提升三大能力 巧破概率統(tǒng)計中解題障礙點

摘要：通過提升數(shù)學(xué)閱讀能力、計算能力、概率模型的識別能力三方面，破解概率統(tǒng)計中解題障礙點.

關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計;解題障礙點;三大能力

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0058-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：張隆億，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

概率統(tǒng)計解答題以實際應(yīng)用題為基礎(chǔ)，具有較高的針對性和新穎性，具有時代氣息，貼近學(xué)生實際生活.它取代了傳統(tǒng)的應(yīng)用題，成為高考的亮點.本文梳理了概率統(tǒng)計中的解題障礙點.

1 提升數(shù)學(xué)閱讀能力

概率統(tǒng)計題得分率低的一個重要原因是問題長且信息量大.考生讀不懂試題，抓不住解決問題的關(guān)鍵，沒有解決問題的基礎(chǔ).因此，提高考生的數(shù)學(xué)閱讀能力是解決這一問題的關(guān)鍵.建議先看問題，掌握解決問題所需的要素，以便快速入題，突破概率統(tǒng)計問題的閱讀能力障礙.

例1“碳中和”是指在一定時期內(nèi)通過造林、節(jié)能減排等抵消直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量.某個城市大力發(fā)展新能源汽車和植樹造林，以取代大氣中的二氧化碳，實現(xiàn)碳中和.該市一家研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計了五年內(nèi)車輛行駛里程（萬千米）的頻率分布直方圖，如圖1所示.

該研究機(jī)構(gòu)對300名車主在購買汽車時是否考慮空氣污染進(jìn)行了調(diào)查.在這些車主中，新能源汽車擁有者占了16，而這些車主在購買汽車時考慮空氣污染占20%，燃油汽車車主在購買汽車時考慮空氣污染占10%.根據(jù)上述統(tǒng)計，作出列聯(lián)表并回答是否有99%的把握認(rèn)為購買新能源汽車與考慮空氣污染有關(guān).

分析試題中的“碳中和”等背景可作為一般理解.解決這一問題的關(guān)鍵是通過“是否有99%的把握認(rèn)為購買新能源汽車與考慮空氣污染有關(guān)”，抓住兩個分類變量：是否購買新能源汽車，是否考慮空氣污染，找出購買新能源汽車的車主人數(shù)300×16=50，他們中考慮空氣污染因素的人數(shù)50×20%=10，以及在購買汽車時考慮空氣污染因素的燃料車主人數(shù)250×10%=25，并制作2×2列聯(lián)表;根據(jù)臨界值表，由K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）求解的觀測值得出結(jié)論.

解析列2×2列聯(lián)表如下：

考慮大氣污染沒考慮大氣污染合計

新能源汽車車主104050

燃油汽車車主25225250

合計35265300

所以K2=300×（10×225-25×40）235×265×250×50≈4.04.

因為4.04<6.635，所以沒有99%的把握認(rèn)為購買新能源汽車與考慮大氣污染有關(guān).

2 提升計算能力

要想贏得計算，首先要明確計算原理，掌握一些計算方法，提高計算速度和正確率.避免盲目計算.

其次，充分利用公式和題目提供的數(shù)據(jù).一些數(shù)據(jù)本身具有很強(qiáng)的提示性并適當(dāng)估算.

例2（2017年課標(biāo)全國Ⅰ卷文第19題節(jié)選）某天，檢驗員每隔一段時間從生產(chǎn)線抽取1個零件測量尺寸，累計16次具體如下：

抽取次序12345678

零件尺寸（cm）9.9510.129.969.9610.019.929.98

10.04抽取次序91011

1213141516零件尺寸（cm）10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

參考數(shù)據(jù)x=116∑16i=1xi=9.97，s=116∑16i=1xi-x2=116∑16i=1x2i-16x2≈0.212，0.008≈0.09.

剔除x-3s，x+3s之外的數(shù)據(jù)，估計當(dāng)天該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件尺寸的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差.（精確到0.01）

分析剔除1個數(shù)據(jù)，雖然剩下的15個數(shù)據(jù)具體明確，但直接代入均值和方差的公式計算量較大.觀察到剔除前后的15個值是相同的.在均值和方差的求解中，∑12i=1xi+∑16i=13xi，∑12i=1x2i+∑16i=13x2i可以通過在剔除之前均值和方差的相應(yīng)數(shù)據(jù)來求解.注意參考數(shù)據(jù)0.008≈0.09和方差與標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系，并進(jìn)行適當(dāng)估算得到答案.

