含非線性阻尼的2D g-Navier-Stokes方程解的一致漸近性*

王小霞

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

引 言

長(zhǎng)期以來(lái)，對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)漸近行為的研究是現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理最重要的問(wèn)題之一，特別是對(duì)耗散動(dòng)力系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，解決這一問(wèn)題的方式之一就是分析其吸引子的存在性和結(jié)構(gòu).Navier-Stokes 方程是一類描述流體運(yùn)動(dòng)的典型的非線性方程，在科學(xué)和工程領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用.而2Dg-Navier-Stokes 方程的研究最初也源于3D 薄區(qū)域上的Navier-Stokes 方程.在過(guò)去的十多年里，2Dg-Navier-Stokes 方程被國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者廣泛研究，其吸引子的存在性也陸續(xù)得到證明.2001年，韓國(guó)學(xué)者Roh 和Bae 在文獻(xiàn)[1-3]中對(duì)2Dg-Navier-Stokes 方程進(jìn)行了詳細(xì)分析，證明了該方程弱解的存在性和解的全局吸引子存在性.文獻(xiàn)[4]討論了2Dg-Navier-Stokes 方程解的全局吸引子存在性并對(duì)其維數(shù)進(jìn)行了估計(jì)；文獻(xiàn)[5]討論了全空間上含線性阻尼的2Dg-Navier-Stokes 方程解的全局吸引子存在性；文獻(xiàn)[6]討論了多連通區(qū)域上2Dg-Navier-Stokes 方程解的全局吸引子存在性；文獻(xiàn)[7-11]對(duì)2Dg-Navier-Stokes 方程的拉回吸引子進(jìn)行了研究.由此可見(jiàn)，目前對(duì)2Dg-Navier-Stokes 方程解的全局漸近性和拉回漸近性研究成果較多，而對(duì)其解的一致漸近性研究尚不多見(jiàn).本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，在2Dg-Navier-Stokes 方程中引入非線性阻尼項(xiàng)c|u|β?1u，在有界區(qū)域 Ω ?R2和Dirichlet 邊界條件下對(duì)該方程進(jìn)行研究.相對(duì)于線性阻尼而言，對(duì)于非線性阻尼的情形研究難度更大，因此本文的研究工作具有一定的創(chuàng)新性和理論價(jià)值.

隨著對(duì)2Dg-Navier-Stokes 方程研究成果的日益豐富，近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外部分學(xué)者已經(jīng)開(kāi)始關(guān)注2D 隨機(jī)Navier-Stokes 方程和隨機(jī)g-Navier-Stokes 方程的隨機(jī)吸引子的問(wèn)題研究[12-15].因此，本文對(duì)2Dg-Navier-Stokes 方程解的一致漸近行為進(jìn)行研究，證明了2Dg-Navier-Stokes 方程在含有非線性阻尼情形下的解的一致吸引子存在性，進(jìn)一步豐富了2Dg-Navier-Stokes 方程解的一致漸近性理論，也便于在此基礎(chǔ)上在后續(xù)研究中探討隨機(jī)情形下2Dg-Navier-Stokes 方程解的一致漸近性.

在本文中，有界區(qū)域Ω ?R2上含有非線性阻尼的2Dg-Navier-Stokes 方程一般形式如下：

這里u(x,t)∈R2，p(x,t)∈R分 別代表速度與壓力，υ>0，f=f(x,t)是 外力項(xiàng)，c|u|β?1u是非線性阻尼項(xiàng)，β≥1和c>0是 常數(shù)，0

1 預(yù)備知識(shí)

由Poincaré不等式知，在有界區(qū)域 Ω 上，存在μ1>0，使得

設(shè)空間L2(g)=(L2(Ω))2，其內(nèi)積為, 范數(shù)為 |·|=(·,·)1/2，這里u,v∈L2(g)，設(shè)(g)=((Ω))2，其內(nèi)積和范數(shù)分別為和這里設(shè)D(Ω)為在 Ω中有緊支集的C∞函數(shù)空間，W={v∈(D(Ω))2:?·gv=0在Ω上}，W在L2(g)中的閉包為Hg，W在(g)中的閉包為Vg，Hg具有L2(g)的 內(nèi)積和范數(shù)，Vg具有(g)的內(nèi)積和范數(shù).定義g-Laplace 算子，可將式(1)寫(xiě)為

定義g-正交投射Pg:L2(g)→Hg和g-Stokes 算子將Pg作用于方程(3)，可得以下弱形式：設(shè)f∈Vg,u0∈Hg，有

這里bg:Vg×Vg×Vg→R，且

則式(4)和(5)等價(jià)于下面的方程：

這里Ag:Vg→是g-Stokes 算子，且 〈Agu,v〉=((u,v))，?u,v∈Vg；B(u)=B(u,u)=Pg(u,?)u是雙線性算子，且B:Vg×Vg→，(B(u,v),w)=bg(u,v,w)，?u,v,w∈Vg.B和R滿足下面不等式：

命題1[3]對(duì)線性算子Ag，下面結(jié)論成立：

① 算子Ag是 正、自伴緊可逆算子，其定義域

② 算子Ag存 在可數(shù)特征根 λi(i=1,2,···)且 滿足0 <λg≤λ1≤λ2≤λ3≤···，這里λg=4π2m0/M0，λ1是Ag的最小特征根.此外存在相應(yīng)的一組特征函數(shù){e1,e2,e3,···}構(gòu)成Hg的一個(gè)正交基.

