身體傾斜與雪板變形
—— 高山滑雪刻滑回轉(zhuǎn)中的力學(xué)1)

萬 超 易凱軍 胡 婧 羅 凱 王 寧

*(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院力學(xué)系,北京 100081)

?(中央廣播電視總臺,北京 100020)

自1936 年被列為冬奧會比賽項(xiàng)目以來,高山滑雪一直吸引著世界各國的眾多運(yùn)動(dòng)愛好者和專業(yè)運(yùn)動(dòng)員參與其中。我國高山滑雪項(xiàng)目的開展較為落后,運(yùn)動(dòng)員與國際先進(jìn)國家的滑雪水平存在較大的差距。但隨著北京冬季奧運(yùn)會的成功舉辦以及冰雪運(yùn)動(dòng)在國內(nèi)的普及和推廣,越來越多的人開始關(guān)注并參與到高山滑雪運(yùn)動(dòng)中來。作為典型的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目,高山滑雪運(yùn)動(dòng)中蘊(yùn)含了豐富的力學(xué)知識,非常適合作為實(shí)際案例用于力學(xué)專業(yè)教育及科普介紹中。

1 高山滑雪的回轉(zhuǎn)動(dòng)作

高山滑雪又叫阿爾卑斯滑雪,起源于歐洲阿爾卑斯山區(qū),人們通過使用滑雪板、滑雪杖等裝備,從一定高度順山勢向下滑行,實(shí)現(xiàn)在山區(qū)雪地上的快速移動(dòng)[1]。目前的高山滑雪冬奧項(xiàng)目主要包括滑降、回轉(zhuǎn)、大回轉(zhuǎn)、超級大回轉(zhuǎn)、全能5 個(gè)小項(xiàng)。其中,回轉(zhuǎn)和大回轉(zhuǎn)屬于技術(shù)項(xiàng)目,要求運(yùn)動(dòng)員在20?～27?的斜坡雪面上以之字形從上而下滑行通過標(biāo)注的數(shù)十個(gè)旗門,在此基礎(chǔ)上來比拼誰用的時(shí)間最短。起點(diǎn)與終點(diǎn)的高度差為120～220 m (回轉(zhuǎn)項(xiàng)目) 和260～400 m(大回轉(zhuǎn)項(xiàng)目),大回轉(zhuǎn)中的旗門數(shù)在30 個(gè)以上,回轉(zhuǎn)中的旗門數(shù)有45～75 個(gè)。因此,運(yùn)動(dòng)員在比賽過程中既要使自己的滑行軌跡盡可能接近直線以減小滑行距離,又要保證較高的滑行速度,還要滿足在旗門間來回穿梭的比賽要求。整個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的完成主要取決于運(yùn)動(dòng)員是否能很好地完成回轉(zhuǎn)動(dòng)作,也就是繞旗門的動(dòng)作。

當(dāng)前常用的高山滑雪回轉(zhuǎn)技術(shù)稱為刻滑(carving),實(shí)現(xiàn)在不明顯降低滑行速度的情況下完成轉(zhuǎn)彎[2-4]。通過觀察高山滑雪運(yùn)動(dòng)員的比賽視頻,可以發(fā)現(xiàn)刻滑回轉(zhuǎn)技術(shù)具有兩個(gè)關(guān)鍵特征：一是身體傾斜,二是雪板變形(如圖1 所示)。目前,研究者們主要從上述兩個(gè)關(guān)鍵特征入手,為刻滑回轉(zhuǎn)技術(shù)在競技項(xiàng)目中的應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)和分析技術(shù)。M¨uller等[4]分析了雪板參數(shù)對刻滑回轉(zhuǎn)效果的影響,建立了雪板板腰、彎曲、立刃等參數(shù)與回轉(zhuǎn)半徑間的關(guān)系。Yoneyama 等[5]研發(fā)了滑雪運(yùn)動(dòng)員下肢力學(xué)測量裝置,對比分析了不同回轉(zhuǎn)技術(shù)中人體關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)特性和受力情況,為運(yùn)動(dòng)員的技術(shù)改進(jìn)提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)支持。陳禮等[6]將人體看成單剛體系統(tǒng),結(jié)合雪面及雪板的約束方程,建立了人體滑雪運(yùn)動(dòng)的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程,用來分析滑雪運(yùn)動(dòng)整個(gè)過程中的動(dòng)力學(xué)特性。張藝佳等[7]設(shè)計(jì)搭建了可穿戴式人體運(yùn)動(dòng)捕捉與姿態(tài)重構(gòu)系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)了對回轉(zhuǎn)動(dòng)作過程中關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)的定量評估,助力運(yùn)動(dòng)水平科學(xué)分析及訓(xùn)練輔助指導(dǎo)。然而,由于人體運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性和回轉(zhuǎn)動(dòng)作的技巧性,現(xiàn)有研究較為復(fù)雜,使其不適于直接納入到力學(xué)課程的教學(xué)以及面向普通學(xué)生的科普介紹中,需要進(jìn)一步圍繞著關(guān)鍵知識點(diǎn)進(jìn)行力學(xué)簡化,既使學(xué)生能建立起實(shí)際情況與力學(xué)理論間的有效關(guān)聯(lián)、促進(jìn)對所學(xué)知識的吸收掌握,又能提升大眾創(chuàng)新求真、知行合一的科學(xué)素養(yǎng)和崇尚科學(xué)、熱愛科學(xué)的正向風(fēng)氣。下面,我們分別從理論力學(xué)和材料力學(xué)理論出發(fā),對運(yùn)動(dòng)員身體傾斜和滑雪板的彎曲變形進(jìn)行力學(xué)分析和實(shí)驗(yàn)。

