幾何直觀見其然 代數(shù)入微促深度

【摘要】幾何直觀主要是指利用圖形描述來分析問題的方法，教師可以借助幾何直觀，把復雜的數(shù)學問題簡單化、形象化，引導學生探索解決問題的思路，預測探究的結果。在“數(shù)與代數(shù)”教學中借助幾何直觀，有利于引導學生探尋數(shù)的意義，掌握算理算法，深入理解定律內涵，發(fā)展數(shù)學思維，從而推動學生深度學習。

【關鍵詞】幾何直觀;數(shù)與代數(shù);深度學習

【基金項目】本文系福建省中青年教師教育科研項目（基礎教育研究專項）立項課題“小學數(shù)學代數(shù)歸納經(jīng)驗教學策略研究”（立項編號：JSZJ20035）的階段性研究成果。

作者簡介：李燕妮（1990—），女，福建省廈門市海滄區(qū)第二實驗小學。

幾何直觀是小學數(shù)學教學中的核心概念，在進行小學數(shù)學教學時借助幾何直觀，能夠將復雜的數(shù)學問題變得直觀、形象，這有助于學生理解知識本質，進行深度學習，發(fā)展數(shù)學思維。

一、借助幾何直觀，探尋數(shù)的意義

“數(shù)”的概念是數(shù)學知識的重要組成部分，借助幾何直觀可以使這一抽象枯燥的概念變得具體、形象[1]。數(shù)軸是直觀理解數(shù)的概念的一種有效手段，借助數(shù)軸學生可以把抽象的數(shù)與具體的點建立對應關系，深化對數(shù)的概念的理解，從而能深入探尋數(shù)的意義。這一教學方式在小學階段的數(shù)學課堂上非常有效，因為小學生本身的邏輯思維能力并不強，他們在學習新的知識時往往只能看到事物的表象，倘若教師能夠依據(jù)這一情況為學生安排相應的教學活動，以直觀的方式帶領學生探索數(shù)的意義，那么不僅學生學習和理解難度降低了，學生的思維也能得到更加有效的成長。

筆者在教授“分數(shù)的意義”時，就利用了數(shù)軸啟示學生思考數(shù)的概念。

【教學實錄節(jié)選】

師：分數(shù)也可以用直線上的點來表示。（出示圖1）

師：如果這個點表示的是0，另一個點是1，那么2的位置在哪里？

生：把0到1這條線段看成1個單位長度，從點1往后面再量一個單位長度，所在點就是2的位置。

師：你能找到、這兩個數(shù)的位置嗎？怎么找到的？

生上臺借助數(shù)軸，找到、的位置，并說明理由。（如圖2）

師追問：關于這個點你有什么想法？

生：這個點既可以用來表示，也可以用來表示，但這兩個分數(shù)的意義不一樣。

可見，幾何直觀形象、生動，借助幾何直觀認識數(shù)既符合小學生的認知特點，又有利于激發(fā)學生的探究欲望，在開展這類直觀、具體的教學時，教師既能以相對輕松的狀態(tài)引導學生探索數(shù)學奧秘，又能夠以更加直接的方法降低小學階段學生的整體學習難度。在幾何直觀的幫助下，學生對數(shù)的認識更加清晰、明朗，對知識的學習也更加深入[2]。

二、借助幾何直觀，連接算理算法

在進行分數(shù)運算教學時，教師經(jīng)常會遇到這樣的情況：學生雖然知道如何進行分數(shù)的四則運算，但是對于其中的算理卻不是很明白。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因，就是學生只注重掌握算法，對分數(shù)運算的算理理解得不夠透徹。要解決這一問題，教師可以在計算教學中借助幾何直觀，把抽象的算理直觀表示出來，使學生清晰地理解算理與算法的內在聯(lián)系和區(qū)別。這樣的教學方法不僅可以幫助小學生更好地掌握算理和算法，同時有利于提升小學階段數(shù)學課堂的整體教學效率，有利于教師優(yōu)化教學工作。

