形形色色的悖論

數(shù)學(xué)靠的是嚴(yán)密的邏輯推理，可是有時(shí)會(huì)發(fā)生這種怪事：振振有詞的一通推卻得到了似乎荒謬絕倫的結(jié)論。這結(jié)論或者有悖于大家的常識(shí)，或者自相矛盾，使人左右為難。這就叫“悖論”。有了悖論，人們就會(huì)問：“邏輯的推理的方法可靠嗎？怎樣運(yùn)用邏輯推理的方法才不會(huì)出毛??？”通過對(duì)悖論的分析研究、找出悖論的癥結(jié)所在，使悖論不悖，這叫做消除悖論。對(duì)悖論的研究，有助于數(shù)學(xué)的發(fā)展。有重大影響的悖論的出現(xiàn)與消除，往往標(biāo)志著數(shù)學(xué)科學(xué)水平的劃時(shí)代的進(jìn)展。

畢達(dá)哥拉斯悖論

古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，數(shù)只有正整數(shù)和分?jǐn)?shù)。但是根據(jù)勾股定理（古希臘稱為畢達(dá)哥拉斯定理），正方形對(duì)角線長與邊長之比卻既不是整數(shù)又不是分?jǐn)?shù)。這個(gè)發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)被稱為悖論。后來大家認(rèn)識(shí)到無理數(shù)也是數(shù)，并且建立了嚴(yán)密的實(shí)數(shù)理論，這個(gè)悖論就被消除了。

這個(gè)悖論從出現(xiàn)到徹底消除經(jīng)過了近2000年，它的消除標(biāo)志著實(shí)數(shù)概念在數(shù)學(xué)家心目中已經(jīng)十分明確了。

禿頭悖論

一個(gè)人有了10萬根頭發(fā)，當(dāng)然不能算禿頭，不是禿頭的人，掉了一根頭發(fā)，仍然不是禿頭，按照這個(gè)道理，讓一個(gè)不是禿頭的人一根一根地減少頭發(fā)，就得出一條結(jié)論：沒有一根頭發(fā)的光頭也不是禿頭！

類似的悖論還不少。例如：一根雞毛可以壓倒大力士；胖子體重再減一克就不再是胖子；等等。

這種悖論出現(xiàn)的原因是：我們?cè)趪?yán)格的邏輯推理中使用了模糊不清的概念。什么叫禿頭，這是一個(gè)模糊概念。一根頭發(fā)也沒有，當(dāng)然是禿頭。多一根呢？還是禿頭吧。這樣一根一根增加，增加到哪一根就不是禿頭了呢？很難說。誰也沒有一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)！

如果硬要訂一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，比如說，有1000根頭發(fā)的是禿頭，有1001根頭發(fā)的就不是禿頭了，這就不符合大家的實(shí)際看法。

比較現(xiàn)實(shí)的辦法是引入模糊概念。具體地說，用打分的辦法來評(píng)價(jià)禿的程度。全光頭是百分之百的禿，打1分（1=100%），有100根頭發(fā)，打0.7分，200根0.6分，等等，隨著頭發(fā)的增加，禿的分?jǐn)?shù)逐漸減少，這樣就可以消除禿頭悖論了。

當(dāng)然，如何具體打分，是個(gè)問題。這可以協(xié)商，或者由醫(yī)生制訂，或者用其他辦法。不過，這已經(jīng)不是邏輯問題，不是數(shù)學(xué)問題了。

說謊者論

這是一個(gè)古老的悖論。一個(gè)人說：“我現(xiàn)在說的這句話是謊話?！边@句話究竟是不是謊話呢？

如果說它是謊話，就應(yīng)當(dāng)否定它。也就是說，這句話不是謊話，是真話。

說它是真的，也就肯定了這句話確實(shí)是謊話。

這句話既不是真的，也不是假的。這真令人左右為難！

有人說，如果不許一句話談?wù)摫旧?，就可以消除這類悖論。但是它馬上會(huì)改頭換面，以另一形式出現(xiàn)：

一張卡片，正面寫著“反面寫的那句話是真的”，而反面卻寫著“正面那句話是假的”。

究竟正面那句話是真是假？

還可以變成一連串句子：第一句說第二句假，第二句說第三句假，第三句說第四句假……每一句都說下一句是假的。最后，第七句說：“第一句是假的！”第一句是真是假？

如果第一句真，則第三、五、七句真，于是第一句假。如果第一句假，則第三、五、七句假，于是第一句真！

這就像7個(gè)孩子手拉手站成一圈，絕不可能讓男孩兩邊都是女孩，女孩兩邊都是男孩！當(dāng)然，“7”可以換成任何奇數(shù)。這種悖論，叫作“語義學(xué)悖論”。