圖1 高山滑雪運(yùn)動(dòng)員的刻滑回轉(zhuǎn)動(dòng)作示意圖

2 身體傾斜—— 理論力學(xué)實(shí)例

首先,對高山滑雪的回轉(zhuǎn)過程進(jìn)行力學(xué)簡化,做如下假設(shè)：第一,當(dāng)對運(yùn)動(dòng)員回轉(zhuǎn)動(dòng)作的某一瞬時(shí)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí),可將運(yùn)動(dòng)員簡化為其冠狀面內(nèi)的二維剛體模型；第二,在回轉(zhuǎn)過程中的某一時(shí)刻下,運(yùn)動(dòng)員的各體段姿態(tài)穩(wěn)定,人體可視為一個(gè)剛體；第三,由于雪板、雪鞋和人體足踝部之間的穩(wěn)定連接,雪板、雪鞋和人體下肢間無相對移動(dòng),此時(shí)雪板的立刃角度(即雪板與雪面間的夾角)與人體下肢的傾斜角度(約等于人體剛體軸線與雪面間的夾角)互為余角；第四,雪板與雪面間的摩擦力和回轉(zhuǎn)過程中的風(fēng)阻忽略不計(jì)；第五,由于回轉(zhuǎn)的半徑(十米量級) 遠(yuǎn)大于人體身高,人體質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑等同于雪板的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑。

基于上述假設(shè),建立高山滑雪運(yùn)動(dòng)員刻滑回轉(zhuǎn)動(dòng)作的單剛體動(dòng)力學(xué)模型,采用動(dòng)力學(xué)中常用的達(dá)朗貝爾原理進(jìn)行分析(如圖2 所示)。雪板嵌入到雪面內(nèi),點(diǎn)A為雪板最低點(diǎn),點(diǎn)B為雪板在雪地表面的接觸點(diǎn),角β為雪板立刃角度。在點(diǎn)A處建立二維直角坐標(biāo)系xAy,點(diǎn)C為運(yùn)動(dòng)員人體的質(zhì)心,其坐標(biāo)為(xC,yC)。軸O為回轉(zhuǎn)軸,運(yùn)動(dòng)員質(zhì)心與軸O的距離為ρ。對該剛體進(jìn)行達(dá)朗貝爾慣性力系的簡化,將質(zhì)點(diǎn)系的慣性力轉(zhuǎn)化為質(zhì)心C處的慣性力系主矢FIC和主矩MIC,具體為[8]

圖2 高山滑雪運(yùn)動(dòng)員冠狀面的刻滑回轉(zhuǎn)單剛體動(dòng)力學(xué)模型

其中,m為運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量,JC為運(yùn)動(dòng)員對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,vc為運(yùn)動(dòng)員質(zhì)心的速度,α為回轉(zhuǎn)的切向角加速度,FIC指向離心方向。由于MIC方向與冠狀面垂直,求解冠狀面內(nèi)平衡方程時(shí)可忽略。此外,該剛體受到的外力還包括質(zhì)心處的重力G,雪面對雪板的支持力(包括垂直于雪板底面的等效支持力FN1和垂直于雪板側(cè)面的等效支持力FN2)。最后,列寫該剛體在點(diǎn)A的力矩平衡方程為

