新課程標準視角下新教材第九章“統(tǒng)計”的新變化

廣東省佛山市順德區(qū)羅定邦中學(xué) 李定平 湯旭紅 越勇

現(xiàn)在,各地開始用新教材[1]教學(xué),在教學(xué)中逐漸體會到新教材比舊教材[2]更加注重知識的內(nèi)在邏輯聯(lián)系,更加重視數(shù)學(xué)思想方法的產(chǎn)生發(fā)展過程,必修第二冊第九章“統(tǒng)計”的變化更是很大(見表1),一些概念也發(fā)生了一些根本性的變化.然而,不得不說,受慣性思維的影響,就連一些期末統(tǒng)考試題都還停留在舊的認知中.

表1 新舊教材目錄對比

章建躍博士說“理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提”,作為一線教師就是先要理解教材,課本承載著課程標準,體現(xiàn)國家意志.也只有理解了課本,才能設(shè)計出符合出學(xué)生認知規(guī)律、把握教學(xué)內(nèi)容及其蘊含著數(shù)學(xué)思想方法、符合數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的自然脈絡(luò)問題,然后學(xué)生再根據(jù)教師設(shè)計的問題的引導(dǎo)下獨立自主地開展觀察、分析、綜合、比較,知識得以自主建構(gòu),素養(yǎng)得以自然發(fā)展.本文就是根據(jù)在使用新教材教學(xué)過程中遇到的困惑,通過對新、舊教材進行對比分析所作的思考.

1 增加了相關(guān)概念的嚴謹性定義

開始學(xué)習(xí)統(tǒng)計時,會對統(tǒng)計的相關(guān)概念進行熟悉與了解,常常會遇到以下困惑老師與學(xué)生的問題:

題: 為了了解全校240 名學(xué)生的身高情況,抽取40 名學(xué)生進行測量,下列說法正確的是( )

A.總體是240 名學(xué)生

B.個體是每名學(xué)生

C.樣本是40 名學(xué)生

D.樣本容量是40

原教材沒有明確給出總體、個體的概念,我們均認為研究對象的全體是總體,每一個研究對象是個體,而研究對象是學(xué)生的身高,所以答案是 D.

然而進行了新教材的教學(xué)后,我們發(fā)現(xiàn)新教材對總體、個體進行了非常清晰明確的定義——在一個調(diào)查中,我們把調(diào)查對象的全體稱為總體,組成總體的每一個調(diào)查對象稱為個體.為了強調(diào)調(diào)查目的,也可以把調(diào)查對象的某些指標的全體作為總體,每一個調(diào)查對象的相應(yīng)指標作為個體.也就是說研究學(xué)生的身高情況時,我們可以將某地所有高中生作為總體,每一個高中生作為個體,也可以將某地所有高中生的身高數(shù)據(jù)作為總體,每一個高中生的身高數(shù)據(jù)作為個體,因為根據(jù)新教材中的定義知道,身高值可以作為調(diào)查對象的一個指標值.此題答案就所有選項均可.

2 抽樣方法順應(yīng)了時代發(fā)展

2.1 刪除了系統(tǒng)抽樣

原教材是這樣說“從上所說可知,簡單隨機抽樣有操作簡便易行的優(yōu)點,在總體個數(shù)不多的情況下,是行之有效的.但是,如果總體中的個數(shù)很多時,對個體編號的工作量太大.即使使用隨機數(shù)法操作也并不方便快捷.另外,要想“攪拌均勻”也非常困難,這就容易導(dǎo)致樣本的代表性差.因此,為了操作上方便快捷,在不降低樣本的代表性的前提下,可以采取下面的抽樣方法——系統(tǒng)抽樣”.

