高中數(shù)學(xué)新教材函數(shù)建模內(nèi)容比較研究

何琴 郭金海

摘要：湘教版、人教A版和北師大版高中數(shù)學(xué)教材是我國諸多學(xué)校都在使用的教材，這三本教材都注重高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)理念.基于對教材中函數(shù)建模內(nèi)容的比較，主要從例習(xí)題數(shù)量與模型類型、例習(xí)題的功能、數(shù)學(xué)軟件的使用三個方面展開研究，探索函數(shù)建模在教材中更好的呈現(xiàn)方式.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)教材

1 數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教材中的意義

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將“數(shù)學(xué)建?！绷腥霐?shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一.數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)[1].高中數(shù)學(xué)建模活動通常以小組為單位進行，有利于培養(yǎng)學(xué)生的團隊意識和分工協(xié)作精神[2].數(shù)學(xué)建?？梢岳藗冊谛撵`上與數(shù)學(xué)的距離，促使人們在應(yīng)用過程中更好地品味數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)和熱愛數(shù)學(xué)，啟迪人們的數(shù)學(xué)心智，促進優(yōu)秀數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)[3].所以，數(shù)學(xué)建模應(yīng)該是富有創(chuàng)新性的活動，能激發(fā)起學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

2 教材比較

2.1 數(shù)學(xué)建模例習(xí)題數(shù)量與模型類型比較分析

湘教版、人教A版和北師大版

三套教材的編寫側(cè)重點不同，對數(shù)學(xué)建模內(nèi)容設(shè)計重視程度各有千秋.湘教版必修（第一冊）有關(guān)函數(shù)建模的主要內(nèi)容分布在教材的第四、五章，就篇幅而言占17頁，共計24道題;“湘教版的亮點在于涉及應(yīng)用的案例整體更具情境性”[4].而人教A版有關(guān)函數(shù)建模的主要內(nèi)容分布在教材第三、四、五章的函數(shù)應(yīng)用中，占29頁（包括數(shù)學(xué)建模專題），共計31道題;從篇幅和數(shù)量來看，人教A版的題目數(shù)量最多，但更多的題目是為了讓學(xué)生熟悉問題的求解，而對觀察實際情境、如何建立函數(shù)模型的思考是欠缺的，可見教材對例習(xí)題的質(zhì)量方面還有待提高.北師大版在題目數(shù)量上相對薄弱，主要分布在第五章和第八章（數(shù)學(xué)建模活動專題），占23頁，共計15道題;題目設(shè)置比較開放、綜合性強，給學(xué)生更大的思考空間，著重培養(yǎng)學(xué)生觀察實際生活情景、運用自己的方法解決問題的能力;但在學(xué)生學(xué)完必修一基本內(nèi)容之后開展數(shù)學(xué)建?；顒?，將內(nèi)容編排在最后一章節(jié)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)完函數(shù)的基本內(nèi)容，會忽視數(shù)學(xué)建模的重要性.

三套教材都對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及三角函數(shù)刻畫了一系列模型，涉及人口調(diào)查、金融投資、放射性物質(zhì)的衰減等較多現(xiàn)實生活中或者學(xué)科

交叉的內(nèi)容，讓學(xué)生更能感受到數(shù)學(xué)既來源于生活，又能解決其實際問題.其中湘教版和北師大版對冪函數(shù)模型應(yīng)用次數(shù)最多，而人教A版應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型最為頻繁.如果教材能夠讓學(xué)生對所學(xué)的函數(shù)模型都有接觸使用，了解各個函數(shù)模型在日常生活中的作用，遇到問題能夠“對癥下藥”，不只側(cè)重某一方面，而是接觸更多原生態(tài)真實模型，才能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)建模的魅力.

2.2 建模題目功能的比較分析

根據(jù)分析可以發(fā)現(xiàn)，湘教版在學(xué)完指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)后，通過幾種函數(shù)增長快慢的比較，把不同類型的函數(shù)比喻成不同的人賽跑，如函數(shù)開運動會、函數(shù)賽跑等，語言幽默，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性.不同類型的模型之間進行比較，找出跑得最快的函數(shù)，這樣的安排能讓學(xué)生更好地掌握不同類型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)及其特點.

湘教版在“形形色色的函數(shù)模型”例3中，1-4月的產(chǎn)量分別為1萬臺，1.2萬臺，1.3萬臺，1.37萬臺.公司暫時不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人，為了保持供給和需求平衡，需要估測以后幾個月的產(chǎn)量.

