基于數(shù)和運(yùn)算意義的乘法算理整體性理解

摘 要：實(shí)現(xiàn)乘法算理的整體性理解，需要把乘法算理統(tǒng)一到“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)重復(fù)加”，從“新計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生”“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)計(jì)數(shù)”兩個(gè)維度尋求進(jìn)階路徑。需要重視計(jì)數(shù)單位概念的表征切換，基于數(shù)的意義和計(jì)數(shù)單位十進(jìn)制關(guān)系，以乘法運(yùn)算形式記錄新計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生過程；需要重視在乘法運(yùn)算中刻畫計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)過程，實(shí)現(xiàn)乘法算理整體性理解的學(xué)習(xí)進(jìn)階。

關(guān)鍵詞：乘法運(yùn)算；算理；整體性；計(jì)數(shù)單位

在加減法運(yùn)算中，運(yùn)算本質(zhì)都指向“相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的加減”，實(shí)現(xiàn)了基于運(yùn)算意義的算理整體性理解。然而在乘法運(yùn)算中，存在算理缺乏整體性，甚至“不講理”的現(xiàn)象，本文就如何實(shí)現(xiàn)乘法算理的整體性理解進(jìn)行分析探討，并基于數(shù)和運(yùn)算意義對(duì)乘法算理整體性理解的進(jìn)階路徑給出教學(xué)建議。

一、實(shí)現(xiàn)乘法算理整體性理解的總體思路

小學(xué)數(shù)學(xué)中，乘法運(yùn)算的算理常缺乏整體性。具體表現(xiàn)為：基于乘法運(yùn)算意義的“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)重復(fù)加”算理，局限于整數(shù)乘法、小數(shù)乘整數(shù)和分?jǐn)?shù)乘整數(shù)等學(xué)習(xí)內(nèi)容，沒有貫穿所有的乘法運(yùn)算。小數(shù)乘小數(shù)的算理開啟了“積的變化規(guī)律”這條通道；幾百幾十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)僅限于算法的探索，存在“不講理”的現(xiàn)象。

而像幾百幾十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)、小數(shù)乘小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，就不再明確提及計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)。如，120×30只概括出“12×3=36，后面添2個(gè)0”的算法，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)只得出“用分子相乘的積做分子，用分母相乘的積做分母”的法則，對(duì)為什么可以這樣算沒有解釋。

從表面上看，乘法算理缺乏整體性，甚至“不講理”，原因在于整數(shù)乘法的意義（相同加數(shù)求和）似乎無法涵蓋小數(shù)乘小數(shù)的意義、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，無法從“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)重復(fù)加”算理層面做出解釋。但實(shí)質(zhì)上，小數(shù)乘小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)并非不能用“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)重復(fù)加”這個(gè)算理加以解釋，關(guān)鍵在于，基于運(yùn)算的意義產(chǎn)生了新的計(jì)數(shù)單位，需要借助“新計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)重復(fù)加”進(jìn)行解釋。

可見，只要借助數(shù)和運(yùn)算的意義，從“計(jì)數(shù)單位乘計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位”這條思路來理解，就能把乘法算理統(tǒng)一到“（新）計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)重復(fù)加”，從而實(shí)現(xiàn)乘法算理的整體性理解。

二、實(shí)現(xiàn)乘法算理整體性理解的進(jìn)階路徑

在“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)重復(fù)加”算理中，主要包含了“計(jì)數(shù)單位”“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)”兩個(gè)元素，這也就決定了乘法算理整體性理解的實(shí)現(xiàn)需要從“新計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生”“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)計(jì)數(shù)”兩個(gè)維度尋求進(jìn)階路徑。

（一）從新計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生逐步理解乘法算理整體性

新計(jì)數(shù)單位，是基于數(shù)的意義和計(jì)數(shù)單位十進(jìn)制關(guān)系，在乘法運(yùn)算過程中自然產(chǎn)生的。根據(jù)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)階段，以乘法運(yùn)算形式記錄新計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生過程需要經(jīng)歷三階：

第一階，用乘法運(yùn)算形式記錄新計(jì)數(shù)單位“百”“千”的產(chǎn)生過程。在“百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”學(xué)習(xí)中，把“10個(gè)十是一百”的十進(jìn)關(guān)系表征為“10+10+10+10+10+10+10+10+10+10=100”或“10×10=100”的運(yùn)算形式；在“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”學(xué)習(xí)中，把“10個(gè)百是一千”的十進(jìn)關(guān)系表征為“100+100+100+100+100+100+100+100+100+ 100=1000”或“100×10=1000”的運(yùn)算形式。根據(jù)乘法即“相同加數(shù)求和”的意義，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到一個(gè)計(jì)數(shù)單位重復(fù)加10次可以得到高一級(jí)的計(jì)數(shù)單位。

（二）從計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)計(jì)數(shù)逐步理解乘法算理整體性

