工字形薄壁梁翼緣彎曲切應(yīng)力的進一步分析1)

馬志敏 黃昆濤 黃志強 胡畢華

(武漢工程大學機電工程學院，武漢430073)

工字形薄壁梁腹板和外伸翼緣上與翼緣平行的彎曲切應(yīng)力，現(xiàn)有的材料力學教材[1-6]中已有較為經(jīng)典和通用的計算公式，但翼緣和腹板交接區(qū)域與剪力垂直的切應(yīng)力和翼緣上與剪力平行的切應(yīng)力公式，各文獻中給出的結(jié)論，值得進一步探討。文獻[2]和文獻[3]中，考慮到腹板很薄，翼緣和腹板交接區(qū)域與剪力垂直的切應(yīng)力近似地沿用了翼緣外伸部分的切應(yīng)力計算公式。根據(jù)這一公式，翼緣對稱軸上與剪力垂直的切應(yīng)力最大。這一結(jié)論顯然與對稱性分析的結(jié)果相矛盾。文獻[4]中給出了翼緣上與剪力相平行的切應(yīng)力計算公式，它沿用了矩形截面梁上的彎曲切應(yīng)力公式，關(guān)于這一公式的正確使用，文獻[5]和文獻[7]中均作了詳細的討論。根據(jù)討論的結(jié)果，由于翼緣較寬，翼緣上與剪力相平行的切應(yīng)力沿寬度方向并非均勻分布，直接套用矩形截面梁上的彎曲切應(yīng)力公式，是不妥當?shù)?。本文在現(xiàn)有工字形薄壁梁腹板和外伸翼緣上經(jīng)典彎曲切應(yīng)力計算公式的基礎(chǔ)上，利用梁相鄰兩橫截面間的平衡條件，對工字形薄壁梁翼緣上的切應(yīng)力作進一步分析。

1 理論分析

1.1 工字形薄壁梁上腹板和外伸翼緣上經(jīng)典彎曲切應(yīng)力公式的應(yīng)用

工字形薄壁梁的腹板和外伸翼緣均可視為狹長矩形，根據(jù)文獻[3]給出的腹板和外伸翼緣上的彎曲切應(yīng)力公式，對圖1(a)所示的懸臂梁，1-1截面腹板上的任一位置k-k處(距中性軸距離為y，圖1(b)所示)的切應(yīng)力可表示為

圖1 工字形截面梁腹板和外伸翼緣上的切應(yīng)力分析

式中，F(xiàn)Q為橫截面上的剪力，Iz為橫截面對中性軸的慣性矩，b0為腹板厚度，h0為腹板高度，h為整個橫截面高度，b為整個橫截面寬度。

在中性軸y=0處有最大切應(yīng)力，其值為

在y=±h0/2腹板上切應(yīng)力最小，為

式中，h1為上下翼緣中線間的距離，t為翼緣的厚度。

類似地，截面1-1外伸翼緣任一位置a-a處(距翼緣端點的距離為η)與剪力垂直的切應(yīng)力可表示為

切應(yīng)力的方向如圖1(c)所示。由式(2)可知，下翼緣右側(cè)(外伸部分)橫截面上的切應(yīng)力大小與到右端點距離成正比。

1.2 翼緣上腹板和翼緣交接區(qū)域垂直于剪力方向的切應(yīng)力

圖2(a)所示為從圖1(a)的懸臂梁中由1-1和2-2截面截出的dx微段，本文中翼緣與腹板交接區(qū)域是指該微段上標注為M的陰影部分(下翼緣處未標出)。為求翼緣上腹板和翼緣交接區(qū)域垂直于剪力方向(即沿翼緣方向)的切應(yīng)力，從圖2(a)中取陰影部分B進行分析，受力如圖2(b)所示。

圖2 翼緣和腹板交接區(qū)域垂直于剪力方向的切應(yīng)力分析(續(xù))

圖2 翼緣和腹板交接區(qū)域垂直于剪力方向的切應(yīng)力分析

由切應(yīng)力互等定理可知切應(yīng)力τByx與腹板上最小切應(yīng)力相等，由式(1c)可知

參與B部分x方向上力平衡的，有y和z兩個方向面上的切應(yīng)力，以及1-1截面和2-2截面上的正應(yīng)力，由于翼緣很薄，可假設(shè)翼緣上垂直于剪力(即平行于翼緣)的切應(yīng)力τBxz依然沿厚度t方向均勻分布，則有

將

和式(3)代入式(4)求解，可得

下翼緣左側(cè)部分和上翼緣的切應(yīng)力，同樣可采用上述方法進行分析，只是在分析上翼緣切應(yīng)力時，要注意截面1-1和2-2的翼緣處，正應(yīng)力合力為壓力。

1.3 翼緣上平行于剪力的切應(yīng)力

對于工程中常見的工字形截面，統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明腹板所承擔的剪力，占到整個橫截面上剪力的95%～97%[6]，另外3%～5%的剪力由翼緣承受。由力系的合成關(guān)系可知，翼緣上必定存在與剪力方向相同的切應(yīng)力[4,6]。為得出該切應(yīng)力的計算公式，依然從圖1(a)所示懸臂梁中截取dx微段進行分析，為方便表達所要分析的區(qū)域，重新繪制如圖3(a)所示。由于圖3(a)所示微段上陰影部分C和翼緣外伸部分E和D處的應(yīng)力邊界條件不一樣，故下面分兩種情況進行考慮。

圖3 翼緣與腹板交接區(qū)域平行于剪力的切應(yīng)力分析

對陰影部分C，其受力如圖3(b)所示。利用切應(yīng)力互等定理，畫出各面上沿x方向上的切應(yīng)力，由于腹板很薄，假設(shè)在連接處，翼緣上與剪力相同的切應(yīng)力也是均勻分布的，則由x方向面上的受力平衡條件，可得

