Hamilton力學下框筒結(jié)構(gòu)剪滯翹曲位移模式研究*

胡啟平，陳 哲，周 娟

（1.河北工程大學 土木工程學院，河北 邯鄲 056038；2.邯鄲職業(yè)技術(shù)學院 建筑工程系，河北 邯鄲 056001）

引 言

框筒結(jié)構(gòu)是現(xiàn)代高層建筑結(jié)構(gòu)體系最重大的發(fā)展之一，主要由沿建筑物周邊布置的密柱深梁框架形成的筒體提供抗側(cè)力.水平荷載作用下，結(jié)構(gòu)中柱的軸力主要依靠深梁進行傳遞，由于深梁剪切變形的影響，導致同一榀框架柱中，軸力不均勻分布[1]，此即剪力滯后效應.此時，翼緣和腹板內(nèi)的正應力呈曲線分布，若計算仍采用平截面假定則誤差較大.采用等效連續(xù)體法分析剪力滯后效應影響下框筒結(jié)構(gòu)內(nèi)力時，翼緣和腹板不同翹曲位移函數(shù)的選擇將直接影響求解精度，因此選擇一種精度較高的位移函數(shù)顯得尤為重要.學者們常選用拋物線來模擬框筒結(jié)構(gòu)翼緣和腹板的翹曲位移.曾新等[2-3]分別用線性函數(shù)和拋物線模擬腹板和翼緣的翹曲位移；龔胡廣等[4-6]對翼緣和腹板分別采用二次和三次曲線；金仁和等[7]介紹了三次和五次曲線；相比于框筒結(jié)構(gòu)，箱梁的假設(shè)翹曲位移模式就比較豐富，如拋物線[8-9]、懸鏈線[10]、余弦函數(shù)[10]、指數(shù)函數(shù)和橢圓曲線[11]等.

目前，學者們對箱梁結(jié)構(gòu)剪滯翹曲位移模式的對比研究較多，很少有學者進行框筒結(jié)構(gòu)剪滯翹曲位移模式的對比研究.因此，將其他形式的位移模式引入框筒結(jié)構(gòu)并進行精度分析是很有意義的.兩者雖然有許多相似之處，但又有較大差別：橫向荷載作用下框筒的腹板框架同翼緣框架一樣，同樣承受較大軸力，剪力滯后現(xiàn)象嚴重，箱梁則不然.

本文基于連續(xù)化方法[12]，假設(shè)翼緣翹曲位移分別按四種函數(shù)形式分布，同時對應的腹板翹曲位移用三次曲線描述，區(qū)別于常規(guī)方法，在Hamilton 力學體系中進行考慮剪力滯后效應影響的框筒結(jié)構(gòu)內(nèi)力求解.相比于能量變分法，本文在不同形式荷載和邊界條件下，無需進行復雜的代數(shù)運算推導.借助軟件編程采用精細積分法[13-16]進行求解，解出所設(shè)廣義位移的高精度數(shù)值解，得到了不同位移模式下的結(jié)構(gòu)側(cè)移及柱軸力值.以此為基礎(chǔ)，對比分析各個位移函數(shù)的精度，得出了一些有益結(jié)論，為框筒結(jié)構(gòu)剪滯翹曲位移模式的選擇提供參考.

1 計算模型及位移函數(shù)選擇

1.1 計算模型

如圖1所示，采用軸向剛度和剪切剛度等效的原則[1]，將四榀框架等效為正交異性平板，通過和等效角柱相連，圍成四角處加強的懸臂薄壁筒.以形心為原點，建立圖示空間直角坐標系，筒體截面關(guān)于x軸 和y軸對稱.腹板和翼緣的寬度分別為 2a和 2b，H為結(jié)構(gòu)高度.tf和tw，Ef和Ew，Gf和Gw分別為翼緣和腹板的等效厚度、等效彈性模量和等效剪切模量，其具體計算方法可參閱文獻[6-7].

圖1 等效筒模型Fig.1 The equivalent tube model

為了忽略次要因素的影響，可對計算模型做出如下基本假定：1）各層樓板的平面內(nèi)剛度無窮大，不考慮樓板的平面外剛度；2）地基為剛性地基；3）不考慮等效板縱向纖維之間的橫向及縱向擠壓變形且不考慮其平面外的剪應變.

1.2 翼緣翹曲位移函數(shù)及Lagrange 函數(shù)的推導

假設(shè)等效筒體翼緣、腹板和角柱的縱向翹曲位移沿板寬方向分布形式分別為[5]

式中，θ (z)為 筒體截面的轉(zhuǎn)角，ω (y)為 翹曲函數(shù)，W(z)為最大縱向位移差函數(shù)，翼緣和腹板相同.選取結(jié)構(gòu)側(cè)移u(z)、 截面轉(zhuǎn)角θ (z)和 最大縱向位移差函數(shù)W(z)作為廣義位移，表述結(jié)構(gòu)應變.