其中d為支持力FN1作用點(diǎn)與點(diǎn)A的距離。由于雪板嵌入雪面的長度(幾厘米)遠(yuǎn)小于人體重心的位置參數(shù)(xC,yC),該項(xiàng)可忽略,此時(shí)平衡方程簡化為

將式(1) 及重力表達(dá)式代入式(4) 可得

計(jì)算立刃角度β為arc tan[v2c/(ρg)]。進(jìn)一步,沿FN1方向列寫力平衡方程為

求解可得隨后,取雪板為研究對象,由受力平衡可得人體足部對雪板的施加載荷FL=FN1=mg/cosβ。

設(shè)回轉(zhuǎn)半徑分別為10 m 和15 m,通過式(5)可得出立刃角度與回轉(zhuǎn)速度間的定量關(guān)系(如圖3(a)所示)?？梢园l(fā)現(xiàn),無論回轉(zhuǎn)半徑多大,當(dāng)回轉(zhuǎn)速度增大時(shí),運(yùn)動(dòng)員維持身體平衡所需的立刃角度越大。也就是說,只有通過大角度傾斜身體獲得較大的立刃角度,才能保證運(yùn)動(dòng)員以較高的速度實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)彎。因此,在實(shí)際比賽中,我們往往能看到運(yùn)動(dòng)員以幾乎完全貼地的姿勢進(jìn)行回轉(zhuǎn)。此外,通過式(6)還可得出立刃角度與雪板受力之間的關(guān)系(如圖3(b) 所示)。結(jié)果表明,雪板受力與立刃角度有關(guān),而與回轉(zhuǎn)速度無關(guān)；當(dāng)立刃角度增大時(shí),雪板所受的法向支持力會快速增大。當(dāng)雪板立刃為70?時(shí),雪板的受力增大到2.9 倍體重,單側(cè)雪板將承受1.45 倍體重；當(dāng)雪板立刃增大到80?時(shí),雪板的受力增大到5.8 倍體重,單側(cè)雪板將承受2.9 倍體重。真實(shí)情況下,雪板在該載荷水平下會出現(xiàn)明顯的彎曲變形,下面我們通過材料力學(xué)理論來進(jìn)行分析。

圖3 高山滑雪刻滑回轉(zhuǎn)動(dòng)作的運(yùn)動(dòng)特性對比圖(續(xù))

圖3 高山滑雪刻滑回轉(zhuǎn)動(dòng)作的運(yùn)動(dòng)特性對比圖

3 雪板變形—— 材料力學(xué)實(shí)例

假設(shè)雪板為截面大小不變的直梁,忽略雪板前端的上翹以及雪板板腰處的側(cè)切,并假設(shè)雪板材料為連續(xù)均勻的各向同性線彈性材料?；谏鲜黾僭O(shè),將雪面對雪板的支持力等效成雪板前后兩端的支撐鉸鏈,足部施加在雪板上的載荷為集中力FL(作用點(diǎn)為人體質(zhì)心位置在雪板上的投影),使用材料力學(xué)里的彎曲變形理論求解雪板的彎曲變形(如圖4)。已知對跨度遠(yuǎn)大于截面高度的梁,剪力對彎曲變形的影響可忽略。此時(shí),梁所受的彎矩M與變形曲率ρbeam間的關(guān)系[9]為

圖4 雪板彎曲變形的等效力學(xué)模型

其中E為梁的彈性模量,I為橫截面對中間軸的慣性積。為簡化分析,將式(7)進(jìn)行線性化得到撓曲線ω=f(x) 的近似微分方程為

并用積分法求解該邊界條件下雪板的撓曲線方程和前端截面轉(zhuǎn)角分別為

設(shè)梁的跨度l等于雪板長度(160 cm),彈性模量E為10 GPa,慣性積I為8 cm4。通過式(9) 得到不同載荷大小在不同位置加載時(shí)的雪板前緣彎曲轉(zhuǎn)角,如圖5 所示。當(dāng)載荷從雪板中央位置向前移動(dòng)13 cm 時(shí)(約板長的8%),雪板前端截面轉(zhuǎn)角增大了約2.7%；當(dāng)載荷從雪板中央位置向后移動(dòng)相同距離時(shí),雪板前端截面轉(zhuǎn)角減小了約8.0%。該結(jié)果表明,調(diào)整載荷的加載位置(如改變身體重心在雪板上的投影位置)可改變雪板前端的彎曲變形,尤其是當(dāng)載荷加載位置偏后(如運(yùn)動(dòng)員后仰姿勢)時(shí)雪板前端的彎曲變形非常明顯。這也部分揭示了高山滑雪運(yùn)動(dòng)員在回轉(zhuǎn)時(shí)因重心落后引起滑行速度降低的原因[10]。

