好像我們在認識一個人時，其實不需要在見第一面時就把所有特征都了解清楚，因為深入的認識總是一個由表及里，由外到內(nèi)，由淺顯到深入的過程。

劉勁苓：有人說：“數(shù)概念是典型的過程性概念”。因此讓學(xué)生經(jīng)歷和感知“0”這個概念的產(chǎn)生過程，是很有必要的?！霸趧討B(tài)生成過程中體悟這種從有到無的過程”，減法情境是體現(xiàn)這一過程的最佳方式，而加法情境只能呈現(xiàn)“0”的靜態(tài)形式，不能很好地體現(xiàn)“0”的產(chǎn)生過程。因此教材中選擇先呈現(xiàn)減法情境，再呈現(xiàn)加法情境，是有其深刻道理的，充分體現(xiàn)了“簡約而不簡單”。

湯佳佩：作為一線教師，洞悉這些內(nèi)容深刻性的一個最重要途徑就是專業(yè)閱讀。我通過閱讀《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想方法》這本書，了解了數(shù)概念的特點及發(fā)展過程、0的價值；通過閱讀《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程》，了解學(xué)生是如何學(xué)習(xí)數(shù)的概念的；通過閱讀《零的歷史》，對0的發(fā)展過程及0的占位作用有了更深入的理解……學(xué)習(xí)之后，發(fā)現(xiàn)0的認識這節(jié)課可以在教學(xué)中展現(xiàn)的上位的知識還有很多。

劉勁苓：“事物代表的越少，我們知道它的就越少，多么無形的，多么不可理解的一個事物，那么，它就是零！”研究使人深入思考，我們要繼續(xù)努力，為更多學(xué)生帶去知識與樂趣！

參考文獻：

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[2] 徐品方，張紅.數(shù)學(xué)符號史[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[3] 梁宗巨.世界數(shù)學(xué)通史（上冊）[M].沈陽：遼寧教育出版社，2001.

（劉勁苓，特級教師，北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院，郵編：100031；湯佳佩，北京市朝陽區(qū)教育科學(xué)研究院，郵編：100028）

*本文系北京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018 年度一般課題“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中‘文以化人’的育人研究”（課題批準號：CDDB18182）成果之一。