波蘭數(shù)學(xué)家塔斯基（A. Tavski）提出用語言分級(jí)的辦法來消除語義學(xué)悖論。辦法是：

最基本的語句是實(shí)際語句。它只談?wù)搶?shí)際的事物，如“雪是白的”“狗是哺乳動(dòng)物”……而不涉及句子的真假。比它高一級(jí)的句子是1級(jí)抽象語句，它包括了實(shí)際語句，并且可以談?wù)搶?shí)際語句的真假。例如“雪是白的”這句話是對(duì)的，就屬于1級(jí)抽象。往上，有2級(jí)、3級(jí)…… n級(jí)抽象語句。n級(jí)抽象語言包括了n-1級(jí)語言，而且可以談?wù)?n-1級(jí)語言的真假。這樣，就可以消除循環(huán)判斷所產(chǎn)生的悖論。

近年，我國數(shù)學(xué)家文蘭院土提出并論證了說謊者悖論不過是布爾代數(shù)里的一個(gè)矛盾方程。代數(shù)里有矛盾方程不是什么怪事，所以這悖論也就不值得大力去討論了。

理發(fā)師悖論

某村上的理發(fā)師聲稱，他只給那些不給自己刮胡子的村上人刮胡子。那么。理發(fā)師給不給自己刮胡子呢？如果他給自己刮，按規(guī)定他不應(yīng)當(dāng)給自己刮；如果他不給自己刮，按規(guī)定他又應(yīng)當(dāng)給自己刮！

和這個(gè)悖論類似的悖論真不少。圖書目錄悖論便是一個(gè)例子。圖書目錄也是一本圖書，所以它可以把自己列入自己的目錄之內(nèi)。但它也可以不把自己列入。把所有不列入自己目錄的編成一本目錄，這本目錄該不該把自己列入呢？

理發(fā)師悖論是1901年由羅素（B.A.W.Russell，1872—1970）提出的集合學(xué)悖論的通俗化翻版。羅素悖論是一個(gè)相當(dāng)深刻的難題，它在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)風(fēng)波。

講羅素悖論，要從集合論里的“概括原則”談起。如果一個(gè)集合里只有不多幾個(gè)元素，比如說你們班美術(shù)小組的成員組成的集合，只要開個(gè)名單就可以確定這個(gè)集合。要是集合里元素很多，甚至多到無窮，就不便開名單，甚至沒法開名單了。這時(shí)可以指出集合中元素的特征，例如：“所有中國人組成的集合”“所有偶自然數(shù)組成的集合”，等等。一般地說，P表示某一性質(zhì)，所有具有性質(zhì)P的事物總可以構(gòu)成一個(gè)集合。這就叫作概括原則。

大家承認(rèn)了概括原則，羅素偏偏就利用它來構(gòu)造悖論。羅素把所有集合分成兩類：以自身為自己的一個(gè)元素的集合，叫非正常集。不以自身為元素的集合。叫作正常集。一切正常集組成的集合B，它到底是正常的呢，還是非正常的呢？

如果 B是正常的，按B的定義，B應(yīng)當(dāng)是 B的元素。這么一來，B是非正常的。

如果 B是非正常的，按定義， B不應(yīng)當(dāng)是 B的元素。這么一來，B又是正常的了！

集合論是數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)。不消除羅素悖論，數(shù)學(xué)家自然是不甘心的。

羅素本人提出了把集合分層的辦法來消除這個(gè)悖論，正如塔斯基把語言分級(jí)一樣，先給定基本集合。第一層集合包括基本集合，以及以基本集合為元素的集合。第n層集合包括第n-1層集合，以及以第 n-1層集合為元素的集合。這樣，就不會(huì)發(fā)生“集合是否以自身為元素”的問題。

羅素的分層方法太煩瑣，數(shù)學(xué)家們不歡迎。后來，大家想出建立集合論公理的辦法，用公理限制那些莫名其妙的集合的出現(xiàn)，這才消除了羅素悖論。

