“六性”：讓復(fù)習(xí)題撬動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

郭紅敏

[摘 ?要] 有效的復(fù)習(xí)題不僅可以幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，還可以有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。文章從復(fù)習(xí)題的“自主性”“針對(duì)性”“綜合性”“開放性”“遷移性”“文化性”這幾個(gè)方面，探討其與數(shù)學(xué)思維發(fā)展之間的關(guān)系。

[關(guān)鍵詞] 復(fù)習(xí)題;數(shù)學(xué)思維;六性;整理與復(fù)習(xí)

數(shù)學(xué)習(xí)題是鞏固所學(xué)知識(shí)，形成基本技能，提高解決問題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，溝通數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)情感的重要途徑。在人教版六年級(jí)下冊(cè)的“整理與復(fù)習(xí)”教學(xué)中，如何讓學(xué)生落實(shí)“四基”且有效發(fā)展和提高“四能”？復(fù)習(xí)題的設(shè)計(jì)和甄選尤為重要。本文從習(xí)題設(shè)計(jì)原則與學(xué)生思維發(fā)展之間的緊密聯(lián)系探討如何設(shè)計(jì)習(xí)題讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到發(fā)展。

[?] 一、自主性復(fù)習(xí)題，讓思維更具批判性

自主性是指學(xué)生按自己的意愿行事的動(dòng)機(jī)、能力或特性。在教學(xué)“整理與復(fù)習(xí)”時(shí)，設(shè)計(jì)的復(fù)習(xí)題要能引起學(xué)生自主探究、自主參與的強(qiáng)烈意愿，在已有的認(rèn)知水平上找到新的生長(zhǎng)點(diǎn)，將知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地串聯(lián)起來，形成新的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自主思考，產(chǎn)生新的想法，提出疑問，讓學(xué)生的批判性思維得到發(fā)展，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。如復(fù)習(xí)平面圖形時(shí)，筆者給出問題：在長(zhǎng)為12.4cm，寬為7.2cm的長(zhǎng)方形紙中，剪半徑是1cm的圓，能剪多少個(gè)？畫一畫，剪一剪。（人教版六年級(jí)下冊(cè)第90頁(yè)第7題）

學(xué)生通過畫一畫、剪一剪等操作活動(dòng)發(fā)現(xiàn)：在長(zhǎng)方形里剪出固定大小的圓，不能直接用長(zhǎng)方形面積除以圓面積得出可剪圓的個(gè)數(shù)。由于有長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)想到方中圓，正方形的邊長(zhǎng)即圓的直徑，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)有幾個(gè)正方形邊長(zhǎng)，就表示一排可以剪幾個(gè)圓;長(zhǎng)方形的寬有幾個(gè)正方形邊長(zhǎng)，就表示可以剪幾排。學(xué)生最終通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)：12.4÷2=6（個(gè)）……0.4cm，7.2÷2=3（行）……1.2cm。一排可以剪6個(gè)，有3排，利用這樣的剪法，可以剪6×3=18個(gè)，如圖1。

自主性的復(fù)習(xí)題給了學(xué)生思維的活動(dòng)空間、方法的分享空間。學(xué)生在交流中碰撞經(jīng)驗(yàn)，于是就會(huì)產(chǎn)生疑問：如果圓與圓交錯(cuò)相拼，會(huì)不會(huì)擺放更多的圓？問題是讓學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生的內(nèi)驅(qū)力，學(xué)生主動(dòng)參與解決問題，通過再一次的畫一畫、剪一剪等實(shí)踐操作，可以體會(huì)到圓與圓之間兩兩相切拼擺后不同的結(jié)果：第一行剪6個(gè)，第二行剪5個(gè)，剪出4行這樣的圓，共有6+5+6+5=22個(gè)，如圖2。

[?] 二、針對(duì)性復(fù)習(xí)題，讓思維更深刻

針對(duì)性是指在復(fù)習(xí)過程中，根據(jù)學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備的差異，從教材和學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，設(shè)計(jì)適合學(xué)生發(fā)展的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在教學(xué)“整理與復(fù)習(xí)”時(shí)需要因材施教，既要顧慮班級(jí)里大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，又要滿足小部分學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，所以設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題要做到“三針對(duì)”：

