讓學(xué)生的思維向深度不斷漫溯

林鋒

[摘 ?要] 文章“用配方法解一元二次方程”教學(xué)為例，提出促進(jìn)學(xué)生思維不斷發(fā)展的教學(xué)路徑，即創(chuàng)設(shè)情境，引入新知;思維展現(xiàn)，形成新知;師生互動(dòng)，掌握方法;思維升級(jí)，逐步轉(zhuǎn)化. 讓學(xué)生從質(zhì)疑開(kāi)始，在類(lèi)比中感悟，在聯(lián)想中領(lǐng)悟，促進(jìn)學(xué)生的思維向深處不斷漫溯.

[關(guān)鍵詞] 配方法;方程;數(shù)學(xué)思維

目前，教學(xué)投機(jī)性與教學(xué)功利性的現(xiàn)象依然存在，部分教師大量使用導(dǎo)學(xué)案、導(dǎo)讀單，直接呈現(xiàn)問(wèn)題的結(jié)論，沒(méi)有讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與探究數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，忽略了學(xué)生思維的發(fā)展. 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法或模型時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)、方法或模型的產(chǎn)生發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生在自我發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造中實(shí)現(xiàn)思維的深入發(fā)展. 下面以“用配方法解一元二次方程”教學(xué)為例進(jìn)行說(shuō)明、分析.

教學(xué)過(guò)程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

問(wèn)題1：目前，以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，某市2019年底有5G用戶2萬(wàn)戶，2021年底全市5G新增用戶為3.92萬(wàn)戶，求全市5G用戶數(shù)年平均增長(zhǎng)率.

問(wèn)題2：目前，以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，某市2019年底有5G用戶2萬(wàn)戶，2021年底全市5G用戶累計(jì)達(dá)到8.72萬(wàn)戶，求全市5G用戶數(shù)年平均增長(zhǎng)率.

生：?jiǎn)栴}1，設(shè)全市5G用戶數(shù)年平均增長(zhǎng)率為x，則2020年底5G的用戶數(shù)為2（1+x），2021年底5G的用戶數(shù)為2（1+x）2，根據(jù)題意，得2（1+x）2=3.92，（1+x）2=1.96，1+x=±1.4，所以x=0.4=40%，x= -2.4（舍去）. 因此全市5G用戶數(shù)年平均增長(zhǎng)率為40%.

師：關(guān)于解一元二次方程，有幾種方法？你使用的是哪一種解法呢？為什么可以用這種方法呢？

生：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩種解一元二次方程的方法，即直接開(kāi)平方法與因式分解法，這里使用的是直接開(kāi)平方法，因?yàn)檫@個(gè)方程有ax2=b（a，b>0）的特征.

師：這位同學(xué)不僅回答了使用哪種方法，而且說(shuō)明了使用這種方法的理由，即必須具有一定特征的方程才可以使用直接開(kāi)平方法.

設(shè)計(jì)意圖 ?教學(xué)中，應(yīng)尊重學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生經(jīng)歷自己發(fā)現(xiàn)并歸納新知的過(guò)程. 本環(huán)節(jié)教學(xué)，筆者設(shè)置了兩個(gè)彼此關(guān)聯(lián)的實(shí)際問(wèn)題情境，讓學(xué)生回顧直接開(kāi)平方法的運(yùn)用過(guò)程，體驗(yàn)直接開(kāi)平方法的運(yùn)用. 問(wèn)題2旨在說(shuō)明學(xué)習(xí)新方法的必要性，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，為新知的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

2. 思維展現(xiàn)，形成新知

師：如何解決問(wèn)題2呢？

生：設(shè)全市5G用戶數(shù)年平均增長(zhǎng)率為x，則2020年底5G用戶有2（1+x）萬(wàn)戶，2021年底5G用戶有2（1+x）2萬(wàn)戶，依題意得2+2（1+x）+2（1+x）2=8.72，整理后得x2+3x-1.36=0， 不能用因式分解法來(lái)解，怎么辦呢？

師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真思考一下有沒(méi)有什么好的辦法.

生：如果可以把x2+3x-1.36=0轉(zhuǎn)化為ax2=b（a，b>0）的形式，就可以使用直接開(kāi)平方法來(lái)解了，那如何轉(zhuǎn)化呢？

師：同學(xué)們想一想，對(duì)于a2+2ab，如何才能轉(zhuǎn)化為（a+b）2的形式呢？如果能把x2+3x轉(zhuǎn)化為（a+b）2的形式，是不是就可以使用直接開(kāi)平方法來(lái)解了？

生：x2+3x+

2=

x+2，可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，但是如何處理-1.36這個(gè)常數(shù)項(xiàng)呢？同時(shí)也不能在方程里突然加上一個(gè)數(shù)

2.

生：為了使方程的左邊加上

2之后，所得結(jié)果仍是等式，可以在方程的右邊也加上

2，而原來(lái)的常數(shù)項(xiàng)可以移項(xiàng)到方程的右邊變?yōu)檎龜?shù). 即x2+3x+

2=

2+1.36，即

x+2=3.61，x+1.5=±1.9，所以x=0.4=40%，x= -3.4（舍去）.

師：同學(xué)們通過(guò)配成完全平方式的方法，把一個(gè)二次三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)完全平方式，其中運(yùn)用的是完全平方公式. 像上面這樣，把一個(gè)一元二次方程的左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，這樣方程就可以用直接開(kāi)平方法來(lái)解，這種解一元二次方程的方法就叫配方法.