圖5 不同加載位置下雪板前端截面轉(zhuǎn)角變化的理論計(jì)算曲線

當(dāng)然,上述理論分析中設(shè)置的一些假設(shè)與真實(shí)情況還有一定的差別(如真實(shí)雪板在前端區(qū)域的變截面幾何特征等),使得理論計(jì)算數(shù)據(jù)與雪板彎曲的實(shí)驗(yàn)結(jié)果間有較大差別?；诖?我們搭建了一套用于進(jìn)行高山雪板三點(diǎn)彎曲力學(xué)實(shí)驗(yàn)的簡易裝置(如圖6(a) 所示)。該裝置包含支撐雪板的支架、用于加載的配重物、用于測量彎曲狀態(tài)的坐標(biāo)紙背板以及用于標(biāo)注彎曲輪廓的馬克筆。首先,調(diào)整好支架兩端橫梁間的距離,為防止雪板滑落,彎曲實(shí)驗(yàn)中的雪板跨度設(shè)置為120 cm。然后,將40 kg 重物分別懸掛在雪板的中央位置、中央偏前10 cm 和中央偏后10 cm,實(shí)現(xiàn)對雪板不同位置的加載。在完成加載后,使用馬克筆在雪板后側(cè)的坐標(biāo)紙背板上畫出雪板前端下邊緣的輪廓。

圖6 高山雪板三點(diǎn)彎曲力學(xué)實(shí)驗(yàn)

通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比可以發(fā)現(xiàn),三種不同的加載位置可以使雪板前部下邊緣彎曲情況出現(xiàn)明顯改變,如圖6(b) 所示。其中,黑色虛線為無載荷狀態(tài),黑色實(shí)線為中央加載,藍(lán)色實(shí)線為偏前加載,紅色實(shí)線為偏后加載。所對比的這三種載荷分別對應(yīng)運(yùn)動(dòng)員重心處于正常位置、偏前位置和偏后位置三種情況,也意味著運(yùn)動(dòng)員可以通過調(diào)節(jié)自身重心位置來調(diào)控雪板的變形,進(jìn)而調(diào)整自己的轉(zhuǎn)彎半徑。當(dāng)然,真實(shí)的情況其實(shí)復(fù)雜得多,運(yùn)動(dòng)員需要考慮自身的條件、能力做出各種實(shí)時(shí)的、細(xì)微的調(diào)整,以找到回轉(zhuǎn)與速度的最佳平衡。

4 結(jié)論

本文應(yīng)用理論力學(xué)、材料力學(xué)等經(jīng)典力學(xué)理論和方法,對高山滑雪運(yùn)動(dòng)員在刻滑回轉(zhuǎn)動(dòng)作中的身體傾斜和雪板變形進(jìn)行了定量分析和實(shí)驗(yàn)研究,分別得到了雪板立刃角度與運(yùn)動(dòng)員回轉(zhuǎn)速度間的定量關(guān)系以及載荷施加位置對雪板前端彎曲變形的影響,說明了高山滑雪中的回轉(zhuǎn)動(dòng)作與人體姿態(tài)傾斜和滑雪板力學(xué)性能間的密切關(guān)系。所構(gòu)建的力學(xué)模型簡單易懂,分析過程應(yīng)用了達(dá)朗貝爾原理、梁的彎曲理論等核心知識點(diǎn),可作為力學(xué)相關(guān)課程的教學(xué)案例來培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的實(shí)踐能力,也可作為科普案例來展示力學(xué)在人們?nèi)粘Ｉ钪械木唧w體現(xiàn)。由于回轉(zhuǎn)半徑、雪板變形、回轉(zhuǎn)速度及身體傾斜各變量間彼此影響,下一步可將分析身體姿態(tài)與回轉(zhuǎn)的達(dá)朗貝爾原理、分析雪板變形的彎曲理論以及雪板材料幾何等真實(shí)參數(shù)進(jìn)行綜合考慮,聯(lián)合求解相關(guān)特性,構(gòu)建出更為綜合的力學(xué)實(shí)踐案例供學(xué)生鍛煉,進(jìn)一步提升學(xué)生的綜合創(chuàng)新實(shí)踐素養(yǎng)。

致謝感謝中央電視臺科教頻道《實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場》欄目的大力支持。