運用信息技術突破初中數學函數教學的難點
——以二次函數動點問題為例

廣東省佛山市順德區(qū)沙滘初級中學(528315)李逸城

《義務教育數學課程標準》實施建議中明確提出:“信息技術可以豐富為學生展示各種資料的方法,比如聲音、文字以及圖像等,而且在選擇和具體呈現方面更加靈活;而且可以通過各種情境來組織教學活動,使學生能夠更好的感受沉浸式教學;也保證是學生在進行數學探究的過程中有了更多可用工具;即使雙方的距離再遠,也可以面對面的交流.該技術使數學學習的方式得以從根本上改變,所以在數學教學中一定要充分發(fā)揮信息技術的作用.

在數學教學過程中,將數學與信息技術相結合已經作為一種常用的整合方式,使學生更深入地理解數學,掌握數學.因此信息技術和數學教學的充分融合,也充分體現出了其價值.比如初中數學教學過程中的幾何畫板,就是經濟技術運用的成功案例.幾何畫板具有動態(tài)效果呈現的功能,極大的方便了教師做數學中設計動態(tài)的研究.

在近年的廣東省中考中,無論是幾何還是代數,都可能會以函數作為知識背景,在解決問題時得到充分展現.而二次函數作為中考的必考知識點,也是難點,通常以動點類壓軸題類型出現,可見它占據著非常重要的地位.因此,在教學中,若能將信息技術與二次函數相關內容融合,能使抽象的函數知識變得更生動形象易懂,學生不再畏難排斥,同時也充分調動學生積極性,求知欲.以下,筆者將以二次函數的動點問題與信息技術的深度融合應用展開分析.

1 二次函數綜合題中由動點產生的線段問題

例1如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A,B(1,0)兩點,與y軸交于點C,直線y=x-2 經過A,C兩點,拋物線的頂點為D.

(1)求拋物線的解析式;

(2)設點P為位于直線AC上方拋物線上一動點且與點A、C不重合,過點P作y軸的平行線交直線AC于點H,當PH值最大時,求點P的坐標;

(3)在y軸上是否存在一點G,使得GD+GB的值最小? 若存在,求出點G的坐標;若不存在,請說明理由.

分析若學生在初次接觸此類題目時,會被第2、3 小問難倒,可能會無從下手.很多同學在第一次做類似第2 問時,會連蒙帶猜,用自己的感覺認為點P在頂點時,PH的值最大來求解.

對于第(2)問,用幾何畫板來驗證部分學生感觀意識給自己的錯覺.將PH由左到右依次拉動,讓學生感受它的變化(如圖1,2,3,4).

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

接下來就是求點G的坐標了,只要把直線B′D的解析式求出,把x=0 代入則可得出結果.

通過動態(tài)展示,學生更透徹地理解“將軍飲馬”問題,舉一反三,有時問題為求某個三角形周長最小,多數情況也是轉化為以上問題,在講解時,讓學生總結規(guī)律,則可以在二次函數中輕松解決類似問題.

針對以上二次函數動點問題,教師適當運用信息技術來輔助教學,特別是剛開始接觸此類題型時,注意“化靜為動”的方法,教師可以把一些抽象的問題轉化為形象生動具體的動態(tài)過程,在這個過程中,學生能夠深入的感知知識,同時總結學習方法,給后續(xù)的數學學習奠定基礎.

2 二次函數綜合題中由動點產生的面積問題

例2如圖,拋物線y=ax2+bx+c的圖象過點A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對稱軸上有沒有P點存在,從而保證ΔPAC周長最小,假如存在,計算出點P的的實際坐標和ΔPAC最小周長值;假如不存在,說明原因;

(3)在(2)的條件下,在x軸上方的拋物線上是否存在點M(不與C點重合),使得SΔPAM=SΔPAC? 若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

分析第(2)小問與前面例1 中的“將軍飲馬”問題是同一類型,通過做對稱點,結合兩點間線段最短即可解決(如圖8),在此不作展開.

圖8

第(3)小問涉及動點中的面積,由(2)得出點P的位置,ΔPAC是定點三角形,點M為動點,通過幾何畫板演示點M的運動,找出SΔPAM=SΔPAC,再結合所學知識總結方法.

借助信息技術,以及學生觀察交流,總結方法.由于兩三角形等面積,當兩三角形以PA為底時,高相等,即點C和點M到直線PA距離相等.