當翹曲函數(shù)為二次拋物線時，

當翹曲函數(shù)為余弦函數(shù)時，

當翹曲函數(shù)為懸鏈線函數(shù)時，

當翹曲函數(shù)為指數(shù)函數(shù)時，

根據(jù)彈性理論以及基本假定寫出結(jié)構(gòu)體系各部分的應變能為

式中，E為等效連續(xù)化前材料的彈性模量；Ac為角柱的截面面積，由于等效時角柱中一部分已經(jīng)計入與之相鄰的翼緣和腹板內(nèi)，所以計算時應當扣除相鄰兩中柱截面面積之和的一半.

當受到沿結(jié)構(gòu)高度變化的分布荷載和頂部集中力時，結(jié)構(gòu)體系的外力勢能可分別表示為

故框筒結(jié)構(gòu)體系在橫向荷載下的總勢能為

將式(4)～(7)代入式(1)即可得到翼緣板不同形式的翹曲位移函數(shù)，分別將其與式(2)、(3)共同代入式(8)、(9)進行積分并求和，即可得到結(jié)構(gòu)體系用選定各廣義位移表示的總勢能的積分表達式.框筒結(jié)構(gòu)彎曲問題的Lagrange 函數(shù)即為結(jié)構(gòu)的總勢能密度，也就是總勢能積分表達式中的被積函數(shù)，如下式所示：

限于篇幅，下面以翼緣板的翹曲函數(shù)為懸鏈線函數(shù)為例，推導出結(jié)構(gòu)的Lagrange 函數(shù)：

式中

2 框筒結(jié)構(gòu)彎曲問題的Hamilton 對偶體系

2.1 Hamilton 正則方程的導出

通過Legendre 變換，引入廣義位移q的對偶變量p，p的物理意義即各選定廣義位移所對應的廣義力.其表達式為

由式(14)可解出

現(xiàn)在導入Hamilton 函數(shù)H=H(q,p)=pT?L(q,)，將式(15)代入Hamilton 函數(shù)消去，得到矩陣形式的Hamilton 函數(shù)表達式：

式中hq=0，hp=?g，且A=?21，B=K11?K1221，D=；當翼緣選擇不同分布形式的翹曲函數(shù)時，由1.2 小節(jié)的分析可得相應的各Kij矩陣.其中懸鏈線分布形式下的各Ki j矩陣，如1.2 小節(jié)所述.

由矩陣形式的Hamilton 函數(shù)導出框筒結(jié)構(gòu)彎曲問題的Hamilton 正則方程：

記

上述方程可進一步簡化為如下形式：

2.2 邊界條件以及Hamilton 正則方程求解

式(18)即為框筒結(jié)構(gòu)彎曲問題分析的Hamilton 正則方程，該方程是關(guān)于u，θ，W這3 個廣義位移以及各自對應的廣義力這6 個基本變量的一階常微分方程組.本文計算模型相當于一根承受橫向荷載的箱型懸臂梁，邊界條件可取為q0=0，pL=0.取區(qū)段長度為η，將結(jié)構(gòu)沿高度離散為n=H/η段，再將每一區(qū)段細分為 2N微段，一般取N=20.利用冪函數(shù)展開法計算微段的區(qū)段混合能矩陣[13-14]，由于微段足夠小，取前四項即可將誤差排除在計算機字長外.微段兩兩合并N次，整合出 η長區(qū)段的混合能矩陣，計算時只考慮增量，可免除舍入誤差的干擾.考慮外荷載作用，合并區(qū)段計算整個結(jié)構(gòu)的混合能矩陣.以此為基礎(chǔ)，考慮邊界條件，根據(jù)兩端狀態(tài)向量，進一步得到各分段節(jié)點處的狀態(tài)向量v[15-16].將其代入式(17)中第一式，可求得廣義位移的一階導數(shù).

將沿層高分布的結(jié)點處的廣義位移導數(shù)代入下式，即可得到高度z處翼緣和腹板的應力分布：

為得到所求柱軸力值，將應力在柱對應面域內(nèi)積分.假設(shè)柱距為d，則yi處的翼緣框架柱軸力Nf、xi處的腹板框架柱軸力Nw和 角柱軸力Nc分別為

3 算例分析

3.1 計算實例

采用文獻[1]中算例，1/4 平面圖如圖2所示.結(jié)構(gòu)層高 3 m，共20 層.梁截面尺寸為0 .35 m×0.8 m，中柱截面尺寸為 0.5 m×0.9 m，角柱截面尺寸為 0.9 m×0.9 m，柱間距均為 3 m.鋼筋混凝土材料，彈性模量E=3×104MPa，剪切模量G=1.2×104MPa，等效剪切模量Gf=Gw=2.395×103MPa.結(jié)構(gòu)工況：① 頂部P=2 000 kN 水平集中力；② 水平倒三角形分布荷載qmax=66.67 kN/m ；③ 水平均布荷載q=33.33 kN/m.本文方法的計算結(jié)果見表1和表2.