1. 針對(duì)不同層次的學(xué)生

通過作業(yè)反饋等方式了解全體學(xué)生及個(gè)別學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備情況。習(xí)題要由淺入深，由易到難，循序漸進(jìn)，讓每一層次的學(xué)生都能在關(guān)鍵處“練”，在生長(zhǎng)點(diǎn)上“習(xí)”，讓每一位學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力都能在已有的水平上提升。如復(fù)習(xí)百分?jǐn)?shù)時(shí)出示：商場(chǎng)搞活動(dòng)，所有服飾類物品一律八折銷售。（1）一套西服原價(jià)950元，現(xiàn)在多少錢可以買到？（2）一條連衣裙原價(jià)700元，實(shí)際買到時(shí)節(jié)約了多少錢？（3）李阿姨買了一件羊毛衫，省了120元。這件羊毛衫原價(jià)應(yīng)是多少錢？

這是一道典型的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用的練習(xí)題，但是卻分成了不同難度的三個(gè)小題，各小題的練習(xí)目標(biāo)依次是鞏固“已知一個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù)的百分之幾是多少”“一個(gè)數(shù)減去它的百分之幾是多少”和“已知一個(gè)數(shù)減去它的百分之幾后的得數(shù)，求這個(gè)數(shù)”。這樣的題組設(shè)計(jì)，先是順向思維，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，后是逆向思維，提升思考能力，滿足了不同層次學(xué)生的練習(xí)需求。

2. 針對(duì)知識(shí)的易混淆處

六年的數(shù)學(xué)知識(shí)細(xì)碎繁雜，概念抽象，學(xué)生易混淆。但這是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，具體的操作方法是厘清相關(guān)知識(shí)的前瞻和后延，針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤，進(jìn)行對(duì)比練習(xí)，讓他們?cè)诒容^中抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，抽絲剝繭般地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的思想方法。如復(fù)習(xí)比和比例時(shí)出示：

（1）一項(xiàng)工程，甲完成要5小時(shí)，乙完成要4小時(shí)，甲、乙兩人的工作效率比是________。

（2）從甲地到乙地，客車要行1/4小時(shí)，貨車要行2/3小時(shí)，客車與貨車的速度比是________。

由于工作總量一定，工作時(shí)間和工作效率成反比，甲、乙兩人的工作時(shí)間的比是5∶4，所以甲、乙兩人的工作效率比是4∶5，同理可以解決第（2）題。這樣針對(duì)易混淆的知識(shí)進(jìn)行對(duì)比練習(xí)，易于化濁為清，明晰概念。

3. 針對(duì)知識(shí)的重難點(diǎn)處

數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立存在的，彼此間既有層次，又有關(guān)聯(lián)，而重難點(diǎn)知識(shí)好比“神經(jīng)元”，各種細(xì)小的基礎(chǔ)知識(shí)連起來好比“神經(jīng)纖維”，只有凸顯出“神經(jīng)元”，知識(shí)網(wǎng)狀的整體性才得以明晰。針對(duì)性地復(fù)習(xí)重難點(diǎn)知識(shí)，有利于強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí)，讓其數(shù)學(xué)思維變得有序且深刻。如復(fù)習(xí)平面圖形的面積時(shí)出示：如圖3，在方格紙上畫出與給定的平行四邊形面積相等的圖形，你能畫出幾個(gè)？你發(fā)現(xiàn)了什么？

此題主要溝通不同平面圖形形狀不同、面積相同時(shí)底和高之間的關(guān)系。學(xué)生通過觀察長(zhǎng)方形、正方形、三角形、梯形、平行四邊形的面積，從而得出它們都可以用（a+b）h÷2的面積計(jì)算公式，進(jìn)而體會(huì)“變中不變”的思想，發(fā)展空間觀念。