現(xiàn)在除小剪刀錘子布、彩票中獎號由10 個小球的產(chǎn)生,在生活中比較少用抽簽法了,取而代之是的電腦派位、電腦搖號,當然也就無需“攪拌均勻”了,由于新技術(shù)的出現(xiàn),操作也簡便,人們的意識也逐漸適應(yīng)了電腦隨機抽簽,總體中個體數(shù)再多都可以用產(chǎn)生隨機數(shù)的辦法進行,而且不需要去剔除不能整除的余數(shù),更方便高效更好理解.根本不再需要做小紙條簽了,當然沒有“攪拌均勻”困難,適應(yīng)時代發(fā)展刪除系統(tǒng)抽樣就自然而然了.

2.2 突出了分層的本質(zhì)

原教材是這樣說“一般地,在抽樣時,將總體分成互不交叉的層,然后按照一定的比例,從各層獨立地球取一定數(shù)量的個體,將各層取出的個體合在一起作為樣本,這種抽樣方法是一種分層抽樣”.

新教材如此說“一般地,按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體,每個個體屬于且僅屬于一個子總體,在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣,再把所有總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本.這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣,每一個子總體稱為層,在分層隨機球樣中,如果每層的樣本量都與層的大小成比例,那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配”.

分層抽樣的本質(zhì)目的之一是為了防止出現(xiàn)“極端樣本”;之二是可以重點研究某些“層”——“在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣”,這樣一來就有下面變化:

新教材中的“分層抽樣”不一定按層的大小成比例分配每層的樣本量,個別層可以適當多抽樣本,當然也可以按每層的樣本量都與層的大小按比例分配分配樣本量,這就是按比例分配樣本量的分層抽樣.所以說很多地區(qū)還在照搬原來的考查分層抽樣的題目的不嚴謹之處在于沒有明確分層抽樣是否“按比例分配樣本量”,如果不按比例分配樣本量,則答案是不確定的.

課本第184 頁練習(xí)第3 題也例說了各層按比例分配樣本和不按比例分配樣本的分層抽樣.

“在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣”,由于新技術(shù)的應(yīng)用,可以隨意突顯某層樣本的均值與方差,自然就需要計算出總樣本的均值與方差(如課本第216 頁第11 題),由于不再是確定的按比例分配樣本量的分層抽樣,在求總樣本的均值時,學(xué)生容易錯誤地將各層樣本均值的均值當作總樣本的均值.

3 更加突顯了統(tǒng)計思想

有人說統(tǒng)計沒有對錯,只有好壞.統(tǒng)計就是獲取數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù),新教材在抽樣后面增加了一節(jié)9.1.3 獲取數(shù)據(jù)的途徑,讓學(xué)生知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑,除了普查和抽樣還有統(tǒng)計報表和年鑒、社會調(diào)查、試驗設(shè)計、互聯(lián)網(wǎng)等.

在開展“統(tǒng)計”的9.1.1 節(jié)的教學(xué)時,教材安排的是兩個課時——第一課時是簡單隨機抽樣的介紹,第二課時則對總體和樣本均值的分析,讓學(xué)生理解樣本均值的統(tǒng)計有或然性,感受統(tǒng)計思維與確定性思維的差異.這也是較舊教材的一個很大的改進.特別是在課本第178-179 頁的探究中,對樣本量為50 和100 的樣本各選取10 個進行觀察,分析樣本平均數(shù)的均值與總體均值的關(guān)系并用圖形表示,可以讓學(xué)生體會到樣本的隨機性,不同的樣本的均值是不同的,樣本均值也具有隨機性,是與總體均值是一個確定的數(shù)是不同的.更進一步,雖然樣本均值與總體均值不同,我們會發(fā)現(xiàn)樣本均值都是在總體均值附近波動.而在實際教學(xué)中,很多老師都是忽略這一課的.我們還可以注意到整個第九章在使用各個統(tǒng)計量解決問題時,都非常嚴謹?shù)貐^(qū)分總體的和樣本的,比如在介紹方差概念時就給學(xué)生介紹了總體方差和樣本方差的概念,并強調(diào)了我們常常是用樣本方差去估計總體方差,而樣本方差依賴樣本選取,具有隨機性.殊不知這一節(jié)中對于提高學(xué)生對統(tǒng)計思想的認識是很有必要的,讓學(xué)生理解樣本估計總體思想,體會選取有代表性的樣本的重要性,知道在條件允許的情況下增加樣本量的作用.

