2021年廣州中考數(shù)學(xué)壓軸題解法探索及反思

廣東省廣州市第二中學(xué)(510530)代本富

1 題目呈現(xiàn)

(2021年廣州中考數(shù)學(xué)第25 題)如圖1,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F,使AF=AE,且CF,DE相交于點(diǎn)G.

圖1

(1)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí),求證: 四邊形DFEC是平行四邊形;

(2)當(dāng)CG=2 時(shí),求AE的長(zhǎng);

(3)當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.

2 立意分析

本題是以60°菱形為背景的中考?jí)狠S題,題目簡(jiǎn)潔,圖形簡(jiǎn)單,要求明晰,內(nèi)涵豐富.涉及平行四邊形的判定、菱形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、定角、動(dòng)點(diǎn)軌跡等核心知識(shí),涉及的知識(shí)面廣,要求學(xué)生積累豐富而有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),才能明確解題思路,從而進(jìn)行邏輯推理和運(yùn)算.問(wèn)題設(shè)置由易到難、層層遞進(jìn),考查學(xué)生獨(dú)立探究、綜合分析問(wèn)題和解決新問(wèn)題的能力.

本題表面是學(xué)生熟悉的問(wèn)題,但呈現(xiàn)形式及問(wèn)法均有所創(chuàng)新,且不同層面的學(xué)生都可以嘗試求解.本題第(2)問(wèn)視角眾多,解法多樣,可以通過(guò)勾股定理列方程、“隱圓”割線定理、建立坐標(biāo)系、余弦定理等方法進(jìn)行解答,彰顯個(gè)性.對(duì)于最難的第(3)問(wèn),大部分同學(xué)可以通過(guò)“特殊點(diǎn)”作圖,進(jìn)行軌跡猜想,能力強(qiáng)一點(diǎn)的同學(xué)可以求得正確結(jié)果,而能力更強(qiáng)的同學(xué)可以進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明和說(shuō)理.本題即面向全體學(xué)生,也適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要,符合課程標(biāo)準(zhǔn)所提出的使得不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展,有利于有效評(píng)價(jià)和引領(lǐng)教學(xué).

完整解答本題學(xué)生要具備對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,需經(jīng)歷“操作—猜想—探究—證明”的探究過(guò)程,用較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力和方法,才能進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明和說(shuō)理.本題通過(guò)簡(jiǎn)單的圖形考察學(xué)生數(shù)學(xué)思維,數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)方法,有效的把數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有機(jī)結(jié)合、融為一體,具有良好的教學(xué)導(dǎo)向功能.

3 解法探究

本題第(1)問(wèn)利用“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”即可證明,屬于比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題.第(2)問(wèn)和第(3)問(wèn)屬于較難的問(wèn)題,需要學(xué)生合理添加輔助線,利用勾股定理、相似三角形等知識(shí)求解,學(xué)生在求解這兩問(wèn)的過(guò)程中存在一定的困難,本文主要呈現(xiàn)第(2)問(wèn)和第(3)問(wèn)的解法.

3.1 由因?qū)Ч麑に悸?基本圖形顯神威

圖2

圖3

3.2 合情推理覓良策,平行相似出奇招

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

3.3 解幾思想細(xì)入微,引參消參軌跡現(xiàn)

3.4 平幾問(wèn)題構(gòu)造難,三角運(yùn)算助推理

4 解題反思

4.1 落實(shí)核心素養(yǎng)

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確界定“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)包括: 數(shù)學(xué)抽象,邏輯推理,數(shù)學(xué)建模,直觀想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析”[1].

本題內(nèi)涵豐富,解答本題需要綜合運(yùn)用平行四邊形的判定、菱形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)軌跡等核心知識(shí)進(jìn)行邏輯推理和運(yùn)算,第(2)問(wèn)需要學(xué)生設(shè)元進(jìn)行簡(jiǎn)單的邊角轉(zhuǎn)化,識(shí)別并構(gòu)造基本圖形,進(jìn)而利用方程思想解決問(wèn)題;也可以運(yùn)用幾何直觀,通過(guò)分析圖形找到“隱圓”,利用割線定理進(jìn)行解答; 第(3)問(wèn)學(xué)生需經(jīng)歷“操作——猜想——探究——證明”的探究過(guò)程,用較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力和方法,才能進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明和說(shuō)理.本題通過(guò)簡(jiǎn)單的圖形考察學(xué)生數(shù)學(xué)思維,數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)方法,有效的把數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有機(jī)結(jié)合、融為一體,具有良好的教學(xué)導(dǎo)向功能.因此教師教學(xué)中應(yīng)該盡可能的讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)以及數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯關(guān)系和思想方法,提升學(xué)生的能力,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),學(xué)生才能以不變應(yīng)萬(wàn)變.

4.2 加強(qiáng)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累

本題從簡(jiǎn)單的四邊形出發(fā),層層遞進(jìn),考查學(xué)生獨(dú)立探究、綜合分析問(wèn)題和解決新問(wèn)題的能力.這些能力不是一蹴而就的,需要長(zhǎng)期培養(yǎng)和滲透,需要重視知識(shí)形成的過(guò)程,加強(qiáng)對(duì)知識(shí)理解的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 版)》指出:“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo),是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的結(jié)果”[2].積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的目的之一是建立數(shù)學(xué)的感悟、數(shù)學(xué)的直觀.日常教學(xué)重視過(guò)程教學(xué),不僅有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,更能讓學(xué)生從中學(xué)會(huì)分析問(wèn)題的策略、方法,體會(huì)抽象、建模、推理的基本數(shù)學(xué)思想,有利于形成策略性知識(shí),并運(yùn)用于問(wèn)題的解決,這是新課標(biāo)積極倡導(dǎo)和要求的.教師在教學(xué)中,不要過(guò)于強(qiáng)調(diào)解題模式,應(yīng)以基礎(chǔ)知識(shí)與基本結(jié)論為載體,重視遷移,關(guān)注過(guò)程方法和思維發(fā)展,讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能夠從“方法體驗(yàn)”到“本質(zhì)理解”再抵達(dá)“靈活應(yīng)用”,為后續(xù)的學(xué)習(xí)積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

4.3 重視初高中貫通培養(yǎng)

利用解析幾何的思想和三角函數(shù)的知識(shí)對(duì)這道壓軸題進(jìn)行了分析和求解是常用的方法.這和“六年一貫”的培養(yǎng)路徑相關(guān),初高一體化管理,確保人才培養(yǎng)的連續(xù)性,調(diào)動(dòng)整合初高中貫通培養(yǎng).在初中教學(xué)時(shí),注重挖掘初高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接點(diǎn),研究教學(xué)上的銜接和思維方法的銜接,積極實(shí)踐在初中教學(xué)中適當(dāng)融入高中知識(shí)及數(shù)學(xué)思想方法的途徑;同時(shí)高中教師積極關(guān)注高中知識(shí)與初中的聯(lián)系,關(guān)注學(xué)生最近發(fā)展區(qū),在高中起始年級(jí)開(kāi)設(shè)了初高銜接課程.實(shí)踐表明這種初高中貫通培養(yǎng)模式,雙向進(jìn)行初高中銜接教學(xué)的路徑是有效的,是利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的.