如教授“異分母分數(shù)加減法”時，筆者根據(jù)幾何直觀，開發(fā)了“折一折、畫一畫”教學活動，以幫助學生理解分數(shù)加減法的算理。為了使學生理解分母之間存在倍數(shù)關系的異分母分數(shù)計算，筆者利用了折

紙，先折出這張紙的，再折出這張紙的（如圖3），然后將其展示給學生。如此，學生就能夠發(fā)現(xiàn)，可以將變成，所以+=。在這樣的教學過程中，學生自然能夠更加有效地掌握分數(shù)加減法的算理。

又如，在教授“分數(shù)乘法”時，為了讓學生明確分數(shù)與分數(shù)相乘的意義，筆者再次利用了折紙的方法。筆者先拿出一張長方形紙，然后向學生提問：“同學們，面對×這樣的算式，我們該怎么折紙才能確保從圖中讀出結果呢？”學生在問題的引導下產(chǎn)生思維碰撞，又經(jīng)過自己動手折疊，發(fā)現(xiàn)從不同的方向折紙，可以在兩個分數(shù)之間建立起聯(lián)系。于是筆者照著學生的思路，將一張長方形的紙（如圖4），豎向折出4份，將其中的3份涂上顏色，這樣就得到了。然后再重新將紙橫向折出4份，取其中的1份，將其與上述涂色位置重合的部分畫上斜線。通過折痕，學生能發(fā)現(xiàn)，這張紙被平均分成了16小份，每小份就是總數(shù)的。再結合斜線痕跡，學生就能明白的正好包含3小份，所以×的結果是。

小學階段的學生往往容易被各種有趣的事物所吸引，在面對相對枯燥的數(shù)學計算學習時，學生的積極性會相對低一些，但是在幾何直觀的輔助下，與算理和算法相關的數(shù)學知識變得有趣起來，學生在進行具體學習的時候自然會更加地投入和主動。如此，學生既能夠理清算理、提升運算能力，又能夠發(fā)展利用幾何直觀分析、解決問題的能力。

三、借助幾何直觀，深化定律內涵

小學數(shù)學的教學內容中，有很多探索規(guī)律的部分，掌握好這些規(guī)律對于小學生個人的數(shù)學綜合素質提升也是非常有好處的。但是在實際的小學教學過程中，學生對于各種規(guī)律的掌握和運用并不太好[3]。要幫助學生科學掌握和運用各種數(shù)學規(guī)律，教師同樣可以選擇結合幾何直觀進行教學。

乘法分配律是小學生特別容易產(chǎn)生理解錯誤的一種運算律，教學時教師可以借助幾何直觀，從學生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，將文字轉化為圖形，讓學生通過觀察圖形理解問題，并讓學生在圖上畫一畫、圈一圈，初步感知乘法分配律。教授乘法分配律時，筆者以采購六一兒童節(jié)禮品為教學情境導入新課，隨后提出問題讓學生幫忙解決。

【教學實錄節(jié)選】

師：老師想在教室掛3排燈籠，每排由4個黃色燈籠、5個紅色燈籠組成，同學們覺得老師一共要買幾個燈籠呢？大家能擺一擺、畫一畫、圈一圈，再說說自己的想法嗎？

教師引導學生動手用學具擺一擺后，學生紛紛展示了自己的成果，并給出了兩種計算燈籠數(shù)量的方法（如圖5）。方法一是分別求出黃色燈籠和紅色燈籠的個數(shù)再相加;方法二是先求單排有多少個燈籠，再求3排一共有多少個。

借助直觀的擺一擺、畫一畫、圈一圈，學生很容易發(fā)現(xiàn)3×4+3×5和（4+5）×3這兩個算式的結果是相等的，殊途同歸，都能準確求出燈籠的總數(shù)。這樣，學生自然也就直觀地理解了乘法分配律。

