2021年廣州市中考數(shù)學(xué)壓軸題的變式研究

廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)(510062)劉玲

1 試題呈現(xiàn)

如圖1,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F,使AF=AE,且CF、DE相交于點(diǎn)G.

圖1

(1)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí),證明: 四邊形DFEC是平行四邊形;(2)當(dāng)CG=2 時(shí),求AE的長(zhǎng);(3)當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度;

注: 此題第(1)問(wèn)較為簡(jiǎn)單,第(2)問(wèn)主要運(yùn)用好60°這個(gè)條件,構(gòu)造直角三角形,運(yùn)用勾股定理列方程即可,筆者這里只針對(duì)第(3)問(wèn)進(jìn)行解答及變式探究.

圖2

2 試題解答

法一純幾何法

圖3

圖4

法二建立平面直角坐標(biāo)系

3 解后反思

3.1 背景分析

此題筆者主要呈現(xiàn)了兩種解題思路,仔細(xì)分析,此題實(shí)質(zhì)上是找點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡,如果能夠找到點(diǎn)G的軌跡,那么問(wèn)題就迎刃而解.但反觀在中考考場(chǎng)上,能解答出來(lái)的同學(xué)少之又少.當(dāng)然一方面與考試時(shí)間有關(guān),但大多數(shù)是無(wú)從下手,大部分同學(xué)感覺(jué)迷茫,不知如何找到求點(diǎn)G軌跡的突破口.細(xì)看此題,此題的背景其實(shí)就是相似圖形中最常見的“8 字型”相似,只是此題將圖形放在菱形中,借助菱形的對(duì)邊互相平行這一性質(zhì)得到“雙8 字型”相似,圖中點(diǎn)E,F為動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A為定點(diǎn),且為EF的中點(diǎn),那么直線AG交直線CD為定點(diǎn),且為CD的中點(diǎn).這樣就能確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段“AM”.

補(bǔ)充“雙8 字型”相似結(jié)論: 如圖5,若CD//EF,則.

圖5

3.2 兩種解法對(duì)比分析

若實(shí)在沒(méi)有找到隱藏的“雙8 字型”相似,也可以采用建立平面直角坐標(biāo)系的方法,采用代數(shù)運(yùn)算的方式找到動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程,發(fā)現(xiàn)其為一次函數(shù),說(shuō)明其在直線上運(yùn)動(dòng),然后再去找臨界值也可將問(wèn)題解決.

對(duì)比幾何方法和建系的方法,我們可以發(fā)現(xiàn): ①幾何方法思維含量高,較難找到突破口,但一旦找到突破口,復(fù)雜問(wèn)題就會(huì)被轉(zhuǎn)為成我們熟悉的幾何問(wèn)題上去; ②建系方法好想,沒(méi)有太多的思維含量,但是采用此種方法不免會(huì)帶來(lái)繁雜的計(jì)算量,因此,采用此種方法的前提是必須要有很強(qiáng)的計(jì)算功底,否則,不要輕易嘗試.此種方法適用于幾何方法確實(shí)找不到突破口時(shí),無(wú)從下筆時(shí),不妨考慮此種方法,一般情況下,正方形,矩形,含特殊角的菱形,等邊三角形等都可用建系的方法去解答問(wèn)題.但若所求動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓時(shí),初中生是無(wú)法識(shí)別圓的軌跡方程的,此時(shí)此種方法不太適用.其實(shí),中考中求動(dòng)點(diǎn)的軌跡無(wú)外乎兩種類型,一種是直線型,另一種是圓弧形.因此在做題時(shí),我們可以通過(guò)觀察比如找特殊點(diǎn)等大致猜測(cè)此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為直線.

4 變式推廣

4.1 橫向聯(lián)想——類比推廣

聯(lián)想1改變條件“菱形”為“正方形”

變式1如圖6,在正方形ABCD中,AB=2,點(diǎn)E為直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F,使AF=AE,且CF、DE相交于點(diǎn)G.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.

圖6

此題解法仍可采用上述兩種方法,讀者可以自行完成.此外,還可以改為“矩形”,“平行四邊形”等,解法基本一致.通過(guò)以上變式,發(fā)現(xiàn),只要提供一組對(duì)邊平行即可,因此可以弱化條件,將其改為“一組對(duì)邊平行的四邊形”,于是就有了以下聯(lián)想.

聯(lián)想2改變條件“菱形”為“梯形”

變式2如圖7,在梯形ABCD中,AB=4,AD=BC=3,CD=1,點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F,使AF=AE,且CF、DE相交于點(diǎn)G.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.

圖7

4.2 縱向遷移,歸納推廣

聯(lián)想3改變條件“AF=AE”為“AF=2AE”

變式3如圖8,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F,使AF=2AE,且CF、DE相交于點(diǎn)G.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.

圖8

聯(lián)想4改變條件“AF=AE”為“AF=nAE”

變式4如圖9,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F,使AF=nAE,且CF、DE相交于點(diǎn)G.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度(用含n的字母表示).

圖9

以上2 個(gè)變式從縱向進(jìn)行了推廣,改變數(shù)量關(guān)系,仍可采用原題的兩種解法,由特殊到一般,層層遞進(jìn),但實(shí)質(zhì)沒(méi)變,仍為“雙8 字形型”相似,推導(dǎo)出更為一般性的結(jié)論.

4.3 變式拓展,掌握本質(zhì)

聯(lián)想5改變?cè)O(shè)問(wèn)方式

變式5如圖1,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F,使AF=AE,且CF、DE相交于點(diǎn)G.求CG+EG的最小值.

變式5 改變了設(shè)問(wèn)方式,難度稍有增加,想解決此問(wèn)題仍然需要先找到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑,從而發(fā)現(xiàn)此題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)將軍飲馬問(wèn)題,那么問(wèn)題也將迎刃而解.

聯(lián)想6變構(gòu)造元件

變式6如圖10,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F,使AF=AE,且直線CE、DF相交于點(diǎn)G.求CG的最小值.

圖10

變式6 主要改變了點(diǎn)G的生成方式,看上去與原題發(fā)生了改變,但仔細(xì)分析,還是有一定的聯(lián)系,只是由原來(lái)的“雙8 字型”相似變?yōu)榱恕半pA 字型”相似,點(diǎn)G仍然是在原直線AM上運(yùn)動(dòng),只是不包括線段AM這一部分,在兩條射線上運(yùn)動(dòng),那么,求CG的最小值可利用“點(diǎn)到直線的距離,垂線段最短”求解出.

聯(lián)想7變關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)

變式7如圖11,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F為CD上一動(dòng)點(diǎn),且CF=2AE,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥EF于點(diǎn)G,求CG的最小值.

圖11

變式7 與2021年廣州市一模第25 題如出一轍,基本背景是“8 字型”相似,連接AC與EF交于點(diǎn)H,則H為定點(diǎn),則點(diǎn)G在以DH為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),則CG的最小值即可求解出來(lái).

5 教學(xué)啟示

羅增儒教授曾經(jīng)說(shuō)過(guò)[1]:“解決問(wèn)題的本質(zhì)是思維活動(dòng)的過(guò)程,通過(guò)典型例題的分析能啟迪學(xué)生的思維,提高解題能力.”ACT-R 理論指導(dǎo)的深度教學(xué)認(rèn)為練習(xí)一定要進(jìn)行變式,通過(guò)變式訓(xùn)練,在“變”中找到“不變”的規(guī)律,從而搞清問(wèn)