一道聯(lián)考試題的解法探究

摘要：本文對(duì)一道聯(lián)考試題的解法進(jìn)行深度探究，從不同角度對(duì)試題進(jìn)行剖析，雖然解法有所不同，但關(guān)鍵要抓住三角求值題的特征，實(shí)現(xiàn)從一題多解到解決一類問(wèn)題的飛躍.

關(guān)鍵詞：三角求值;一題多解;對(duì)偶構(gòu)造

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）07-0030-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡(jiǎn)介：李亮（1984.12-），男，安徽省太湖人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

今年五月的皖淮名校聯(lián)考，高一數(shù)學(xué)試卷填空題第16題考了一道三角求值題.從考試結(jié)果來(lái)看，得分率很低.究其原因，筆者認(rèn)為還是同學(xué)們對(duì)三角求值題缺乏必要的認(rèn)識(shí)，方法選取不恰當(dāng)，平時(shí)練的少，對(duì)復(fù)雜計(jì)算駕馭能力有待提升，值得反思.鑒于此，筆者以此題為例，和同學(xué)們一起從不同視角來(lái)探究，以期提升同學(xué)們的數(shù)學(xué)計(jì)算、邏輯推理等能力.

1 試題呈現(xiàn)

題目 sin220°+cos250°+sin20°cos50°=.

2 解法探究

2.1 常規(guī)思路，通性通法

解法1（遇平方就降冪，積化和差、和差化積）

原式=1-cos40°2+1+cos100°2

+12sin（20°+50°）+sin（20°-50°）

=34-12cos40°+12cos100°+12sin70°

=34-12cos40°+12（cos100°+cos20°）

=34-12cos40°+12×2cos60°cos40°

=34-12cos40°+12cos40°

=34.

解法2（先積化和差、和差化積，再平方降冪）

原式=sin220°+sin240°+sin20°sin40°

=（sin20°+sin40°）2-sin20°sin40°

=[2sin30°cos（-10°）]2

+12[cos60°-cos（-20°）]

=cos210°+14-12cos20°

=1+cos20°2+14-12cos20°

=34.

評(píng)注本解法需要學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)的變形降冪公式以及誘導(dǎo)公式，同時(shí)還要靈活運(yùn)用三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式.

2.2 對(duì)比分析，合理拆分

解法3（一般角與特殊角之間的加一加、減一減）

原式=sin220°+cos2（20°+30°）+sin20°·cos（20°+30°）

=sin220°+（32cos20°-12sin20°）2

+sin20°（32cos20°-12sin20°）

=sin220°+34cos220°+14sin220°-12sin220°

=34cos220°+34sin220°

=34.

評(píng)注本解法要關(guān)注角與角之間的內(nèi)在聯(lián)系，把一般角與特殊角聯(lián)系起來(lái)，常用技巧可以把兩個(gè)角加一加、減一減、乘以2，等等，很多題目可以迎刃而解.

2.3 合情猜想，演繹推理

解法4（大膽假設(shè)，小心求證）

因?yàn)閟in215°+cos245°+sin15°cos45°

=（6-24）2+（22）2+6-24×22=34，

猜想：

sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=34.

證明如下：

左邊=sin2α+（32cosα-12sinα）2+sinα（32cosα-12sinα）

=sin2α+34cos2α-32sinαcosα+14sin2α+

32sinαcosα-12sin2α

=34sin2α+34cos2α

=34.

所以猜想成立，這樣本題可以推廣到一般形式.從而可以作以下同解變形：

sin220°+cos250°+sin20°cos50°

=sin215°+cos245°+sin15°cos45°

=34.

2.4 結(jié)構(gòu)聯(lián)想，幾何直觀

解法5（利用正、余弦定理，構(gòu)造三角形）

原式=sin220°+sin240°+sin20°sin40°，

由此聯(lián)想到余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA.

再利用正弦定理變形為

sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA.

到此可構(gòu)造△ABC，如圖1，使

A=120°，B=20°，C=40°，

則sin2120°

=sin220°+sin240°-2sin20°sin40°cos120°.

所以，

原式

=sin220°+sin240°+sin20°sin40°

=34.

評(píng)注正弦定理、余弦定理是對(duì)三角形邊角關(guān)系的量化刻畫(huà)，解題時(shí)要仔細(xì)觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，合理聯(lián)想，構(gòu)造符合題意的三角形，可簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算，發(fā)展學(xué)生思維.

2.5 對(duì)偶構(gòu)造，同構(gòu)變形

解法6（構(gòu)造互余對(duì)偶式）

令x=sin220°+cos250°+sin20°cos50°，

構(gòu)造y=cos220°+sin250°+cos20°sin50°，

則x+y=2+sin70°，

x-y=-sin70°-12.

兩式相加整理，得

2x=32，

所以x=34.

評(píng)注通過(guò)對(duì)題目結(jié)構(gòu)特征的觀察，利用互余函數(shù)構(gòu)造對(duì)偶式，從而獨(dú)辟蹊徑，出奇制勝.其實(shí)，兩種對(duì)偶式的本質(zhì)是一樣的，利用了三角函數(shù)變換中的平方關(guān)系.

2.6 恒等變形，曲徑通幽

解法7（運(yùn)用三角恒等式）

由正弦與余弦的和角公式和差角公式可得以下恒等式：

sin2α-sin2β=sin（α+β）sin（α-β），

cos2α-sin2β=cos（α+β）cos（α-β）.

它們的結(jié)構(gòu)和代數(shù)中的平方差公式很像，所以也把它們稱之為三角函數(shù)的平方差公式.解題時(shí)靈活運(yùn)用它們會(huì)使我們的化簡(jiǎn)、計(jì)算大大簡(jiǎn)化.

原式=sin220°-sin250°+sin20°cos50°+1

=sin70°sin（-30°）+sin20°cos50°+1

=-12sin70°+12（sin70°-sin30°）+1

=34.

通過(guò)以上解法，我們可以看出三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值常常從以下幾個(gè)方面突破：減少函數(shù)名稱、減少角的個(gè)數(shù)、注意式子的結(jié)構(gòu)等.當(dāng)然教材基本公式的記憶與常見(jiàn)變形是我們解題的基礎(chǔ).本題看似平常，其實(shí)值得研究，筆者只是從常規(guī)入手，多視角突破，以期起到拋磚引玉的作用，不足之處敬請(qǐng)大家批評(píng)指正.

參考文獻(xiàn)：

[1] 練偉，朱衛(wèi)霞.運(yùn)用三角函數(shù)中的平方差公式解題[J].數(shù)學(xué)通訊，2020（13）：18-19.

[2] 楊軍，李歡.實(shí)踐波利亞“怎樣解題表”的探究式解題教學(xué)案例一則[J].數(shù)學(xué)通訊，2020（13）：5-7+14.

[責(zé)任編輯：李璟]