“數(shù)與代數(shù)”中的運算定律具有抽象度高、邏輯性強的特點，借助幾何直觀可以把抽象的知識直觀化，有助于學生理解并探究數(shù)學知識，能夠促進學生的深度學習。當小學生在幾何直觀的幫助下充分理解相關的數(shù)學規(guī)律之后，他們對于這些數(shù)學規(guī)律的運用會慢慢熟練起來，在嘗試解決數(shù)學問題的時候，學生的思維也會更加靈活多變，這有助于他們自身數(shù)學綜合能力的不斷提高。

四、借助幾何直觀，簡化晦澀問題

有些數(shù)學問題相對晦澀難懂，教師可以利用幾何直觀展示這些問題中的復雜數(shù)量關系，幫助學生理清解題的思路。在教學時，教師可以鼓勵學生借助畫圖，把數(shù)量關系轉化為圖示，幫助學生理解難題，提高學生解決問題的能力，促使學生進行深度學習，并不斷提升小學階段數(shù)學課堂的綜合水平，讓小學生能夠在更加優(yōu)質的數(shù)學課堂上實現(xiàn)個人成長。

如教授“解決問題（喝牛奶）”時，筆者結合分數(shù)的意義，利用幾何直觀，轉化例題情景，幫助學生找到解決問題的方法。

【教學實錄節(jié)選】

師：同學們，你們喜歡喝牛奶嗎？這里有一道關于喝牛奶的題目。

引導學生閱讀題目。

師：看起來這道題有些復雜啊，大家要不要試試用圖示表現(xiàn)“第一次喝了二分之一杯純牛奶，第二次喝了二分之一杯兌水牛奶”的過程呢？

生一展示了自己繪制的圖示（如圖6），并說明了自己的想法：原本有一杯牛奶，先喝了半杯后又加滿了水，可以得到此時牛奶是二分之一杯，水也是二分之一杯。第二次喝半杯時，喝掉的部分牛奶占一半，水占一半，也就是各占四分之一杯。由此可得，兩次一共喝了四分之三杯牛奶，四分之一杯水。

生二也展示了自己繪制的圖示（如圖7），然后說明自己圖示的不同之處：我覺得可以把水和牛奶分開看，把它們分開表示可以更加直觀地看出喝了四分之三杯牛奶，四分之一杯水。

師：生一、生二的圖示都很棒，請大家給他們鼓掌！老師這里其實還有一種圖示（教師出示圖8），同樣是將水和牛奶分開畫，雖然和生二的畫法不同，但是所表示的意思相同，相信大家也能直觀看出喝了多少奶和水。

由上述教學案例可以看出，借助幾何直觀來嘗試解答數(shù)學問題，對小學階段的學生來說是一種非常好的鍛煉，在練習將圖形和問題結合起來的時候，學生對于幾何直觀的理解會更加透徹，對于具體數(shù)學問題的思考也會更加全面，這些嘗試和思考將幫助小學生提升自身解決數(shù)學問題的綜合能力。

結語

總而言之，在小學數(shù)學教學中應用幾何直觀的作用十分顯著，借助幾何直觀來解決小學數(shù)學教學中的問題的嘗試如今也變得越來越常見。顯然，將利用幾何直觀學習數(shù)學知識的思路傳遞給學生是十分重要的。在小學數(shù)學教育中，教師不僅要引導學生掌握各種基礎的數(shù)學知識，還應當引導學生去理解數(shù)學的內在思想，讓學生明白，看待問題，不能只看表面，要剝離表面，觸及內核。

【參考文獻】

[1]宋健泳.小學生幾何直觀能力發(fā)展的幾個階段[J].小學數(shù)學教師，2015（03）：66-69，75.

[2]蔡宏圣.幾何直觀：小學數(shù)學教學的視角[J].課程·教材·教法，2013，33（05）：109-115.

[3]孔凡哲，史寧中.關于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式：對《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的一點認識[J].課程·教材·教法，2012，32（07）：92-97.