[?] 三、綜合性復(fù)習(xí)題，讓思維更靈活

綜合性是指將不同的知識(shí)融合在一個(gè)情境之中。創(chuàng)設(shè)綜合性的復(fù)習(xí)題，是為了更好地激發(fā)學(xué)生的求知欲，提高復(fù)習(xí)的效率，同時(shí)讓學(xué)生在解決問題中培養(yǎng)思維的靈活性。

1. 數(shù)學(xué)與實(shí)際生活相融合

以現(xiàn)實(shí)世界為背景和實(shí)際生活問題為引導(dǎo)，帶動(dòng)知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)，既能解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，又能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，變枯燥為生動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)可持續(xù)發(fā)展。如在整理復(fù)習(xí)“統(tǒng)計(jì)與概率”這一相關(guān)知識(shí)時(shí)，教師結(jié)合“新冠疫情”來設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題：以收集的2020年2月3日—2月13日全國(guó)30個(gè)省區(qū)市和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)新冠肺炎新增確診病例數(shù)量為例（如圖4，數(shù)據(jù)來源：國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)官方網(wǎng)站），要求學(xué)生繪制統(tǒng)計(jì)圖，分析數(shù)據(jù)，談發(fā)現(xiàn)、說感想和提建議。

學(xué)生在經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的過程中，復(fù)習(xí)了數(shù)據(jù)的收集、整理和分析的步驟與方法，同時(shí)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了統(tǒng)計(jì)的現(xiàn)實(shí)意義，感受了統(tǒng)計(jì)與生活的緊密聯(lián)系，并能引發(fā)對(duì)數(shù)據(jù)變化正確預(yù)測(cè)的思考。

2. 數(shù)學(xué)與其他學(xué)科相融合

數(shù)學(xué)不是一門孤立的學(xué)科，而應(yīng)融入各學(xué)科組成的大知識(shí)之中，所以要關(guān)注數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的融合，要讓學(xué)生善于應(yīng)用數(shù)學(xué)和喜歡數(shù)學(xué)。設(shè)計(jì)與多學(xué)科相融合的復(fù)習(xí)題，也是增強(qiáng)學(xué)生綜合能力的一種手段。如復(fù)習(xí)體積時(shí)出示：怎樣測(cè)量一個(gè)馬鈴薯的體積？對(duì)于不規(guī)則物體的體積測(cè)量，需要用到轉(zhuǎn)化的思想，轉(zhuǎn)化的途徑多樣，用得較多的是物理的方法——排水法。而要利用這一方法測(cè)出馬鈴薯的體積，學(xué)生需要對(duì)實(shí)驗(yàn)程序有一定的統(tǒng)籌與安排。①杯中放入部分水，測(cè)量出水的高度h1;②將馬鈴薯完全浸沒于水中，記錄水的高度h2;③用皮尺測(cè)量出杯底周長(zhǎng)，從而推算出半徑r;④根據(jù)水排開的體積就是馬鈴薯的體積，利用V=Sh=πr2（h2-h1），求出其體積。將數(shù)學(xué)與物理相結(jié)合，體會(huì)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性，也為學(xué)習(xí)初中物理利用排水法求相關(guān)物體密度等知識(shí)積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3. 數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)間相融合

數(shù)學(xué)知識(shí)間具有逐步遞進(jìn)的關(guān)系，有著一定的合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。復(fù)習(xí)題應(yīng)注重內(nèi)部知識(shí)間的融合，教師應(yīng)將一道題精講、講透、講活，由此真正提高復(fù)習(xí)的效率。比如教學(xué)等底等高的長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和圓錐的體積時(shí)，設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題：如果圓柱體積是1立方分米，則圓錐的體積是多少？圓錐的底面積是多少？那么，正方體的表面積又是多少？如果圓錐體積要和長(zhǎng)方體的體積相等，高度應(yīng)該怎么變化？要使高度不變，圓錐的底面積又和正方體的底面積成什么關(guān)系？同一道題，不同的切入點(diǎn)，就有不同的思維深度。

[?] 四、開放性復(fù)習(xí)題，讓思維更具獨(dú)創(chuàng)性

開放性是指學(xué)生不拘泥于單一內(nèi)容和形式，解決問題時(shí)可以有不同的方式，也可以得到不同的答案。復(fù)習(xí)中，開放的題型以意識(shí)的創(chuàng)新為引導(dǎo)，以思維的新度為側(cè)重點(diǎn)，以思維的發(fā)散為核心。培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性，大致分為以下三類：