設(shè)計(jì)意圖 ?從特殊到一般是數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想. 本環(huán)節(jié)由特殊形式的一元二次方程到一般形式的一元二次方程，教師啟發(fā)學(xué)生通過(guò)變形方程，把一般形式轉(zhuǎn)化為特殊形式，即把一般形式的一元二次方程轉(zhuǎn)化為ax2=b（a，b>0）的形式，從而引出了配方法，這是一個(gè)把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為舊問(wèn)題的過(guò)程. 學(xué)生運(yùn)用類(lèi)比的方法，展現(xiàn)了思維過(guò)程，訓(xùn)練了語(yǔ)言表達(dá)能力與概括能力，促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

3. 師生互動(dòng)，掌握方法

師：運(yùn)用完全平方公式把一般形式的一元二次方程轉(zhuǎn)化為ax2=b（a，b>0）的形式，是用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵所在. 那運(yùn)用該方法解題的具體步驟是怎樣的？

生：第一步把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)放在方程的右邊;第二步在方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方;第三步寫(xiě)成完全平方式;第四步開(kāi)平方;第五步求出未知數(shù)的值.

師：這位同學(xué)總結(jié)得很到位，那么對(duì)于x2-8x+1=0該如何配方呢？

生：移項(xiàng)，得x2-8x=-1，配方，得x2-8x+16=-1+16，（x-4）2=15，開(kāi)方，得x-4=±，所以x=+4，x= -+4.

設(shè)計(jì)意圖 ?用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是配方，即方程兩邊都加上多少才能形成完全平方. 本環(huán)節(jié)首先讓學(xué)生根據(jù)上述解答過(guò)程總結(jié)歸納利用配方法解一元二次方程的一般過(guò)程，然后給出一個(gè)簡(jiǎn)單的例子讓學(xué)生嘗試配方，加深學(xué)生對(duì)配方法的理解. 需要注意的是，關(guān)于一元二次方程形式的變化，學(xué)生學(xué)起來(lái)有一定的難度，教師應(yīng)采用循序漸進(jìn)的方法，促使學(xué)生對(duì)新知識(shí)的進(jìn)一步理解.

4. 思維升級(jí)，逐步轉(zhuǎn)化

師：剛才我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了解一元二次方程x2+3x-1.36=0與x2-8x+1=0，那么如何求解一元二次方程2x2-4x=15呢？

生：首先在方程的兩邊都除以2，得x2-2x=. 然后在方程兩邊都配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得x2-2x+1=+1. 配方，得（x-1）2=，開(kāi)平方，得x-1=±，所以x=+1，x= -+1.

師：這位同學(xué)的做法很好！這道題與上面兩道有何不同？解決方案又有何不同呢？

生：此方程的二次項(xiàng)系數(shù)不是1，而上面兩道方程的二次項(xiàng)系數(shù)都是1，因此在解這個(gè)方程時(shí)，比上面兩個(gè)方程多了一個(gè)步驟，即把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，其他的步驟都是一樣的.

師：請(qǐng)同學(xué)們嘗試解一元二次方程3x2-6x-4=0.

生：移項(xiàng)，得3x2-6x=4，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2-2x=，配方，得x2-2x+1=+1，即（x-1）2=，開(kāi)平方，得x-1= ±，所以x1=1+，x2=1-.

設(shè)計(jì)意圖 ?學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一般規(guī)律是從易到難，在上述整個(gè)教學(xué)過(guò)程中就遵循了這個(gè)規(guī)律. 首先嘗試解特殊形式的一元二次方程，再解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，最后拓展為二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程. 在學(xué)生已掌握二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程解法的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過(guò)類(lèi)比的方法嘗試解決二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程. 如何把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為舊問(wèn)題呢？教師引導(dǎo)學(xué)生利用等式的性質(zhì)，先在方程的兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后再配方，最后利用配方法的一般步驟完成解答. 這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)符合教學(xué)規(guī)律與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，促進(jìn)了學(xué)生思維的進(jìn)一步深入，有效發(fā)展了學(xué)生的思維能力.

教學(xué)啟示

1. 由質(zhì)疑開(kāi)始

質(zhì)疑有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生思考的積極性，是探索新知識(shí)的有效路徑. 教學(xué)中，筆者通過(guò)設(shè)置實(shí)際問(wèn)題情境引發(fā)學(xué)生思考，問(wèn)題1能利用直接開(kāi)平方法求解，問(wèn)題2不能用直接開(kāi)平方法求解，說(shuō)明了配方法的必要性. 學(xué)生在質(zhì)疑過(guò)程中，激發(fā)了求知欲，為新知的學(xué)習(xí)做了鋪墊.

2. 在類(lèi)比中感悟

所謂類(lèi)比是指把屬性相同的兩個(gè)對(duì)象進(jìn)行對(duì)比，從而猜想在其屬性上也具有相似或相同的思維方法. 如教學(xué)中通過(guò)問(wèn)題2與問(wèn)題1的類(lèi)比，啟發(fā)學(xué)生利用完全平方式轉(zhuǎn)化一元二次方程，得到如問(wèn)題1中的一元二次方程的特殊形式. 學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的形成發(fā)展過(guò)程，引申出了配方法. 又如通過(guò)二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程與二次項(xiàng)系數(shù)不為1的方程之間的類(lèi)比，讓學(xué)生感悟并總結(jié)配方法的一般步驟.

3. 在聯(lián)想中領(lǐng)悟

解一般形式的一元二次方程，學(xué)生先聯(lián)想形如x2=a的形式，然后聯(lián)想到完全平方公式，在聯(lián)想中，學(xué)生二次創(chuàng)造出配方法. 通過(guò)知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)、形式的關(guān)聯(lián)、方法的關(guān)聯(lián)，為二次創(chuàng)造新方法指引了方向，在新舊知識(shí)間建立了聯(lián)系，把新知識(shí)融入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，加強(qiáng)了學(xué)生思維的邏輯性與全面性，促進(jìn)了學(xué)生思維向深度不斷漫溯.