指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)路徑探尋

杜曉琳

[摘 ?要] 文章以“二次函數(shù)”教學(xué)為例，提出初中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)路徑，即培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，用數(shù)學(xué)的眼光審視世界;培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題;培養(yǎng)學(xué)生的思考能力，用數(shù)學(xué)的思維去分析解決問題;培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，嘗試在現(xiàn)實背景中解決實際問題.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng);教學(xué)路徑

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)建模教學(xué)可以簡化為三個階段，一是根據(jù)現(xiàn)實生活或具體情境，提出一個數(shù)學(xué)問題;二是用數(shù)學(xué)的語言表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系或空間形式，在這一階段，學(xué)生需要經(jīng)歷觀察分析、抽象概括、選擇判定等數(shù)學(xué)活動，進(jìn)而獲得數(shù)學(xué)模型;三是利用模型求得數(shù)學(xué)問題的結(jié)果，用數(shù)學(xué)問題的結(jié)果去解釋現(xiàn)實問題的意義[1]. 如何提高學(xué)生的建模素養(yǎng)呢？對此，筆者以“二次函數(shù)”教學(xué)為例進(jìn)行探討.

培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，用數(shù)學(xué)的眼光審視世界

從現(xiàn)實生活中抽象出數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)，對于具體的情境，觀察問題不能流于形式，要培養(yǎng)學(xué)生一雙數(shù)學(xué)的眼睛，用數(shù)學(xué)的眼光審視世界，形成用數(shù)學(xué)思考的意識，看出其中存在的數(shù)學(xué)模型.

比如，在九年級下冊的“二次函數(shù)”教學(xué)中，筆者設(shè)計如下現(xiàn)實情境：請同學(xué)們根據(jù)以下現(xiàn)實問題列出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式. （1）生物園飼養(yǎng)小白兔，用16 m長的籬笆圍成一個長方形的兔舍，已知圍成的長方形的長為x m，請用含x的關(guān)系式表示圍成的長方形的面積. （2）今年一月份某工廠防疫護(hù)目鏡的產(chǎn)量是20萬件，計劃之后每月增加產(chǎn)量，且月平均增長率均為x，求第一季度防疫護(hù)目鏡的產(chǎn)量y萬件與x之間的關(guān)系. （3）某賓館有40個房間供游客居住，當(dāng)每個房間每天的定價為160元時，房間會全部住滿;當(dāng)每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑. 若游客居住房間，則賓館須對居住的房間每天支出20元的各種費(fèi)用. 設(shè)每間房每天定價為x元，賓館每天利潤為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式. 設(shè)計的情境旨在讓學(xué)生通過思考現(xiàn)實問題，實現(xiàn)從現(xiàn)實生活到函數(shù)模型的過渡. 在教學(xué)中，筆者首先讓學(xué)生帶著上述目的去觀察列出的三個現(xiàn)實問題;其次，引導(dǎo)學(xué)生掌握科學(xué)的觀察方法，而觀察的方法比較多，有全面觀察法、對比觀察法等，在觀察之前，要有目的地選擇觀察方法，有重點(diǎn)、有針對性地觀察;最后，要求學(xué)生一邊觀察一邊做好記錄，并根據(jù)上述情境列出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)然對于數(shù)據(jù)較多的數(shù)學(xué)實驗，需要用表格的形式把每一項的結(jié)果表述清楚，有了觀察結(jié)果，后面的總結(jié)便有了方向.

在教學(xué)中，觀察是必需的教學(xué)環(huán)節(jié)，但僅限于觀察遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還要進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，發(fā)現(xiàn)隱含在現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì). 愛因斯坦曾言，學(xué)習(xí)者能否獲得眼前的現(xiàn)象，不是肉眼決定的，而是取決于學(xué)習(xí)者用什么樣的思維去思考，有了什么樣的思想，才會有什么樣的觀察[2]. 因此，教師在設(shè)置情境時，要提出有數(shù)學(xué)思考的問題，讓學(xué)生帶著思考去觀察，培養(yǎng)學(xué)生擁有一雙慧眼，并讓學(xué)生的觀察成為一種習(xí)慣，習(xí)慣養(yǎng)成了，素養(yǎng)的生成自然水到渠成.