但是，能不能保證在已建立的公理系統(tǒng)中永遠(yuǎn)不產(chǎn)生新的悖論呢？這叫作數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性問題。哥德爾在1931年證明了一個(gè)使人失望的定理：包含了自然數(shù)的數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)，如果是協(xié)調(diào)的話。其協(xié)調(diào)性是無法在系統(tǒng)之內(nèi)證明的！這表明，數(shù)學(xué)的真理性，歸根到底要靠人類的廣泛社會(huì)實(shí)踐來證明。

預(yù)言家悖論

算命先生王鐵口說他能預(yù)知未來。小王在一張紙上寫了一件事，請(qǐng)他猜猜這件事會(huì)不會(huì)發(fā)生。會(huì)發(fā)生，就請(qǐng)王鐵口在卡片上寫個(gè)“是”字，否則寫個(gè)“否”字。

王鐵口事先寫了兩張卡片：一個(gè)“是”字，一個(gè)“否”字。他準(zhǔn)備見機(jī)行事，偷梁換柱。

但小王把紙打開之后，王鐵口卻無所適從了。小王在紙上寫的是：“王鐵口在卡片上寫的是‘否’字”。

如果王鐵口拿出寫“否”的卡片，“這件事”發(fā)生了，而王鐵口沒猜對(duì)。拿出寫 “是”的卡片，“這件事”就沒發(fā)生，又猜錯(cuò)了。

你仔細(xì)想想，便知道這一悖論是說謊者悖論的翻版。

理查德悖論

用漢字可以定義自然數(shù)。例如：“最小的素?cái)?shù)”定義了“2”，“三的四次方”定義了“81”。能夠用少于100個(gè)漢字定義的自然數(shù)當(dāng)然只有有限個(gè)，因?yàn)闈h字?jǐn)?shù)目是有限的。所以，一定有一個(gè)“最小的不能用少于100個(gè)漢字定義的自然數(shù)”。不過這樣一來，這個(gè)自然數(shù)已被我們用20個(gè)漢字定義出來了。如何解釋這個(gè)矛盾呢？

問題在于，什么叫作“用少于100個(gè)漢字可以定義”，這句話是含糊不清的。在這句話里，用到了“可定義的”這個(gè)概念。但是，“可定義的”這個(gè)概念本身是無法在我們的數(shù)學(xué)系統(tǒng)中嚴(yán)格加以定義的！

消除理查德悖論的辦法，有人主張也用分級(jí)抽象語言的方案，像消除說謊者悖論一樣。

但是，大家又都覺得分級(jí)語言太麻煩了。在寫文章、講話的時(shí)候，誰肯不斷地說明自己此時(shí)用的是哪一級(jí)的語言呢？

意外的考試

馬老師宣布本星期內(nèi)他將進(jìn)行一次考試。他說，考試的日子將使大家感到意外！

學(xué)生們紛紛猜測(cè)：考試將在哪一天進(jìn)行呢？

大家一致認(rèn)為，不會(huì)在星期五考試。因?yàn)?，如果到了星期四還沒考試，大家就可以肯定馬老師將在星期五考試，那就不是意外的考試了——馬老師說話是算數(shù)的。

既然不會(huì)在星期五考試，那也不會(huì)在星期四考試了。因?yàn)榕懦瞧谖逯?，星期四是最后一天。如果星期一到星期三不考，星期五又不?huì)考，那只有星期四考了。既然學(xué)生們可以如此推理，星期四考試也不是意外的考試！

于是這樣推論下去，星期三考試也非意外，所以也不會(huì)在星期三考。同樣道理，也不會(huì)在星期二、星期一考試。學(xué)生們于是非常高興，馬老師這星期里不會(huì)考試了！

正當(dāng)學(xué)生們認(rèn)為不會(huì)考試的時(shí)候，馬老師卻在星期二考試了。不過，這的確是出乎意料的考試。

事實(shí)上，不論在這五天里哪一天考試，都出乎學(xué)生們的意料。即使在星期五考試，也出乎學(xué)生意料，因?yàn)閷W(xué)生們認(rèn)為這一天不會(huì)考了。

這是一個(gè)尚在爭(zhēng)議的悖論。一般看法認(rèn)為，“意外的考試”是個(gè)模糊不清的概念，問題就出在這里。

（張景中，著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)科普作家，中國科學(xué)院院士）