一道三角函數(shù)最值問題的解法、背景及其拓展

摘要：文章針對2018年全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)理科第16題給出幾種較為典型的解法，并對其做了一定的推廣，給出了一般的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);待定系數(shù);均值不等式

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0054-04

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：李文東（1981.1-），男，湖北省咸寧人，碩士，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

2018年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第16題以三角函數(shù)為背景，考查三角函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)處理最值問題等知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、推理論證能力、運算求解能力、函數(shù)與方程思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，是一道難得的好題，值得我們細(xì)細(xì)研究，下面我們給出本題的幾種典型的解法，然后指出其實際背景，并給出了一個簡單的拓展.

1 題目呈現(xiàn)

題目（2018年全國Ⅰ卷16題）求函數(shù)fx=2sinx+sin2x的最值.

2 解法欣賞

解法1（導(dǎo)數(shù)法） 顯然fx為奇函數(shù)且最小正周期為2π，故只需考慮x∈[0，π].由于f ′x=2cosx+2cos2x

=22cos2x+cosx-1

=22cosx-1cosx+1，

令f ′x=0，

得cosx=12或cosx=-1.

又x∈0，π，則x=π3或x=π（舍）.

列表如下：

x0，π3π3π3，π

f ′x+

0-

fx極大值

所以，當(dāng)x=π3時，fxmax=fπ3=332，利用fx為奇函數(shù)知fxmin=-332.

點評此題雖然是2018年全國高考的填空壓軸題，難度并不算大，只需要按照導(dǎo)數(shù)求解最值的常規(guī)步驟即可，需要注意的細(xì)節(jié)是抓住fx為奇函數(shù)且最小正周期為2π，從而將定義域限制在x∈[0，π]，這樣就給單調(diào)性的討論帶來極大的方便.

解法2（非線性規(guī)劃） 顯然f（x）為奇函數(shù).

故只需求出f（x）的最大值即可.

又fx=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），

記sinx=m，cosx=n，f（x）=t，

則2m（1+n）=t

即n=12·tm-1.

于是原題等價于在單位圓m2+n2=1 下求目標(biāo)函數(shù)n=12·tm-1的最大值，它是由反比例函數(shù)變換過來的，如圖1，當(dāng)它們在第一象限相切時，t最大.

設(shè)切點為m0，n0，則有

-12·tm20=-m01-m20，n0=12·tm0-1，n0=1-m20，

消去n0和t，得

1-m20+1=m201-m20.

化簡，得m204m20-3=0.

因為m0>0，從而m0=32.

此時t=2m301-m20=332.

即fxmax=332.

利用fx為奇函數(shù)知

fxmin=-332.

點評令sinx=m，cosx=n，則m2+n2=1，從而將問題轉(zhuǎn)化為一個條件最值問題.

解法3（待定系數(shù)法） fx=2sinx1+cosx，引入?yún)?shù)k，根據(jù)柯西不等式和均值不等式有：

f 2x=4k2sin2xk+kcosx2

≤4k2sin2x1+k2k2+cos2x

≤4k21+k2k2+cos2x+sin2x22

=1+k2k2，

當(dāng)且僅當(dāng)k2=cosx，k2+cos2x=sin2x時等號同時成立.

消去k2，得

cosx+cos2x=sin2x.

進(jìn)一步化簡，得

2cos2x+cosx-1=0.

解得cosx=12（cosx=-1舍去）.

從而fx的最大值為1+k2k=332.

利用fx為奇函數(shù)知fxmin=-332.

解法4（均值不等式）

因為

f（x）=2sinx+sin2x

=2sinx（1+cosx），

所以[f（x）]2=4sin2x（1+cosx）2

=4（1-cosx）（1+cosx）3

=43（3-3cosx）（1+cosx）3

≤43[（3-3cosx）+3（1+cosx）4]4

=274，

當(dāng)且僅當(dāng)3-3cosx=1+cosx，

即cosx=12時取等號.

故[f（x）]2≤274，

解得-332≤f（x）≤332.

所以函數(shù)f（x）的最大值為332，最小值為-332.

解法5（琴生不等式） 由f（x）為奇函數(shù)，我們可以限定在0<x≤π時即可.