計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)計(jì)數(shù)，包括原計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)和新計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)兩種類型。原計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)類型，原計(jì)數(shù)單位保持不變，只需把計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)重復(fù)加，乘法運(yùn)算內(nèi)容主要包括整十?dāng)?shù)、整百數(shù)、幾百幾十?dāng)?shù)乘一位數(shù)，小數(shù)乘整數(shù)，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)。新計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)類型，需要先產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位，再把計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)重復(fù)加，乘法運(yùn)算內(nèi)容主要包括整十?dāng)?shù)、整百數(shù)、幾百幾十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)的口算，因數(shù)末尾有0的筆算，小數(shù)乘小數(shù)，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)。

結(jié)合計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)計(jì)數(shù)的類型和相應(yīng)乘法運(yùn)算內(nèi)容，從計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)計(jì)數(shù)理解乘法算理的整體性，可以劃分為以下六階：

第一階，整十?dāng)?shù)、整百數(shù)、幾百幾十?dāng)?shù)乘一位數(shù)口算，用乘法橫式記錄原計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)計(jì)數(shù)的過程——幾個(gè)十（百、千）乘幾，共得到幾個(gè)十（百、千）。如，20×3的算理口述為“2個(gè)十乘3是6個(gè)十，就是60”，對(duì)應(yīng)地把這個(gè)計(jì)數(shù)過程用橫式記錄為“20×3=10×2×3=10×（2×3）=10×6=60”。

第二階，小數(shù)乘整數(shù)筆算，算理路徑從單位轉(zhuǎn)化、積的變化規(guī)律擴(kuò)充到計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)，并用乘法橫式記錄計(jì)數(shù)過程——幾個(gè)0.1、0.01乘幾，共得到幾個(gè)0.1、0.01。如，3.5×3用單位轉(zhuǎn)化的算理路徑解釋為“3.5元轉(zhuǎn)化為35角，35角乘3等于105角，也就是10.5元”；用計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)計(jì)數(shù)的算理路徑解釋為“3.5有35個(gè)0.1，35乘3等于105個(gè)0.1，也就是10.5”，兩個(gè)層面的算理適度溝通，并把計(jì)數(shù)的過程記錄為“3.5×3=0.1×35×3=0.1×（35×3）= 0.1×105=10.5”。

第四階，整十?dāng)?shù)、整百數(shù)、幾百幾十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)、因數(shù)末尾有0的筆算，結(jié)合情境圖示理解新計(jì)數(shù)單位“百”“千”，將新計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生和新計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)計(jì)數(shù)的過程通過乘法運(yùn)算予以條理化。結(jié)合圖示基于“10個(gè)十是一百”“10個(gè)百是一千”對(duì)新計(jì)數(shù)單位“百”“千”的產(chǎn)生做出解釋，并用乘法橫式記錄新計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)計(jì)數(shù)的過程。如“30×20=（10×3）×（10×2）=（10×10）×（2×3）=100×6=600”，其圖示如圖1。

第五階，小數(shù)乘小數(shù)筆算，結(jié)合情境圖示理解新計(jì)數(shù)單位“百分之一”“千分之一”，將新計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生和新計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)計(jì)數(shù)的過程通過乘法運(yùn)算予以條理化。如，0.3×0.2可結(jié)合“一塊地磚長0.3米、寬0.2米，它的面積是多少平方米”情境，建立面積模型進(jìn)行單位轉(zhuǎn)化、直觀解釋（如圖2），得出“每個(gè)小方格是0.01平方米，地磚每行有3個(gè)小方格、有2行，一共有6個(gè)小方格，也就是6個(gè)0.01平方米，結(jié)果是0.06平方米”，相應(yīng)的計(jì)數(shù)過程記錄為“0.3×0.2=（0.1×3）×（0.1×2）=（0.1×0.1）×（3×2）=0.01×6=0.06”。

上述新計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生和計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)計(jì)數(shù)的學(xué)習(xí)進(jìn)階，是集數(shù)的認(rèn)識(shí)、十進(jìn)制、乘法的意義和乘法運(yùn)算等內(nèi)容作為一個(gè)整體學(xué)習(xí)的長程設(shè)計(jì)。為達(dá)成整體學(xué)習(xí)效果，一方面需要重視計(jì)數(shù)單位概念的多元表征和表征切換，強(qiáng)化口述語言向書面符號(hào)的轉(zhuǎn)換，準(zhǔn)確表達(dá)乘法運(yùn)算形式，通過深入理解十進(jìn)制和分?jǐn)?shù)意義體會(huì)新計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生；另一方面，需要重視在乘法運(yùn)算中刻畫計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)過程，把“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)重復(fù)加”的過程條理化。只有這樣，基于數(shù)和運(yùn)算意義的乘法算理整體性理解才有可能真正落地。

（宋煜陽，特級(jí)教師，正高級(jí)教師，浙江省寧波市奉化區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校，郵編：315500）