對定點運動剛體歐拉角的獨立性及坐標變換矩陣的分析

張 媛 王士敏 王 琪

(北京航空航天大學,北京 100083)

描述剛體定點運動姿態(tài)的歐拉角作為一組廣義坐標是獨立的,即,任意一個歐拉角的變化不會引起其余兩個的變化,并且與歐拉角相對應的轉動也與順序無關,這與通常情況下定點運動剛體的有限位移與轉動順序有關并不矛盾,或者說歐拉角對應的轉動與順序無關是一個特例。在教學過程中,導出隨體坐標系到固定坐標系的變換矩陣時,往往又是規(guī)定了先進動再章動最后自轉的順序,很容易引起學生困惑：既然歐拉角的變化與順序無關,為何這時又要規(guī)定順序？這里,對上述問題說明以下兩點：(1)歐拉角作為一組廣義坐標,其與變化順序無關；(2) 將有限位移分解為三次定軸轉動建立變換矩陣時,在可能的轉動順序中,存在一個特定的順序,使得變換關系最為簡單,即,按其他順序也可以導出相同的最終變換矩陣,只是中間變換矩陣相對復雜。

1 歐拉角的獨立性

設固定坐標軸的三個單位向量為(i,j,k),定點運動剛體隨體坐標軸的三個單位向量為(i′,j′,k′),定義n=k×k′,即所謂的節(jié)線方向。由此即可定義歐拉角：k軸與k′軸之間的夾角為章動角θ,節(jié)線n與i軸之間的夾角為進動角ψ,i′軸與節(jié)線n之間的夾角為自轉角φ,如圖1 所示。

圖1 節(jié)線與歐拉角的定義

從圖1 可以看出,剛體姿態(tài)的變化可以分解為繞k,n和k′三根軸的轉動,不難驗證,剛體繞上述三根軸中的任意一根軸做定軸轉動時,僅有一個歐拉角隨之變化,也就是說歐拉角是獨立的；從一組歐拉角(ψ0, θ0, φ0)到另一組歐拉角(ψ1, θ1, φ1)的有限位移,可以依次繞上述三根軸轉動相應的角度差而實現,且與順序無關。可以這樣來理解,定點運動剛體的有限位移分解為一組定軸轉動時,多種情況下是與轉動順序有關的,但是繞上述三根軸轉動時與順序無關,這也是用歐拉角作為廣義坐標的必要條件。值得注意的是,當自轉軸k′與固定軸k重合時,節(jié)線的方向不確定,這時剛體的運動退化為定軸轉動,轉角為β=ψ+φ,單純從運動學上來看,在此情況下沒有必要將轉角分為進動和自轉,一旦k和k′兩軸分開,節(jié)線自動生成,進動角和自轉角也隨之確定。

2 中間坐標系與變換矩陣

用歐拉角作為廣義坐標表示定點運動剛體上任意一點的位置時,通常需要導出一個從隨體坐標到固定坐標的變換矩陣,導出該變換矩陣時,是按先進動ψ,再章動θ,最后自轉φ的順序進行的,這個“順序”似乎與第1 節(jié)所討論的歐拉角的變化與順序無關相矛盾,下面將說明,這個順序只是為了讓每次定軸轉動的變換矩陣更為簡單,或者說按任何順序都可以導出最終相同的變換矩陣,只是按不同順序,每次轉動所給出的中間變換矩陣的復雜程度不同。