情形1: 若點M在點P上方,則有CM//PA.如圖9,求出直線AP解析式:y=x+1; 可得直線CM解析式為:y=x+ 3; 聯立直線CM和二次函數的方程組即可求出點M的坐標.

圖9

情形2: 若點M在點P下方,如圖10,則點M所在的直線l//PA,且直線l到PA的距離等于直線y=x+3 到PA的距離.直線AP:y=x+1 向下平移2 個單位得y=x-1即為直線l的解析式,同理,聯立直線l和二次函數的方程組即可求出點M的坐標.(注意: 點M在x軸上方,不符合條件的點需要舍去)

圖10

通過信息技術手段的輔助,觀察動態(tài)變化過程,總結一般的解題方法,這是“化動為靜”的技巧.第(3)小題需要進行分類討論,而兩種情形所用方法原理也是一樣的.在今年廣東省中考綜合題中“分類討論”是?？嫉臄祵W思想方法,在教學中,我們應當特別關注,避免遺漏.

3 二次函數綜合題中由動點產生的相似問題

例3如圖,在直角坐標系中,直線y=-x+3 與x軸,y軸分別交于點B,點C,對稱軸為x=1 的拋物線過B,C兩點,且交x軸于另一點A,連接AC.

(1)直接寫出點A,點B,點C的坐標和拋物線的解析式;

(2)已知點P為第一象限內拋物線上一點,當點P到直線BC的距離最大時,求點P坐標;

拋物線上是否存在一點Q(點C除外),使以點Q,A,B為頂點的三角形與ΔABC相似? 若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

分析第(2)題求點P到直線BC的距離最大,教師可借助幾何畫板畫出PH⊥BC,拉動PH運動,讓學生觀察——猜測——驗證.(如圖11 為拉動過程)

圖11

通過動態(tài)呈現對比發(fā)現,第(2)小題中先“化斜為直”,結合相似或三角函數,把所求的斜的PH轉化至直的PQ,再用例1 中的線段問題解決方法即可攻破.可見,兩道題目雖有不同,卻又有著千絲萬縷的聯系,別有一番滋味.

第(3)小題在之前的學習基礎上,結合信息技術,在呈現動點Q的運動過程中,QA、QB以及相應的角都會發(fā)生變化,要使以點Q,A,B為頂點的三角形與ΔABC相似,學生可得出此類題目一定不止一種情形,要進行分類討論.

情形1: 當點Q在x軸上方時,此時點Q與點C關于函數對稱軸對稱,即點Q,A,B為頂點的三角形與ΔABC全等,則點Q(2,3).(如圖12)

圖12

情形2: 當點Q在x軸下方時,當對應角不同時,就會出現不同的相似情況.

(Ⅰ)當∠BAQ=∠CAB時,,ΔQAB∽ΔBAC,如圖13.

圖13

由勾股定理得:AC=5,過點Q作QD⊥x軸于點D,由ΔQDA∽ΔACO得對應邊成比例,OC=3,∴QH=12,則AH=16,OH=16-4=12,∴Q(12,-12);

啟發(fā)學生,根據點的對稱性,當點Q在第三象限時,點Q(-10,-12); 故此情況下點Q的坐標為:(12,-12)或(-10,-12);(如圖14)

圖14

(Ⅱ)當∠BAQ=∠CBA時,則直線AQ//BC,通過拉動點Q的運動過程,以及結合計算可以得出此情況不存在,因此舍去.

對于二次函數中由動點產生的相似問題,通常要應用分類討論的數學思想,結合動態(tài)的數學思維,運用正確方法來解決相關問題.教師可以通過信息技術來對知識進行動態(tài)化講解,“動靜結合”,動為軌跡、圖形,靜則為方法.

將信息技術和數學課堂有效融合,為學生提供數學學習的方法及解決問題的工具,探索出更多學習與教學方法.本文中涉及的二次函數綜合題中的動點問題往往是中考中的壓軸題,所占分值高,難度大,比較抽象,學生對這類題題意的理解往往很困難,由此形成了教學的難點.信息技術手段的應用為學生的學習提供了更廣大的平臺,幫助學生將抽象的問題形象化,使學生在各種數學活動中投入更多的精力,有助于學生分析問題,解決問題,逐步學會將知識形成方法,方法形成規(guī)律,從而解決教學中的難點.