用“超級畫板”進行四個函數(shù)模擬（見圖1：一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)），估算出無人機幾個月后的產(chǎn)量.一次函數(shù)模擬在不增加工人和設(shè)備的條件下，產(chǎn)量會每月增加1 000臺，這是不太可能的;二次函數(shù)模擬四月份的產(chǎn)量比實際產(chǎn)量少了700臺，8月之后產(chǎn)量為負(fù)數(shù)，很明顯不符合實際情況;利用冪函數(shù)模擬時，三月的產(chǎn)量比實際多了500臺，四月的產(chǎn)量比實際多了1 100臺，與實際產(chǎn)量差距較大;而在指數(shù)函數(shù)模擬過程中，四月的產(chǎn)量為1.35萬臺，這與第四個月的實際產(chǎn)量比較接近.

選擇函數(shù)模型時，

不僅要考慮到生產(chǎn)的實際情況，同時還要使誤差最小，經(jīng)過篩選，選出指數(shù)函數(shù)為比較接近客觀實際的模型.其中在利用冪函數(shù)模擬時，將數(shù)據(jù)理想化，簡化了建立函數(shù)模型的步驟，雖然便于求解，但是不利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)建模思維.

人教A版在函數(shù)的應(yīng)用中呈現(xiàn)了兩道分段函數(shù)例題，研究了生活中的稅收問題和時間與路程問題，對后面的人口模型、放射性物質(zhì)的衰減模型、投資回報模型以及獎勵模型的學(xué)習(xí)起到了拋磚引玉的作用，由淺入深，逐步推進.在數(shù)學(xué)建模專題中，“85 ℃的綠茶降至60 ℃時飲用，口感最佳”，為解決“剛泡好的茶水在室溫25 ℃下達(dá)到最佳口感的時間”問題，以小組為單位，首先利用秒表、溫度計等工具收集數(shù)據(jù)，然后整理數(shù)據(jù)畫出散點圖，考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，選取指數(shù)函數(shù)來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規(guī)律，最后檢驗這個函數(shù)模型與實際數(shù)據(jù)基本吻合，說明剛泡好的茶水在室溫25 ℃下達(dá)到最佳口感大約需要7 min.在學(xué)生結(jié)束活動后，教材通過數(shù)學(xué)建模的框圖（如圖2）概括了活動過程，并給出了不同的選題供學(xué)生參考，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián).類似于專題這樣完整的數(shù)學(xué)建模過程在教材中非常少見，更多的題目則是明確地告訴學(xué)生應(yīng)該用哪個函數(shù)模型，學(xué)生在練習(xí)的過程中，什么題型套用什么模型能迅速作出判斷，這種問題更像是“披著數(shù)學(xué)建模頭紗的應(yīng)用題”，雖然為解題節(jié)省了大量的時間，但會讓學(xué)生缺失提出問題以及自行建立數(shù)學(xué)模型的體驗，很難提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

北師大版教材第五章對函數(shù)問題進行探究，其中實際問題的函數(shù)模型分為兩部分：實際問題的函數(shù)刻畫和利用函數(shù)模型解決實際問題.案例充分展示了建模的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的建模思維.另外，完成一系列的建模過程后，結(jié)尾處總結(jié)了函數(shù)模型，同時在后面的習(xí)題中鼓勵學(xué)生通過獨立思考或查閱資料，自行給出一般情況下的函數(shù)模型.不僅可以檢測學(xué)生知識點的掌握情況，同時也可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的興趣.在數(shù)學(xué)建?；顒訉ｎ}中，以數(shù)學(xué)史——歐拉的七橋問題作為導(dǎo)入走進數(shù)學(xué)建模，通過哥尼斯堡七橋問題的解決展示了數(shù)學(xué)建模的過程和意義.為了更好地讓學(xué)生體驗建模的過程，教材以綠燈亮?xí)r（每次亮綠燈的時長為15 s）通過十字路口汽車的數(shù)量為例，經(jīng)過收集數(shù)據(jù)對相關(guān)因素的分析，提出幾個有利于建立模型、基本符合實際情況的假設(shè)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題建立相關(guān)模型求解，最后到十字路口實地調(diào)查，對結(jié)論進行檢驗，在結(jié)尾處總結(jié)了數(shù)學(xué)建模的步驟（如圖3），并摘錄了一些關(guān)于自然、社會和生活方面的問題供學(xué)生參考.雖然北師大版的函數(shù)建模內(nèi)容與實際生活聯(lián)系緊密，但缺乏主線知識與數(shù)學(xué)建模之間的聯(lián)系.若一道題目涉及多種函數(shù)模型，則可以提高題目效用，像湘教版那樣對不同的函數(shù)模型進行模擬，學(xué)生不僅能夠比較不同函數(shù)之間的特點，更能提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

從題目功能來看，教材都能很好地通過題目示范來引領(lǐng)學(xué)生提升建模能力.湘教版?zhèn)戎赜诤喕Ｐ筒襟E，但不利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)建模思維.人教版更側(cè)重于提示學(xué)生選用哪種數(shù)學(xué)模型，卻很難達(dá)到培養(yǎng)獨立建立模型能力.北師大版則重視示范，綜合性強，培養(yǎng)思維育人能力，能幫助學(xué)生深刻理解建模，但與主線知識聯(lián)系不太緊密.