培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)能力，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題

數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維可視化呈現(xiàn)的有效載體，因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力就顯得尤為重要. 在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在課堂上有秩序、有邏輯地表達(dá)思維過程，進(jìn)而提高用專業(yè)的數(shù)學(xué)語言表述數(shù)學(xué)問題的能力.

在創(chuàng)設(shè)了“二次函數(shù)”的教學(xué)情境后，筆者引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)關(guān)系式表達(dá)其中的數(shù)量關(guān)系.

生1：因為長方形兔舍的周長為16 m，所以兩鄰邊長之和為8 m，其中長為x m，寬為（8-x）m. 根據(jù)長方形面積公式，得長方形兔舍的面積S=x（8-x），即S=-x2+8x.

生2：因為第一季度包括三個月：一月、二月、三月，一月份的產(chǎn)量為20萬件，其后每月的增長率為x，所以二月份的產(chǎn)量為20（1+x）萬件，三月份的產(chǎn)量為20（1+x）（1+x）=20（1+x）2萬件. 所以y=20+20（1+x）+20（1+x）2.

生3：因為每天每個房間需要支出20元，所以每天每個房間的利潤是（x-20）元. 當(dāng)定價160元時可以住滿40個房間，房價每增加10元，就空閑一個房間，當(dāng)定價x元時，就增加了（x-160）元，空閑了個房間，所以還有

40-

個房間. 根據(jù)總利潤=每間利潤×間數(shù)，所以每天的總利潤=（x-20）

40-

，化簡得y=-x2+58x-1120.

師：以上三個函數(shù)表達(dá)式有何共同特點(diǎn)？請用數(shù)學(xué)語言概括“二次函數(shù)”的概念，列舉有關(guān)“二次函數(shù)”的生活實例.

……

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，不論是方程模型、不等式模型還是函數(shù)模型，教師一般的做法是先出示相關(guān)實際問題，讓學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)表達(dá)式;然后，讓學(xué)生說出表達(dá)式，并觀察這些數(shù)學(xué)表達(dá)式的共同特點(diǎn);最后，總結(jié)概括概念. 但在實際課堂中，學(xué)生不主動表達(dá)成為一種常態(tài)，基于此，教師在課堂教學(xué)中要創(chuàng)造激勵機(jī)制，進(jìn)行積極的正面引導(dǎo)，鼓勵學(xué)生表達(dá)，并對表達(dá)給予積極的評價;同時要給學(xué)生創(chuàng)造表達(dá)的機(jī)會，讓不同層次的學(xué)生在課堂上擁有話語權(quán)，都能在課堂上表達(dá)觀點(diǎn)，放飛思維;要加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言的教學(xué)，要求學(xué)生表達(dá)觀點(diǎn)時，做到有條理、合乎邏輯，能準(zhǔn)確無誤地揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).

培養(yǎng)學(xué)生思考能力，用數(shù)學(xué)的思維去分析解決問題

數(shù)學(xué)沒有思維就失去了靈魂，失去了生命與活力. 因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要以思維為基礎(chǔ)，如此，思維能力提升才能真正落地. 章建躍認(rèn)為，為了從根本上實現(xiàn)數(shù)學(xué)育人，數(shù)學(xué)教學(xué)要特別注重思維教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的思維精神，學(xué)生有了數(shù)學(xué)思維才能對事物做出正確判斷，進(jìn)而形成分析問題、解決問題的方法論.