解析剔除第13個數(shù)據(jù)，剩余數(shù)據(jù)的平均值為

11516×9.97-9.22=10.02.

由∑16i=1x2i=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，得剩余數(shù)據(jù)的方差為

1151591.134-9.222-15×10.022≈0.008.

該生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差估計值為0.008≈0.09 .

點睛解決數(shù)學(xué)新穎題時，一是通過轉(zhuǎn)化，變“新”為“舊”;二是通過深入分析和多元聯(lián)想，以“舊”攻“新”;三是要特別注意創(chuàng)新問題類型的切入點和生長點.

3 提升概率模型的識別能力

概率模型的識別和應(yīng)用主要集中在區(qū)分二項分布和超幾何分布上.二項分布是將兩個不同的對象（貨物、人或事）放回的抽樣問題.它是n次獨立重復(fù)試驗，成功概率P相等，總體的數(shù)量未知;它常與“頻率估計概率”和“樣本估計總體”相結(jié)合;超幾何分布是將兩個不同的對象（貨物、人或事）不放回的抽樣問題，并且總體的數(shù)量已知.

例3某單位7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，從7人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行進(jìn)一步體檢.使用X表示所選3人中睡眠不足的員工人數(shù)，并計算隨機(jī)變量X和數(shù)學(xué)期望的分布列.

分析本題是對7人（總體數(shù)量已知）中睡眠充足與否（兩類不同的對象）的不放回抽樣問題，所以隨機(jī)變量X服從超幾何分布H（7，4，3），所以E（X）=3×47=127.

解析隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3.P（X=k）=Ck4·C3-k3C37（k=0，1，2，3）.所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P

13512351835435

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望

E（X）=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127.

另：因為隨機(jī)變量X服從超幾何分布H（7，4，3），所以E（X）=3×47=127.

變式探究1若某單位每天睡眠不足的員工上班遲到的概率為23，任一員工每天上班情況相互獨立.用Y表示三天中睡眠不足的員工上班遲到的天數(shù)，求隨機(jī)變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.

分析本題是對某單位員工（總體數(shù)量未知）睡眠充足與否（兩類不同的對象）的放回抽樣問題，所以隨機(jī)變量Y服從二項分布B3，23，所以E（Y）=3×23=2.

解析因為員工每天上班情況相互獨立，且每天睡眠不足的員工上班遲到的概率均為23.

故Y～B3，23.

從而PY=k=Ck323k133-k（k=0，1，2，3）.

所以，隨機(jī)變量Y的分布列為：

Y0123P

12729

49827

隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望E（Y）=3×23=2.

變式探究2若某地區(qū)睡眠不足的人數(shù)占比為23，現(xiàn)從該地區(qū)中隨機(jī)抽取三人，用Z表示這三人中睡眠不足的人數(shù)，求隨機(jī)變量Z的分布列和數(shù)學(xué)期望.

分析本題是對某地區(qū)（總體數(shù)量未知）睡眠充足與否（兩類不同的對象）的不放回抽樣問題，然而，在實際應(yīng)用中，“大”“較大”和“非常大”等詞出現(xiàn)在題干中.該檢驗可視為一個獨立的重復(fù)試驗，因此隨機(jī)變量服從二項分布，所以隨機(jī)變量Z服從二項分布B3，23，所以E（Z）=3×23=2.

變式探究3若某單位每天睡眠不足的員工上班遲到的概率為23，任一員工每天上班情況相互獨立.用Y表示三天中睡眠不足的員工上班遲到的天數(shù)， ξ表示三天考勤激勵金（單位：元），且ξ=80-20Y，求隨機(jī)變量ξ數(shù)學(xué)期望.

分析本題三天考勤激勵金ξ不屬于對兩類不同的對象（物品、人或事）抽樣問題，所以不屬于超幾何分布或二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量Y服從二項分布B3，23，可利用Eax+b=aEx+b，Dax+b=a2Dx求解.

解析因為員工每天上班情況相互獨立，且每天睡眠不足的員工上班遲到的概率均為23，所以Y～B3，23，隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望E（Y）=3×23=2.

故Eξ=E80-20Y=80-20EY=80-20×2=40（元）.

本文主要分析了概率統(tǒng)計中常見的障礙點，提出數(shù)學(xué)閱讀能力、計算能力、概率模型的識別等能力提升的方案，有效地幫助學(xué)生在教學(xué)實踐中提高分析和解決問題的能力，培養(yǎng)一定的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]?文貴雙.加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)[J].中學(xué)教學(xué)參考，2021（26）：21-23.

[責(zé)任編輯：李璟]