2.3 數(shù)學(xué)軟件的使用比較分析

依據(jù)實際問題建立模型后，數(shù)學(xué)軟件的輔助，一定能起到錦上添花的效果.湘教版涉及了四個數(shù)學(xué)實驗板塊，介紹了如何用“超級畫板”畫函數(shù)圖象并插入相關(guān)表格，結(jié)合“超級畫板”進行函數(shù)模擬從而解決實際問題.人教A版和北師大版的信息技術(shù)應(yīng)用欄，也都利用了數(shù)學(xué)軟件《GeoGebra》繪制函數(shù)的圖象和表格.尤其是北師大版教材在閱讀材料部分專門介紹了《GeoGebra》，另外在第四章設(shè)置了“信息技術(shù)支持的函數(shù)研究”一節(jié)，以畫對數(shù)函數(shù)圖象為基礎(chǔ)，研究其單調(diào)性以及變化規(guī)律，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模提供了良好的技術(shù)支持.由于在該節(jié)內(nèi)容中沒有具體的數(shù)值，學(xué)生操作起來可能比較困難.雖然北師大版教材花費了大量篇幅介紹了數(shù)學(xué)軟件的相關(guān)應(yīng)用，但在函數(shù)建模的過程中，并沒有借助《GeoGebra》軟件對函數(shù)進行模擬，因此，學(xué)生既體驗不到數(shù)學(xué)軟件的方便之處，又不能激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的興趣.與北師大版類似，人教A版在第四章結(jié)束后設(shè)置了建立函數(shù)模型解決實際問題的專題，用“茶水水溫問題”來演示數(shù)學(xué)建模過程，如果能夠利用信息技術(shù)，通過函數(shù)擬合的方法選擇合適的函數(shù)模型，會大大地提高數(shù)學(xué)建模教學(xué)的效率，課堂教學(xué)氛圍也會更加濃厚，這是傳統(tǒng)的畫散點圖很難做到的.函數(shù)模型應(yīng)用中的資金投資模型雖然運用了數(shù)學(xué)軟件進行函數(shù)模擬比較，但這個例子缺乏真實情境，不利于學(xué)生收集數(shù)據(jù)以及提出問題.相比于這兩個版本，湘教版也同樣只有一道例題在進行函數(shù)建模時借助了信息技術(shù)模擬.

通過比較發(fā)現(xiàn)，這三個版本教材的數(shù)學(xué)軟件在函數(shù)模型中使用頻率并不高，盡管有篇幅介紹數(shù)學(xué)軟件的便利性和重要性，卻沒有將其應(yīng)用到模型中.如果教材能夠充分利用數(shù)學(xué)軟件幫助學(xué)生理解函數(shù)模型，則會對學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)建模思想起到事半功倍的效果.比如，將數(shù)據(jù)用計算機繪制成圖象分析出合適的函數(shù)模型，以及根據(jù)實際情況修改模型等.

3 結(jié)論

依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，通過對三個不同版本教材中的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容進行分析，能夠促使教師對教材中建模內(nèi)容的重視，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).建模題目功能的介紹幫助教師向?qū)W生傳達(dá)數(shù)學(xué)的價值，將生活與數(shù)學(xué)建立聯(lián)系，注重數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用.數(shù)學(xué)軟件的使用不僅讓圖象更加直觀形象地展示在學(xué)生面前，還能引導(dǎo)學(xué)生積極地參與到數(shù)學(xué)建模過程中去，提高學(xué)生的動手操作能力，使學(xué)生對數(shù)學(xué)有了新的認(rèn)識.

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 王志俊，韓苗，邵虎，等.高中數(shù)學(xué)建模能力訓(xùn)練——案例教學(xué)中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)通報，2019（9）：38-42.

[3] 呂廣財，陳艷偉.淺析高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)[J].大連教育學(xué)院學(xué)報，2021（2）：45-46.

[4] 董玉成，徐斌艷.我國高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)建模的處理——以人教版、湘教版、蘇教版和北師大版教材為例[J].課程.教材.教法，2014（12）：51-56.