過去的“二次函數(shù)”教學(xué)，教師比較重視“二次函數(shù)”的概念與一般形式等顯性知識的教學(xué)，對于隱性知識，如程序性知識與策略性知識的教學(xué)存在缺失，致使學(xué)生無法體會概念形成的過程，導(dǎo)致學(xué)生的思維能力得不到培養(yǎng). 本教學(xué)中，筆者通過建立生活情境引導(dǎo)學(xué)生把客觀世界的數(shù)量關(guān)系抽象為函數(shù)關(guān)系，學(xué)生形成了對于“二次函數(shù)”的層進(jìn)式理解，從而構(gòu)建了“二次函數(shù)”的模型. 從領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模的思想來看，基于學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的情境引入，有利于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 通過生活實例來列不同形式的“二次函數(shù)”，學(xué)生對概念的認(rèn)識由模糊到清晰，逐漸建立起“二次函數(shù)”的模型，不難發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)實生活的情境起到了模型化的作用，學(xué)生在列“二次函數(shù)”表達(dá)式的過程中，經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題的過程，從而培養(yǎng)了他們動腦思考的能力.

數(shù)學(xué)知識是對現(xiàn)實知識的提煉與升華. 學(xué)生應(yīng)從現(xiàn)實生活出發(fā)，構(gòu)建屬于自己的數(shù)學(xué)知識，需要注意的是，在教學(xué)中，教師要注意學(xué)生的年齡特征與不同學(xué)段的課標(biāo)要求，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和模型化素養(yǎng)，進(jìn)而使他們用數(shù)學(xué)的思維去分析解決問題.

培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力，嘗試在現(xiàn)實背景中解決實際問題

心理學(xué)研究表明，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)模型后，一旦不及時鞏固與內(nèi)化，很快就會遺忘. 數(shù)學(xué)建模要求學(xué)生從實際情境設(shè)計解決問題的方案，然后加以實施. 教學(xué)中，教師可以設(shè)置具有層次性的現(xiàn)實問題，讓學(xué)生在解決問題中，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實問題的能力.

比如，在“二次函數(shù)”的綜合運(yùn)用教學(xué)中，筆者設(shè)計了兩個層次的問題：

（1）如圖1所示，一座橋孔為拋物線形的拱橋，當(dāng)水面寬AB為12m時，橋孔頂部離水面4m，若水面上漲1m，求此時橋孔的寬.

（2）某店進(jìn)購一種紅酒，每瓶進(jìn)價為50元，該店月銷售量y（瓶）與每瓶的售價x（元/瓶）滿足一次函數(shù)關(guān)系，如表1：（售價不低于進(jìn)價），（1）求出該店月銷售量y（瓶）與售價x（元/瓶）之間的一次函數(shù)關(guān)系式;（2）若這種紅酒的每瓶利潤不允許高于進(jìn)價的30%，設(shè)此店銷售這種紅酒每月的總利潤為w（元），那么售價定為多少可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

第一個問題考查學(xué)生能否建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求得拋物線的“二次函數(shù)”關(guān)系式，然后利用拋物線的對稱性求得橋孔的寬度，旨在考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力. 第二個問題考查學(xué)生能否根據(jù)實際問題建立“二次函數(shù)”關(guān)系式，然后利用“二次函數(shù)”最值的性質(zhì)求得最大利潤，旨在考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力. 問題1和問題2都是“二次函數(shù)”在生活中的具體應(yīng)用，筆者讓學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組合作討論，既認(rèn)識了“二次函數(shù)”的一般化形式，又體會了“二次函數(shù)”的應(yīng)用價值. 從中領(lǐng)悟到現(xiàn)實情境是生活化的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)模型是形式化、簡約化的生活的奧妙.

總之，數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目的是培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力、精確的表達(dá)力、靈活的思維力與綜合的運(yùn)用力. 教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生為主體，以問題為主線，以核心素養(yǎng)為目標(biāo)，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)能動性.

參考文獻(xiàn)：

[1]吳香秀. 培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力 落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J]. 初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2020（10）：16-18.

[2]沈磊. 數(shù)學(xué)建模：從方法到思想——兼對初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地的思考[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（32）：37-38.