由琴生不等式，若f（x）為凸函數(shù)，則

f（a）+f（b）+f（c）3≤fa+b+c3.

由于y=sinx為0，π上的凸函數(shù)，

于是f（x）=2sinx+sin2x

=sinπ-x+sinπ-x+sin2x

≤3sinπ3=332，

當(dāng)x=π3時取等號.

利用fx為奇函數(shù)知fxmin=-332.

點評琴生不等式為：若f（x）為凸（凹）函數(shù)，則f（a）+f（b）+f（c）3≤≥fa+b+c3.

解法6（構(gòu)造幾何模型）

因為fx=2sinx+sin2x

=2sinx（1+cosx），

如圖2，設(shè)Acosx，sinx，點A關(guān)于x軸的對稱點為A′，點B（-1，0），則

fx=2sinx（1+cosx）=2S△AA′B.

根據(jù)圓內(nèi)接等腰三角形中等邊三角形面積最大，

可知fmax（x）=332.

利用fx為奇函數(shù)知fxmin=-332.

3 背景和拓展

此題其實也有實際背景，其來源如下：

已知半圓O的直徑為2，AD為直徑，B，C是半圓上除直徑外的兩點，且BC=CD，則四邊形ABCD面積的最大值為.

如圖3，連接OB，OC，設(shè)∠BOC=∠DOC=α，

則SABCD=S△OBC+S△OCD+S△OAB

=12sinα+12sinα+12sinπ-2α

=sinα+12sin2α0<α<π2.

進(jìn)一步，我們可以將此題拓展如下：

拓展求函數(shù)fx=sinx（a+cosx），a∈R的最大值.

解析顯然f（x）的周期為2π，且有

f（2π-x）=-f（x） .

即f（x）關(guān)于點π，0對稱.

為此我們可以限制定義域為0，π.

f ′x=2cos2x+acosx-1，

令cosx=t，y′=g（t）=2t2+at-1，

由于Δ=a2+8>0

g（0）=-1<0.

（1）若g（1）>0，g（-1）>0，解得-1<a<1.

函數(shù)g（t）在[-1，1] 內(nèi)有兩個零點t1，t2，

且t1·t2=-12，設(shè)t1<0<t2，

由于y=cosx在0，π上單調(diào)遞減，

故存在唯一的x1，x2使得

cosx2=t1=-a2+8+a4，

cosx1=t2=a2+8-a4，且x1<x2 .

由y′=g（t）=2t2+at-1<0，解得t1<t<t2，

即t1<cosx<t2，

解得x1<x<x2.

由此可知f（x）在0，x1上單調(diào)遞增，

在x1，x2上單調(diào)遞減，

在x2，π上單調(diào)遞增，

由此可知fmax（x）=maxf（x1），-f（x2）.

代入數(shù)據(jù)計算可得：

當(dāng)-1<a<0時，

fmax（x）=-f（x2）

=-sinx2（a+cosx2）

=2a2+8-3a·4-a2-aa2+816;

而當(dāng)0≤a<1時，

fmax（x）=f（x1）

=sinx1（a+cosx1）

=2a2+8+3a·4-a2+aa2+816.

（2）當(dāng)a≤-1時，函數(shù)g（t）在[-1，1] 內(nèi)有一個零點t0<0.

由于y=cosx在0，π上單調(diào)遞減，

故存在唯一的x0使得

cosx0=t0=-a2+8+a4.

f（x）在0，x0上單調(diào)遞減，

在x0，π上單調(diào)遞增，

由此可知

fmax（x）=-f（x0）

=2a2+8-3a·4-a2-aa2+816;

（3）當(dāng)a≥1時，同理可得

fmax（x）=2a2+8+3a·4-a2+aa2+816.

綜上：

fmax（x）=2a2+8-3a·4-a2-aa2+816，a<0，

2a2+8+3a·4-a2+aa2+816，a≥0.

做百題不如鉆研一題，通過對一道高考試題的多角度研究，不僅提高了我們的解題能力，而且拓展了我們的思維，使我們從題海中跳出來.

參考文獻(xiàn)：

[1]?李文東.巧用待定系數(shù)法求幾類三角函數(shù)的最值[J].數(shù)理天地，2021（01）：11-13.

[責(zé)任編輯：李璟]