1. 條件開放，一題多變，培養(yǎng)舉一反三的能力

通過改變條件，題型變得接近卻又不盡相同，學(xué)生在變式中厘清概念，追本溯源，能夠有效克服定式思維的負(fù)遷移，從而培養(yǎng)舉一反三的能力。

題1 ?一根繩子被剪成兩段，第一段長(zhǎng)米，第二段占全長(zhǎng)的，這兩段繩子相比（ ? ?）。

A. 第一段長(zhǎng) B. 第二段長(zhǎng)

C. 一樣長(zhǎng) D. 無(wú)法比較

題2 ?兩根同樣長(zhǎng)的繩子，第一根剪去它的米，第二根剪去它的，剩下的兩段繩子相比（ ? ?）。

A. 第一段長(zhǎng) B. 第二段長(zhǎng)

C. 一樣長(zhǎng) D. 無(wú)法比較

類似的情境，數(shù)據(jù)相同，求解時(shí)都需要真正去理解單位“1”的含義。學(xué)生只有通過變化個(gè)別條件，進(jìn)行對(duì)比練習(xí)，才能做出正確的選擇。

2. 方法開放，一題多解，培養(yǎng)發(fā)散變通的能力

方法的開放可以理解為解決問題的多元化，多元化并不是形式的多元，而是新思路、新視角的多元。但是有時(shí)并不是思路越多樣越好，而是應(yīng)在“優(yōu)化”的前提下，重視方法間的比較，引導(dǎo)“多元化”的達(dá)成，這才是思維發(fā)散變通的本質(zhì)。

如數(shù)學(xué)書90頁(yè)的第11題：把一個(gè)棱長(zhǎng)6cm的正方體切成棱長(zhǎng)2cm的小正方體，可以得到多少個(gè)小正方體？它們的表面積之和比原來大正方體的表面積增加了多少？

對(duì)于第二問，學(xué)生思考時(shí)借助畫圖來直觀分析題意，從而理出不同的解題思路：可以是先求出所有小正方體的表面積之和，再減去原來大正方體的表面積;也可以是直接求出大正方體被切割后增加的表面積，沿著長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向各切2次，一共就切了6次，每切一次就增加2個(gè)大正方形的面積，也就總共增加了6×2=12個(gè)大正方形的面積。

3. 結(jié)論開放，多題一解，培養(yǎng)概括歸納的能力

一題可以有不同結(jié)論，當(dāng)然，多題也可以有同一結(jié)論。結(jié)論的開放，需要學(xué)生在各種數(shù)學(xué)現(xiàn)象中“撥云見日”，梳理出關(guān)聯(lián)性，分離出問題核心，區(qū)分出相同本質(zhì)。

題3 ?擺一擺，找規(guī)律。

（1）用小棒擺三角形，按照?qǐng)D5擺放的規(guī)律，每多搭1個(gè)三角形就要增加多少根小棒？

（2）擺第7個(gè)圖形需要用多少根小棒？

（3）擺第n個(gè)圖形需要用多少根小棒？

在觀察比較中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)小棒根數(shù)與三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系：以第1根小棒數(shù)為基準(zhǔn)，添上2根，就成為一個(gè)三角形，再添2根，就再增加1個(gè)三角形，那么，新增n個(gè)三角形需要增加2n根小棒，加上基準(zhǔn)的1根小棒，便是2n+1，所以擺第n個(gè)圖形需要用2n+1根小棒。

當(dāng)然，這樣的結(jié)論也適用于擺正方形：用火柴按照?qǐng)D6的方法擺正方形（每條邊擺1根火柴），照這樣，擺15個(gè)正方形共需要（ ? ）根火柴。

A. 45 ? ? B. 46 ? ? C. 60

不管是三角形，還是正方形，抑或是五邊形，其實(shí)都是“新瓶裝舊酒”，學(xué)生在這樣的開放式題目中，一一試錯(cuò)，一一提煉，一一厘清，在特殊中找到一般，從具體中抽象出模型，進(jìn)而培養(yǎng)概括歸納的能力。

