2021年北京中考幾何綜合題多解及變式分析*

北京亦莊實驗中學(100176)章劍

1 原題呈現(xiàn)

(2021 北京中考第27 題)如圖1,在ΔABC中,AB=AC,∠BAC=α,M為BC的中點,點D在MC上,以點A為中心,將線段AD順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE,連接BE,DE.

圖1

(1)比較∠BAE與∠CAD的大小; 用等式表示線段BE,BM,MD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;

(2)過點M作AB的垂線,交DE于點N,用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系,并證明.

2 解法薈萃

(1)該問相對比較常規(guī),根據(jù)題意將線段AD順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE,則AD=AE,∠DAE=α.因為∠BAC=α,則∠BAE=∠CAD.在ΔBAE和ΔCAD中,得到ΔBAEΔCAD(SAS),所以BE=CD.因為M為BC中點,則BM=CM,經(jīng)過等量代換得到三條線段的關(guān)系為:BM=MD+BE,下面將運用多種方法解答第(2)問.

(2)方法1: 根據(jù)角平分線模型,構(gòu)造“八字型”全等三角形

通過測量大膽假設(shè)NE=ND,接下來需要嚴謹證明,最常用的方法是構(gòu)造全等三角形.先按照題意作圖,如圖2所示,由第(1)問ΔBAEΔCAD,得到∠ABE=∠C=∠ABC,結(jié)合∠ABE=∠ABC以及MH⊥AB這兩個條件,聯(lián)想到“垂直+ 角平分線”模型,因此延長BE交MN所在直線于點F,過D點作BE的平行線交MN所在直線于點G,輔助線如圖3所示.先證明ΔFHBΔMHB,得到BF=BM,∠F=∠1,結(jié)合第(1)問的結(jié)果BM=MD+BE,則EF=BF-BE=BM-BE=(MD+BE)-BE=MD.由DG//BF,得到∠F=∠G=∠1=∠2,則ΔDMG為等腰三角形,所以MD=DG=EF.在ΔFEN和ΔGDN中,

圖2

圖3

所以ΔFENΔGDN(AAS),于是得到NE=ND,結(jié)論得證.當然構(gòu)造“八字型”全等三角形的輔助線方法不止一種,但是思路大同小異,在此不再贅述.

方法2: 構(gòu)造中位線模型

證明M點為DE中點,可以從構(gòu)造中位線模型入手,如圖4,在線段BM上截取BF=BE,連接EF,由方法1 可以得到∠ABE=∠ABC,又因為BF=BE,根據(jù)等腰三角形三線合一,得到AB⊥EF,由于AB⊥MH,則EF//MH,因為BM=CM,CD=BE=BF,所以MF=MD,即M為DF中點,且EF//MN,所以N為ED的中點,即NE=ND,結(jié)論得證.

圖4

圖5

圖6

圖7

3 題目變式

變式1: 當D點在線段BM上或者BC的延長線上時,結(jié)論是否仍成立?

當D點在BM上時,如圖8所示,結(jié)論仍成立.在此只利用構(gòu)造中位線的方法證明,其它方法讀者可自行證明.在線段BM上截取BF=BE,連接EF,由方法1 可以得到∠ABE=∠ABC,又因為BF=BE,根據(jù)等腰三角形三線合一,得到AB⊥EF,由于AB⊥MH,則EF//MH,因為CD=BE=BF,所以BD=FC,又因為BM=CM,則DM=MF,即M為DF中點,且EF//MN,所以N為ED的中點,即NE=ND,結(jié)論得證.

圖8

圖9

變式2: 交換題目條件和結(jié)論,命題是否成立?

如圖10,在ΔABC中,AB=AC,∠BAC=α,M為BC的中點,點D在MC上,以點A為中心,將線段AD順時針旋轉(zhuǎn)得到線段AE,連接BE,DE.N為DE中點,連接MN,并延長MN交AB與H點,求證MH⊥AB.

在此只采用四點共圓的方法進行求證.如圖11所示,連接AN,AM,因為∠DAE=∠BAC=α,AE=AD,AB=AC,M和N分別為BC和DE的中點,所以所以A、N、M、D四點共圓,則所以∠AHM=即MH⊥AB,結(jié)論得證.

圖11

變式3: 由靜至動,結(jié)合軌跡和最值進行拓展

D在MC上運動時(包括M、C兩個端點),當α=120°,AB=AC=2 時,其它條件不變,請指出E點和N點的軌跡,并求出EN的最小值.

圖12

2021年北京中考幾何綜合第27 題方法靈活多樣,但是很多同學在考場仍然不得其法,原因是平時練習沒有深入研究題目的本質(zhì)、沒有掌握基本變換的性質(zhì)以及缺乏基本模型的積累.只有一題多解、一題多變,將題目作出花樣,才能促使學生將知識建立內(nèi)在聯(lián)系,形成邏輯架構(gòu),遇到新題時,才能從舊知中迸發(fā)靈感,尋找與之契合的方法.