由式(2)可得

令G(u)=PgF(u),F(u)=c|u|β?1u，則式(6)和(7)等價(jià)于

記(R,X)表示在Bochner 意義下由所有局部2 次可積函數(shù)g(s)∈X，s∈R構(gòu) 成的函數(shù)空間.特別若X是自反、可分離的，則將(R,X)表示為(R,X).設(shè)f(s)∈(R,X)，若則稱f(s)為 平移有界的，用(R,X)表示(R,X)中全體平移有界函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)空間.借助經(jīng)典的Galerkin 方法，可得下面結(jié)論成立，證明過(guò)程與文獻(xiàn)[16-18]類似.

定理1設(shè)f(s)∈(R,Vg′)，uτ∈Hg，且β≥1，則 式(9)、(10)存在唯一的弱解u(t)，滿足

若

則式(9)、(10)存在一個(gè)強(qiáng)解u(t)，滿足

這里Ag是g-Stokes 算子，D(Ag)是Ag的 定義域.

定義1[19]設(shè)E為Banach 空間，{U(t,τ)}={U(t,τ)|t≥τ,τ ∈R}是E上的一個(gè)雙參數(shù)族算子，U(t,τ):E→E,t≥τ,τ ∈R .設(shè) Σ 是一個(gè)參數(shù)集，如果對(duì)每個(gè)σ ∈Σ，{Uσ(t,τ)}都 是一個(gè)過(guò)程，即{Uσ(t,τ)}滿 足①Uσ(t,s)°Uσ(s,τ)=Uσ(t,τ),?t≥τ,τ ∈R； ②Uσ(τ,τ)=Id，τ ∈R.其中Id為 恒等算子，Σ 為符號(hào)空間，σ ∈Σ 為符號(hào)，則稱{Uσ(t,τ)}(σ ∈Σ)是Banach 空間E中的過(guò)程族.

定義2[20]設(shè)任意的 τ ∈R和 每個(gè)B∈B(E)，都存在t0=t0(τ,β)>τ，使得這里B(E)表示空間E中全體有界集.則稱B0∈E為過(guò)程族{Uδ(t,τ)}(δ∈Σ)的有界一致吸收集.

定義3[16]若每個(gè)固定的τ∈R 和每個(gè)B∈B(E)，都有 limt→∞(supσ∈Σdist(Uσ(t,τ)B,Y))=0，則 集合Y?E稱為過(guò)程族{Uσ(t,τ)}(σ ∈Σ)的一致吸引集.

定義4[16]如果一個(gè)閉的一致吸引集AΣ?E包 含在過(guò)程族 {Uσ(t,τ)}(σ ∈Σ)的任意一個(gè)閉的一致吸引集中，則AΣ稱 為過(guò)程族{Uσ(t,τ)}(σ ∈Σ)的一致吸引子.

定義5[21]如果對(duì)任意固定的 τ ∈R，B∈B(E)和 σ ∈R，存在t0=t0(τ,B,ε)及E的有限維子空間Em，使得有界且,?x∈B.其中 dimEm=m,且Pm:E→Em是有界投影，則稱過(guò)程族{Uσ(t,τ)}(σ∈Σ)滿足一致條件(C).

設(shè){T(h)|h≥0}是作用在符號(hào)空間上的一族算子，滿足

①T(h)Σ=Σ, ?h∈R+；

②Uσ(t+h,τ+h)=UT(h)σ(t,τ), ?σ ∈Σ,t≥τ,τ ∈R,h≥0.

引理1[21]設(shè) Σ為完備度量空間，且 {T(t)}是 Σ 上的一個(gè)連續(xù)不變半群，如果過(guò)程族 {Uσ(t,τ)}(σ ∈Σ)存在有界一致吸收集B，且滿足一致條件(C)，則 {Uσ(t,τ)}(σ ∈Σ)在E中有緊的一致吸引子AΣ，且滿足AΣ=ω0,Σ(B0)=ωτ,Σ(B0),?t∈R .這里表示B0的 一致 ω-極限集.