2.1 中間坐標系

為了便于討論和歐拉角相對應的轉動與順序的無關性,以及導出隨體坐標與固定坐標的變換矩陣,這里引入兩個中間坐標系,設Oxyz為固定坐標系,其坐標軸的三個單位向量分別為(i,j,k),第一個中間坐標系定義為繞z軸做定軸轉動的坐標系,其三個坐標軸的單位向量分別為(n,k×n,k) 如圖2(a)所示,即該坐標系和固定坐標系有共同的坐標軸z,單位向量n所對應的坐標軸,也稱為節(jié)線,與x的夾角為ψ,即進動角；第二個中間坐標系定義為繞節(jié)線n做定軸轉動的坐標系,其三個坐標軸的單位向量分別為(n,k′×n,k′),如圖2(b) 所示,其中,單位向量k′所對應的坐標軸也稱為自轉軸,它與z軸的夾角為θ,即章動角；最后,定義隨體坐標系,其三個單位向量分別為(i′,j′,k′),如圖2(c) 所示,隨體坐標系繞著k′所對應的坐標軸,也稱為自轉軸作定軸轉動,其中,i′與節(jié)線n的夾角為φ,也稱為自轉角。

圖2 中間坐標系與隨體坐標系

下面將說明,借助上述中間坐標系,從隨體坐標系到固定坐標系的變換矩陣可以由一組簡單的變換矩陣構成。

2.2 利用中間坐標系的變換矩陣

考察 2.1 節(jié)的四個坐標系可以發(fā)現：固定坐標系(i,j,k) 和中間坐標系(n,k×n,k) 之間有共同的坐標軸k；兩個中間坐標系(n,k′×n,k′) 和(n,k×n,k) 之間有共同的坐標軸n；中間坐標系(n,k′×n,k′) 與隨體坐標系(i′,j′,k′) 有共同的坐標軸k′。上述存在共同坐標軸的坐標系之間的變換關系分別如下：

隨體坐標系(i′,j′,k′)與中間坐標系(n,k′×n,k′)的變換關系,當隨體坐標系上的一點,設其矢徑為r′,隨(i′,j′,k′) 繞k′軸轉過φ角后,該點在(n,k′×n,k′) 坐標系下的矢徑rk′n為

其中

兩個中間坐標系(n,k×n,k) 和(n,k′×n,k′)之間的變換關系,當坐標系(n,k′×n,k′)上的一點,設其矢徑為rk′n,隨(n,k′×n,k′)繞n軸轉過θ角后,該點在(n,k×n,k) 坐標系下的矢徑rkn為

其中

中間坐標系(n,k×n,k)和固定坐標系(i,j,k)之間變換關系,當坐標系(n,k×n,k)上的一點,設其矢徑為rkn,隨(n,k×n,k) 繞z軸轉過ψ角后,該點在坐標系(i,j,k) 下的矢徑r為

其中

式(2),式(4),式(6) 給出的變換矩陣,各對應一個歐拉角的變化,或者說,各對應一個坐標系變換矩陣,分別是隨體坐標系(i′,j′,k′) 到中間坐標系(n,k′×n,k′)、兩個中間坐標系之間、中間坐標系(n,k×n,k) 到固定坐標系。對于給定的歐拉角,欲求剛體上一點的隨體坐標與固定坐標的變換關系,可以利用上述中間變換,按“順序” 將其隨體坐標逐次“過渡” 到固定坐標,即,利用式(1) 將隨體坐標過渡到(n,k′×n,k′) 坐標,再由式(3) 過渡到(n,k×n,k)坐標,最后由式(5)過渡到固定坐標系,得到

上述逐次代入的“順序”是由四個坐標系之間的相對位置關系決定的,或者說,這四個坐標系是由三個“共同坐標軸” 按“順序” 串聯起來的,由此決定了上述代入順序。這樣做的目的是為了利用三次簡單的中間變換,得到隨體坐標到固定坐標系之間的變換矩陣A(ψ)A(θ)A(φ)。同時,利用中間坐標系,由式(2),式(4),式(6)可以給出上述四個坐標系中任意兩個坐標系之間的變換關系,例如,隨體坐標系到坐標系(n,k×n,k)間的變換矩陣是A(θ)A(φ),中間坐標系(n,k′×n,k′)到固定坐標系的變換矩陣則是A(ψ)A(θ)。

