探究線段和最小值問題的一般解法

廣東省廣州市廣東廣雅中學(510800)林碧珠

1 預(yù)備知識

1.1 線段公理

兩點之間,線段最短.

1.2 垂線段最短

過直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短.

2 模型原型

2.1 異側(cè)兩點

如圖1,點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點,如何在l上找到一個點C,使得點C到點A、點B的距離的和最短?

圖1

根據(jù)線段公理,不難得出,如圖2,連接AB,與直線l交于點C,點C即為所求.

圖2

2.2 同側(cè)兩點(將軍飲馬)

如圖3,牧馬人從A地出發(fā),到一條筆直的河邊l 飲馬,然后到B地.牧馬人到河邊什么地方飲馬,可使所走的路徑最短?

圖3

【分析】如圖4,作出點B關(guān)于l的對稱點B′,將同側(cè)兩點轉(zhuǎn)為異側(cè),利用軸對稱的性質(zhì),可以得到CB′=CB.這樣,問題轉(zhuǎn)化為: 當C在l的什么位置時,AC與CB′的和最小?

圖4

在連接A,B′兩定點的路徑中,由線段公理可得,線段AB′最短.因此,線段AB′與直線l的交點C的位置即為所求.

【思路】

①找出定點: 點A,點B;動點: 點C(在直線l上運動,則l為對稱軸).

②找出求和中的特殊線段(指由一個定點和一個動點組成的線段):CA,CB.

③求和中含有同一個動點(點C)的兩條線段CA和CB在對稱軸l的同側(cè).

④作特殊線段中定點關(guān)于動點所在直線(即對稱軸)的對稱點,如: 作點B關(guān)于l的對稱點B′,將CB轉(zhuǎn)為CB′,此時AC,CB′在對稱軸的異側(cè),再連接AB′,由線段公理,AB′的長度即為AC+CB的最小值,且AB′與l的交點即為所求的點C.

3 模型使用的難點與關(guān)鍵點

模型的原型對學生而言,難度不大,但只要稍加變式、復(fù)雜化,多幾個點或多幾條線,學生就分不清應(yīng)該作哪個點關(guān)于哪條線的對稱點,不知道如何化折為直,確定最短路徑.

4 通過特例,找出一般規(guī)律

對求和中的線段所包含的點分為定點和動點,下面分別探究“兩定一動”型、“兩定兩動”型和“一定兩動”型,并總結(jié)出解決此類問題的一般規(guī)律.

4.1 “兩定一動”型

如圖5,在菱形ABCD中,AB=2a,E在BC上,BE=a,∠BAD=120°,點P在BD上,求線段PE+PC的最小值.

圖5

【分析】

①定點:C,E;動點:P(在BD上).

②特殊線段:PE,PC.

③PE,PC在對稱軸BD同側(cè),如圖6,由菱形的性質(zhì)可知,點C關(guān)于BD的對稱點為點A,則PE+PC=PE+PA,即求點P在BD上運動的過程中,PE+PA的最小值.由線段公理,顯然,在連接A,E兩定點的路徑中,線段AE最短,為.

圖6

4.2 “兩定兩動”型

如圖7,∠AOB=30°,點M、N分別在邊OA、OB上,且OM=1,ON=3,點P、Q分別在邊OB、OA上,求MP+PQ+QN的最小值.

圖7

【分析】

①定點:M,N;動點:P(在OB上),Q(在OA上).

②特殊線段:MP,QN.

③MP,PQ在對稱軸OB同側(cè),如圖8,作特殊線段MP中定點M關(guān)于OB的對稱點M′;QN,PQ在對稱軸OA同側(cè),作特殊線段QN中定點N關(guān)于OA的對稱點N′.

圖8

④MP+PQ+QN=M′P+PQ+QN′,即求連接M′,N′兩定點的路徑長的最小值,由線段公理,顯然連接M′N′,M′N′的長度即為最小值,通過計算,為.

4.3 “一定兩動”型

如圖9,點P在∠AOB內(nèi)部,試在OA、OB上分別找出兩點E、F,使ΔPEF周長最短.

圖9

【分析】ΔPEF的周長為:PE+EF+PF

①定點:P;動點:E(在OA上),F(在OB上).

②特殊線段:PE,PF.

③PE,EF在對稱軸OA同側(cè),如圖10,作特殊線段PE中定點P關(guān)于OA的對稱點P′;EF,PF在對稱軸OB同側(cè),作特殊線段PF中定點P關(guān)于OB的對稱點P′′

圖10

④PE+EF+PF=P′E+EF+P′′F,即要使連接P′,P′′兩定點的路徑長取得最小值,由線段公理,顯然連接P′P′′,分別與OA、OB交于點E、F,此時,ΔPEF周長最短.

4.4 規(guī)律總結(jié)

①找出定點,動點和對稱軸(即動點運動所在直線)

②找出求和中的特殊線段(指由一個定點和一個動點組成的線段)

③判斷求和中所有含有同一個動點的兩條線段在對稱軸的同側(cè)還是異側(cè).若異側(cè),則直接連接線段;若同側(cè),則作特殊線段中定點關(guān)于動點所在直線(即對稱軸)的對稱點,將所有的同側(cè)轉(zhuǎn)為異側(cè),再連接對稱點

④由線段公理,連接對稱點的線段的長度即為求和的最小值,且該線段與對稱軸的交點即為所求的動點的位置.