圖2 算例平面圖Fig.2 The plan of the example

表1 工況①下結(jié)構(gòu)底層柱軸力計算值及相對誤差Table 1 The axial force values and relative errors of the bottom floor column under working condition ①

表2 工況①下結(jié)構(gòu)最大側(cè)移值及相對誤差Table 2 Maximum side shift values and relative errors of the structure under working condition ①

3.2 計算精度對比

文獻[1]采用假設(shè)應力函數(shù)分布的方法求解，該算例被廣泛對比引用.為便于比較，將文獻[1]中結(jié)果于表1中一并列出，此外圖3還給出了等效筒在集中荷載下翼緣底部應力與有限元結(jié)果的對比.可以看出本文結(jié)果與有限元結(jié)果分布趨勢一致，吻合良好，從平均誤差來看，二次拋物線吻合最好.表1和圖4分別給出了工況1 下結(jié)構(gòu)底層柱軸力計算值和結(jié)構(gòu)的側(cè)移曲線.從表1可以看出，本文方法的計算結(jié)果與文獻結(jié)果吻合良好，大部分誤差在5%以內(nèi).采用指數(shù)函數(shù)時最大誤差出現(xiàn)在翼緣中柱位置處，這是由于指數(shù)函數(shù)為非對稱函數(shù)，僅選取了其函數(shù)值在0～1 之間的部分模擬翼緣的翹曲位移，故選取的對稱軸處誤差較大，其余函數(shù)形式的最大誤差出現(xiàn)在角柱位置.由圖4的側(cè)移曲線可見，選取不同函數(shù)時的側(cè)移計算結(jié)果差別非常小，側(cè)移值的計算對函數(shù)類型的選取并不敏感，頂部側(cè)移的具體數(shù)值及相對誤差見表2，其中指數(shù)函數(shù)的誤差最小.

圖3 等效筒底部應力對比Fig.3 Stress comparison at the bottom of the equivalent tube

圖4 不同翹曲函數(shù)下結(jié)構(gòu)側(cè)移曲線Fig.4 Curves of structural lateral displacements with different warping functions

綜合對比柱軸力和結(jié)構(gòu)側(cè)移的計算結(jié)果，可以看出翹曲函數(shù)為二次拋物線時的吻合度最高，其次為余弦函數(shù).因此，在此類問題分析時建議優(yōu)先選用二次拋物線模擬結(jié)構(gòu)的縱向翹曲位移.

3.3 荷載形式對剪力滯后效應的影響分析

采用精度較高的二次拋物線模擬結(jié)構(gòu)的縱向翹曲位移，分析工況①～③下結(jié)構(gòu)翼緣板的應力分布.圖5～7 給出了工況①～③下結(jié)構(gòu)底部、18 m 處、36 m 處以及54 m 處等效翼緣板的應力分布情況.

圖5 工況①下不同高度處翼緣應力分布Fig.5 Flange stress distributions at different heights under working condition ①

圖6 工況②下不同高度處翼緣應力分布Fig.6 Flange stress distributions at different heights under working condition ②

圖7 工況③下不同高度處翼緣應力分布Fig.7 Flange stress distributions at different heights under working condition ③

可以看出，從結(jié)構(gòu)底部到結(jié)構(gòu)頂部，三種工況下截面的應力分布均更趨均勻，剪力滯后程度明顯減小.對比三種工況下結(jié)構(gòu)54 m 處的應力分布情況，能看出在均布荷載和倒三角形分布荷載作用下結(jié)構(gòu)上部均出現(xiàn)了負剪力滯后現(xiàn)象，而頂部集中力作用時則無此現(xiàn)象.

4 結(jié) 論

1)使用本文Hamilton 力學的方法進行框筒結(jié)構(gòu)的彎曲分析，避免了傳統(tǒng)方法繁雜的力學推導，且相應的精細積分算法有較高精確度.除了能得到柱軸力以外，還可以直觀地得出截面應力、廣義位移和對應廣義力沿結(jié)構(gòu)高度的分布情況.借助于軟件編程，可在初步設(shè)計階段對結(jié)構(gòu)方案進行快速分析.

2)不同翹曲位移函數(shù)的選擇對結(jié)構(gòu)側(cè)移的計算結(jié)果影響不大，但對軸力的求解精度影響較大.相比于其他形式的函數(shù)，二次拋物線對剪滯翹曲位移的描述更準確，相應的柱軸力求解精度亦最高.建議框筒結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析時，優(yōu)先選用二次拋物線來模擬結(jié)構(gòu)的縱向翹曲位移.

3)荷載形式對框筒剪力滯后效應的影響，本質(zhì)上是荷載合力作用點位置的影響.荷載合力作用點的位置距離結(jié)構(gòu)的自由端越近，結(jié)構(gòu)頂部的負剪力滯后程度就越小，從均布荷載到頂部集中力，合力作用點的位置越來越高，以至于在頂部集中力作用下，結(jié)構(gòu)頂部無負剪力滯后現(xiàn)象產(chǎn)生.