由式(6)可得

由于b0和t-t′都是關(guān)于厚度的一階量，其乘積為厚度的高階量，遠小于h1b，故式(7)中第二項可略去，即有

可見，腹板和翼緣交接區(qū)域，不同高度處與剪力平行的切應(yīng)力是不同的，靠近腹板處切應(yīng)力大，越靠近自由邊，切應(yīng)力值越小。

對翼緣上的外伸部分(圖3(a)中的D和E部分)，取D部分進行分析(圖3(c))，有

在翼緣同一高度處，沿翼緣寬度b方向的平均切應(yīng)力為

將式(7)和式(9)代入可得

即翼緣上的同一高度處，沿寬度方向的平均切應(yīng)力沿高度方向亦呈拋物線分布。

在t′=t的位置，有

將式(10a)與文獻[4]中第127頁所給出的翼緣上平行于剪力的切應(yīng)力公式比較，兩者完全相同。因此，文獻[4]中所給出的公式，應(yīng)視為翼緣上的平均切應(yīng)力，而不能作為任一點切應(yīng)力的計算公式。

2 邊界應(yīng)力的計算分析

2.1 翼緣上與剪力垂直的切應(yīng)力

腹板和翼緣交接區(qū)域，翼緣上與剪力垂直的切應(yīng)力的表達式為式(5)。將z=0代入，可得

由結(jié)構(gòu)的對稱性亦可知，外力正對稱時，在對稱軸y處，切應(yīng)力為零，說明式(5)滿足橫截面上的對稱性條件。

在右邊界上，即z=b0/2處，有

按文獻[3]中結(jié)論，在式(2)中，令η=(b?b0)/2，有

說明在外伸翼緣根部，這一切應(yīng)力是單值連續(xù)的。

2.2 翼緣上與剪力平行的切應(yīng)力

2.2.1 翼緣與腹板交接區(qū)域

在式(7)中，令t′=t，有

將式(13)和式(1c)進行比較，可知τCyxmax=τmin，說明腹板上的切應(yīng)力在與翼緣交接邊界處，是連續(xù)過渡的。

將t′=0代入式(7)，有

這一結(jié)果與外表面無應(yīng)力的情況相吻合。

2.2.2 外伸翼緣處

在式(9)中，令t′=0和t′=t時，則切應(yīng)力=0，這與自由表面切應(yīng)力為零的情況相符。

2.3 翼緣上與剪力垂直切應(yīng)力和與剪力平行切應(yīng)力最大值的比較

由上述分析可知，在翼緣與腹板交接處J*點上，如圖4所示，有與剪力平行切應(yīng)力和與剪力垂直切應(yīng)力的最大值，由式(11)和式(13)，可得

圖4 工字形梁橫截面翼緣和腹板上的切應(yīng)力分布圖

工程上常見的工字型鋼截面，b?b0，t≈(1～1.5)b0，故有這兩類切應(yīng)力的數(shù)量級相同，因此，在分析翼緣與腹板交點J*點的應(yīng)力狀態(tài)時，建議同時考慮上述兩種切應(yīng)力。

3 工字形薄壁梁橫截面切應(yīng)力分布圖的重新繪制

根據(jù)式(2)，式(5)，式(11)和式(12)，可繪制工字形薄壁梁橫截面上，與剪力方向垂直的切應(yīng)力分布；根據(jù)式(1a)，式(10a)和式(10b)，可繪制工字形薄壁梁橫截面上，不同高度處，與剪力方向相同的切應(yīng)力分布，如圖4所示。由圖可見，與剪力方向垂直的切應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在外伸翼緣根部，在對稱軸y上，這類切應(yīng)力為零；腹板中部有與剪力方向相同的切應(yīng)力最大值。需要說明的是，由于翼緣上，與剪力方向相同的切應(yīng)力在翼緣外伸部分和交接區(qū)域的表達式不一樣，故沿高度y方向，其分布圖是由平均切應(yīng)力公式(10a)繪出。

4 結(jié)語

本文在現(xiàn)有工字形薄壁梁經(jīng)典彎曲切應(yīng)力理論的基礎(chǔ)上，利用梁相鄰兩橫截面間的平衡條件，深入分析了工字形截面翼緣上平行于剪力的切應(yīng)力和翼緣與腹板交接區(qū)域垂直于剪力的切應(yīng)力，得出了滿足工字形截面對稱性條件和應(yīng)力邊界條件的切應(yīng)力計算公式，繪制了工字形薄壁梁新的切應(yīng)力分布圖。同時，通過比較，給出了文獻[4]中關(guān)于翼緣上平行于剪力的切應(yīng)力計算公式的準確含義。

需要指出的是，本文所給出的公式是未考慮應(yīng)力集中的理想化結(jié)果，其分析過程沿襲了工字形截面上腹板彎曲切應(yīng)力的經(jīng)典分析方法，有助于學生深入理解橫力彎曲中切應(yīng)力產(chǎn)生的原因，熟悉切應(yīng)力互等定理，理清彎曲切應(yīng)力與梁相鄰橫截面中彎曲正應(yīng)力的平衡關(guān)系，確定橫截面上可能危險點的應(yīng)力情況，于強度分析有一定指導意義，可作為工字形薄壁梁上彎曲切應(yīng)力分析學習的重要補充。

但須注意的是，工程實際中，腹板和翼緣交接區(qū)域一定存在應(yīng)力集中且應(yīng)力分布不再均勻[7]，交接處應(yīng)力會有較大的增大，實際應(yīng)用中要加以考慮，相關(guān)的理論研究值得進一步探討。