[?] 五、遷移性復(fù)習(xí)題，讓思維更敏捷

遷移性可以理解為學(xué)生已獲得的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)完成其他學(xué)習(xí)活動(dòng)產(chǎn)生的影響。如果復(fù)習(xí)時(shí)，學(xué)生的練習(xí)沒有得到層層推進(jìn)，沒有發(fā)生知識(shí)遷移，那么學(xué)生的獲得也只能夠停留在知識(shí)層面，不能夠有思維的提升，也難有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。

“用一根長(zhǎng)24cm的鐵絲圍一個(gè)長(zhǎng)方體（或正方體）框架。在這個(gè)長(zhǎng)方體（或正方體）的表面糊一層紙，怎樣用紙最多？”

此復(fù)習(xí)題是關(guān)于已知立體圖形的總棱長(zhǎng)求此立體圖形的最大面積的問題。此復(fù)習(xí)題對(duì)學(xué)生來說有一定難度，只有遷移到更為低階的知識(shí)或方法，才能更好地理解此問題的解決方法。

解決前，可通過厘清兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)方法的遷移，一是周長(zhǎng)相等時(shí)，長(zhǎng)方形與正方形相比，正方形的面積最大;二是底面周長(zhǎng)和高相等時(shí)，長(zhǎng)方體與正方體相比，正方體的體積最大。由這兩個(gè)稍微低階的問題，類比遷移來解決此復(fù)習(xí)題，學(xué)生便能理解總棱長(zhǎng)一定的長(zhǎng)方體與正方體相比，正方體的表面積最大，其表面糊一層紙的紙量也最多。在這里，教師要告知學(xué)生正方體是特殊的長(zhǎng)方體。

[?] 六、文化性復(fù)習(xí)題，讓思維更廣闊

文化性凸顯數(shù)學(xué)的精神、思想及方法的形成和發(fā)展。學(xué)生通過涉獵具有數(shù)學(xué)文化性的復(fù)習(xí)題，不僅能理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵，還能了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的重要性，在開闊數(shù)學(xué)視野的同時(shí)培養(yǎng)思維的廣闊性。

比如，在我國(guó)古代，隨著農(nóng)業(yè)的發(fā)展，各種谷倉(cāng)、糧庫(kù)容積的計(jì)算也益加繁重，到《九章算術(shù)》成書時(shí)代，我國(guó)的各種幾何體體積公式都已具備，如計(jì)算堆積的方法，以編成歌訣的形式在古代民間廣泛應(yīng)用：尖堆法用三十六，倚壁須分十八停。內(nèi)角聚時(shí)如九一，外角三九甚分明。

每一句表達(dá)一種形式的堆積公式。比如第一句的意思：糧食堆積在平地上成圓錐體，其體積為底面周長(zhǎng)的平方乘高，再除以36，即平地堆積=C2h。

試根據(jù)上面的平地堆積公式求下面圓錐的體積：一個(gè)圓錐形沙堆的底面周長(zhǎng)是6米，高是2米，它的體積是多少？

“解題不單單是為了找到答案，應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)這樣一種對(duì)待習(xí)題的態(tài)度，即把習(xí)題看作精密研究的對(duì)象，而把解答習(xí)題看作設(shè)計(jì)和發(fā)明的目標(biāo)?！?衡量數(shù)學(xué)習(xí)題質(zhì)量的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)就是所設(shè)計(jì)的習(xí)題是否能充分引起學(xué)生思考，使學(xué)生在鞏固知識(shí)的同時(shí)，思維也得到發(fā)展?？傊?，復(fù)習(xí)題把握住自主性、針對(duì)性、綜合性、開放性、遷移性和文化性，有助于學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中找尋到數(shù)學(xué)的影子，點(diǎn)燃探索的好奇火種，用數(shù)學(xué)的理性角度去思考問題，認(rèn)識(shí)世界，并在解決問題中，讓思維“活”起來。