定義6[17]設(shè)X為Banach 空間，若對(duì)任意的 ε>0，存 在 η>0，使得則稱φ ∈(R,X)是 正規(guī)的，記(R,X)中 所有的正規(guī)函數(shù)構(gòu)成的集合為(R,X).■

引理2[17]如果 φ0∈(R,X)，則對(duì)任意的 ε>0 和成立，其中r>0為 常數(shù).這里H(φ0)是 {φ0(t+h)|h∈R}在(R,X)中的閉包.

2 含非線性阻尼的2D g-Navier-Stokes 方程解的一致漸近性

設(shè)有固定外力f0∈L2n(R,Hg)，令f0(s)=f0(·,s)在(R,Hg)中 滿足正規(guī)條件，則由平移族 {f0(s+h),h∈R}所組成的函數(shù)集合一定滿足正規(guī)條件.令由文獻(xiàn)[17]的命題3.1 可知Hw(f0)是 弱緊的，且由于f0在(R,Hg)上 是正規(guī)的，可知在(R,Hg)上 一定是平移有界的.即=

定理2若對(duì)任意的uτ∈Hg和B∈B(Hg)，都有t0=t0(τ,B)≥τ，使得這里B(Hg)表示Hg中的所有有界集，則集合B0?Hg是過(guò)程族{Uf(t,τ)}(f∈Hw(f0))的有界一致吸收集.

證明用u與式（3）中第一式做內(nèi)積，有

即?B ∈B(Hg)，存在 t0=t0(τ,B)≥τ，有由定義2 可知，B0?Hg是 式(3)解的過(guò)程族{Uf(t,τ)}(f ∈Hw(f0))的有界一致吸收集.

定理3設(shè) f ∈L2b(R,Hg)，u2∈Hg，則式(3)的解所對(duì)應(yīng)的過(guò)程族 {Uf(t,τ)}(f ∈Hw(f0))在 Vg中存在有界一致吸收集 B1.

證明用 Ag與式(3)兩邊做內(nèi)積可得

運(yùn)用Gronwall 引理及 f ∈Hw(f0)得

當(dāng)t≥t1時(shí)，有即對(duì)任意的B∈B(Vg)，存在t1=t1(τ,B)≥τ使得

下面證明方程（3）的解對(duì)應(yīng)的過(guò)程族{Uf(t,τ)} (f∈Hw(f0))存在緊的一致吸引子.

定理4若f0(x,s)∈(R,Vg)，| ?g|∞

證明由引理1 可知，欲證方程（3）的解對(duì)應(yīng)的過(guò)程族{Uf(t,τ)}(f∈Hw(f0))存在緊的一致吸引子，只需證明過(guò)程族 {Uσ(t,τ)}(σ ∈Σ)存 在有界一致吸收集B，且滿足一致條件(C)即可，由定理3 可知，方程(3)的解所對(duì)應(yīng)的過(guò)程族 {Uf(t,τ)}(f∈Hw(f0))在Vg中 存在有界一致吸收集B1，所以下面僅說(shuō)明過(guò)程族 {Uf(t,τ)}(f∈Hw(f0))在Vg中滿足一致條件(C).

空間D(Ag)中 的一族元素在Hg中標(biāo)準(zhǔn)正交，且Awj=λjwj,?j∈N.設(shè)Vm=span{w1,w2,···,wn}是Vg的m維子空間，是Vm在Vg中 的正交補(bǔ)，令Pm:Vg→Vm是正交投影，對(duì)任意u∈D(Ag)，u=u1+u2，u1∈Vm，u2∈，在Vg中用Agu2與式（9）做內(nèi)積，可得

由文獻(xiàn)[19]可知u,v∈D(Ag)，有

故有

可得

這里ci(i=1,2,3,4,5)均為常數(shù)，

對(duì)式(11)相關(guān)項(xiàng)估計(jì)如下:

將式(12)～(14)代入式(11)得

由Gronwall 引理：

?ε＞0，由引理2 可知

從而 ‖u2(t0+1)‖2≤I1+I2+I3≤ε,?t≥t,f∈Hw(f0).因此過(guò)程族 {Uf(t,τ)}(f∈Hw(f0))在Vg中滿足一致條件(C).于是由引理1 結(jié)合定理2、定理3 可知，方程（3）的解對(duì)應(yīng)的過(guò)程族 {Uf(t,τ)}(f∈Hw(f0))存在緊的一致吸引子AHw(f0)=W0,Hw(f0)(B1)=Wτ,Hw(f0)(B1).

3 結(jié) 論

本文研究了一類含有非線性阻尼的2Dg-Navier-Stokes 方程解的一致漸近行為，即解的一致吸引子存在性問(wèn)題.在整個(gè)研究過(guò)程中，通過(guò)證明解的過(guò)程族滿足一致條件(C)，得到方程解的一致漸近性成立.由于解的過(guò)程族存在有界一致吸收集，從而得到方程在Dirichlet 邊界條件下解的一致吸引子存在.