2.3 固定坐標系下的定軸轉動變換

將有限位移分解為定軸轉動時,不引入中間坐標系,也可以在固定坐標系下直接給出每次轉動以及最終位置的變換關系。例如：剛體從初始歐拉角(0,0,0)到給定歐拉角(ψ,θ,0)的有限位移,可以分解為兩次定軸轉動,如圖3 所示,下面我們在固定坐標系下,按兩種方案分別將剛體有限位移分解為兩次定軸轉動,并求出剛體上的一點M在每次轉動后的位置變化。第一種方式是從初始位置,如圖3(a)所示,令剛體繞x軸轉動角度θ,如圖3(b)所示,然后再繞z軸轉動角度ψ,如圖3(c) 所示；第二種則是先繞z轉動角度ψ,如圖3(e) 所示,再繞隨體軸n轉動角度θ,如圖3(f)所示,其中n軸在xy平面內,與x軸夾角為ψ。下面在固定坐標系下分析每次轉動后M點的位置變化。

圖3 剛體有限位移按不同方式分解為定軸轉動

首先可以看出,兩種轉動方式給出的最終位置相同。第一種情況,設M點在固定坐標系下的初始、第一次和第二次轉動后的位置向量分別為ra,rb和rc,三個位置向量之間的變換關系為：rb=B(θ)ra,rc=B(ψ)rb,將前面的公式代入后面可得

其中,式(8) 中的兩個矩陣分別與式(4),式(6) 右端的矩陣相同,即,B(θ) =A(θ),B(ψ) =A(ψ),也是簡單的變換矩陣。

第二種情況,由于M點初始和最終的位置向量和第一種情況相同,分別為ra和rc,設第一次轉動后在固定坐標系下的位置向量為rd,有

其中,C(ψ)的表達式仍然與式(6)右端給出的矩陣相同,C(ψ) =A(ψ)。但是,當繞n軸做第二次轉動時,M點的三個坐標都發(fā)生變化,同時,由于n軸的位置與ψ有關,變換矩陣也必將與ψ有關。由于在兩種情況下,M點都是由初始位置ra出發(fā),最終達到同樣的位置rc,因此,可以利用式(8),式(9)來導出rc和rd之間的變換矩陣,求式(9) 的逆有ra=C?1(ψ)rd,將該式代入式(8) 可得

從式(10) 不難看出其中的變換矩陣的復雜程度。

利用式(7) 也可以直接導出固定坐標系下的rc和rd之間的變換矩陣,令歐拉角為(ψ,0,0), 由于初始位置隨體坐標系與固定坐標系重合ra=r′,有rd=C(ψ)ra,或ra=A(ψ)?1rd,再令歐拉角為(ψ,θ,0) 有rc=A(ψ)A(θ)ra,因此

本節(jié)例子說明,定軸轉動剛體上任意一點的位置變化取決于軸的位置和轉角,同一坐標系下,當轉軸是坐標軸時,兩個坐標系繞著共同坐標軸作相對轉動時,變換關系最為簡單。

3 結論

歐拉角是一組獨立的廣義坐標,如果將定點運動剛體的有限位移分解為繞固定坐標系的z軸、隨體坐標系的自轉軸z′和節(jié)線n=k×k′的定軸轉動,剛體的姿態(tài)變化與轉動順序無關。利用上述三根軸可以構造出兩個中間坐標系,每次轉動都是繞著兩個坐標系的共同坐標軸進行的,因此,每次轉動的變換矩陣都相對簡單。給定歐拉角,確定剛體上某點的隨體坐標與固定坐標的變換矩陣時,需要將三個中間變換矩陣按順序相乘,這個順序是由四個坐標系的位置關系決定的,即,取決于三個“共同坐標軸”串聯起四個坐標系的“順序”,這個“順序”并非是歐拉角變化必須遵循的順序。不引入中間坐標系,也可以導出同樣的隨體坐標與固定坐標的變換矩陣,只是每次轉動的變換關系相對復雜。