5 鏈接中考

【2020年廣州中考第24 題】 如圖11,⊙O為等邊ΔABC的外接圓,半徑為2,點D在劣弧AB上運動(不與點A,B重合),連接DA,DB,DC.若點M,N分別在線段CA,CB上運動(不含端點),經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn),點D運動到每一個確定的位置,ΔDMN的周長有最小值t,隨著點D的運動,t的值會發(fā)生變化,求所有t值中的最大值.

圖11

【分析】ΔDMN的周長為:DM+MN+DN

①定點:D(每一個確定的位置);動點:M(在CA上),N(在CB上).

②特殊線段:DM,DN.

③DM,MN在對稱軸CA同側(cè),如圖12,作特殊線段DM中定點D關(guān)于CA的對稱點D′;MN,DN在對稱軸CB同側(cè),作特殊線段DN中定點D關(guān)于CB的對稱點D′′

圖12

④DM+MN+DN=D′M+MN+D′′N,即要使連接D′,D′′兩定點的路徑取得最小值,由線段公理,顯然連接D′D′′,分別與CA、CB交于點M、N,此時,ΔDMN周長最短,為D′D′′的長度.

由軸對稱的性質(zhì)可得,CD′=CD,CD′′=CD,∠1=∠3,∠2=∠4,又因為∠1+∠2=60°,所以∠D′CD′′=120°,因此D′D′′是頂角為120°的等腰ΔD′CD′′的底邊,不難計算.隨著點D的運動,CD的長度也會發(fā)生改變,當CD的長度取得最大值時,t取得最大值,不難發(fā)現(xiàn)當CD為直徑時,CD取得最大值,為4,因此t的最大值為.

2.【2018年廣州中考第23 題】如圖13,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB ＞CD,AD=AB+CD.

圖13

(1)利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE,交BC于點E,連接AE(保留作圖痕跡,不寫作法)

(2)在(1)的條件下,

①證明:AE⊥DE;

②若CD=2,AB=4,點M,N分別是AE,AB上的動點,求BM+MN的最小值.

【分析】第(1)問略,第(2)問中的①略.

(2)②

1°定點:B;動點:M(在AE上),N(在AB上).

2°特殊線段:BM.

3° BM,MN在對稱軸AE同側(cè),由①知,AE平分∠DAB,則如圖14,作特殊線段BM中定點B關(guān)于AE的對稱點B′落在AD上.

圖14

4° BM+MN=B′M+MN,即要使連接定點B′和動點N的路徑取得最小值,由線段公理和垂線段最短可知,過點B′作AB的垂線段,垂線段即為最短路徑,設(shè)垂足為N,此時,BM+MN有最小值,為B′N的長度.

過點D作DF⊥AB于點F,則B′N//DF.由①可知,BF=DC=DB′=2,AB=AB′=4.因為AB′:B′D=AN:NF,所以4 : 2=AN:(2-AN),解得的最小值為.由勾股定理得,,即BM+MN

3.【2021年天津中考第25 題】已知拋物線y=ax2-2ax+c(a,c為常數(shù),a ／=0)經(jīng)過點C(0,-1),頂點為D.

(Ⅰ)當a=1 時,求該拋物線的頂點坐標;

(ⅠⅠ)當a ＞0 時,點E(0,1+a),若,求該拋物線的解析式;

(ⅠⅠⅠ)當a ＜-1 時,點F(0,1-a),過點C作直線l平行于x軸,M(m,0)是x軸上的動點,N(m+3,-1)是直線l上的動點.當a為何值時,FM+DN的最小值為并求此時點M,N的坐標.

圖15

【分析】第(Ⅰ),(ⅠⅠ)問略.

(ⅠⅠⅠ)FM和DN是兩條沒有公共交點的線段,M點和N點都是動點,但這兩個動點之間有關(guān)聯(lián),只要確定了其中一個點的坐標,另一個點就確定了,因為N點的橫坐標比M點的橫坐標多3,N點的縱坐標比M點的縱坐標少1.要使FM和DN這兩條求和線段有公共交點,不難發(fā)現(xiàn),如圖16,只要將N點向左平移3 個單位長度,再向上平移1 個單位長度,得到的N′點就與M點重合.將D點作同樣的操作,得到D′點,連接D′M,此時DN就被平移到了D′M的位置,FM+DN=FM+D′M.下面分析怎么找到FM+D′M的最小值(將軍飲馬模型).

圖16

①定點:D′(-2,-a)和F(0,1-a);動點:M(m,0)(在x軸上).

②特殊線段:FM,D′M.

③FM,D′M在對稱軸x軸同側(cè),作特殊線段FM中定點F關(guān)于x軸的對稱點F′(0,a-1).FM+D′M=F′M+D′M,即要使連接定點F′和定點D′的路徑長取得最小值,由線段公理可知,連接D′F′,線段D′F′即為最短路徑,設(shè)D′F′與x軸交于點M,此時的點M剛好能使FM+DN取得最小值,FM+DN=FM+D′M=F′M+D′M=D′F′.