4 增加了統(tǒng)計圖的選擇

“一幅圖勝過一千個文字”,用統(tǒng)計圖將統(tǒng)計后數(shù)據(jù)之間的關(guān)系用視覺化的圖形表示,直觀形象便于讀取,一目了然.

新教材刪除了莖葉圖(莖葉圖并不是統(tǒng)計圖,而是數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式),增加了一個典型案例“已知某市2015年全年空氣質(zhì)量等級如表和2016年5月和6月的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù),選擇合適的統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù),并回答下列問題……”,既然要選擇,那就需要讓學(xué)生對各種統(tǒng)計圖作系統(tǒng)理解,為此教材作了全面說明:

扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例,條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率,折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢.條形圖適用于描述離散型數(shù)據(jù),直方圖適用于描述連續(xù)型數(shù)據(jù)等.

5 呈現(xiàn)了提取數(shù)字特征的過程和拓廣了統(tǒng)計特征的刻畫方法

新教材在從數(shù)的角度分析數(shù)據(jù)時,在原來的兩個角度-——集中趨勢與離散趨勢的基礎(chǔ)上,增加了百分位數(shù).高中系統(tǒng)學(xué)習(xí)的特征數(shù)只有兩個,就是百分位數(shù)與方差,雖然方差初中已涉及,百分位數(shù)也是在中位數(shù)的基礎(chǔ)上來開展學(xué)習(xí)的.且新教材對這兩個特征數(shù)概念的呈現(xiàn)方式也完全一樣,也符合一般觀念下的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)方式.

首先是通過問題引入為什么要建立百分位數(shù):

“問題2: 如果該市政府希望是80%的居民用戶生活用水費支出不受影響,根據(jù)9.2.1 節(jié)中100 戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù),你能給市政府提出明確居民用戶月均用水量標準的建議嗎?

其次如何建立百分位數(shù):

“把100 個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序,得到第80 個和第81 個數(shù)據(jù)分別為13.6 和13.8,可以發(fā)現(xiàn),區(qū)間(13.6,13.8)內(nèi)的任意一個數(shù),都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分,一般地,我們?nèi)∵@兩個數(shù)的平均數(shù)并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第80 百分位數(shù),或80%分位數(shù)”.

再次將概念求法一般化并給出嚴格定義:

“一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個字,……”

最后再通過兩個例題(離散數(shù)據(jù)與掩蓋真實數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖)鞏固說明百分位數(shù)的求法.

新教材如此編寫讓我們清晰地理解了:

p%分位數(shù)(中位數(shù))的應(yīng)用意義——為決策服務(wù);統(tǒng)計特征——是數(shù)據(jù)的一種劃分、是分界數(shù); 具體求法——中位數(shù)求法的一般化.

上述80%分位數(shù)的提取過程也展示了統(tǒng)計特征的刻畫方法,使學(xué)生經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程,在此過程中學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分析的方法,理解數(shù)據(jù)分析的思路,運用所學(xué)知識和方法解決實際問題,自然地發(fā)展了數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).

6 增加了統(tǒng)計變換,提高了數(shù)學(xué)運算要求

新舊教材都有要求會根據(jù)具體數(shù)據(jù)求平均數(shù)、中位數(shù)、方差等,根據(jù)掩蓋了原始數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖來估計樣本的平均數(shù)、方差等.這都體現(xiàn)了在統(tǒng)計這一章節(jié)去提升學(xué)生處理數(shù)據(jù)的能力以及數(shù)學(xué)運算能力.

而新教材“有時為了計算方差的方便,我們還把方差寫成以下形式讀作:“方差=樣本數(shù)據(jù)平方的均值-均值的平方”,這樣引入了方差公式的一個變式,自然就有方差定義與變式之間的互化:

另外課本第212 例6 還用了很大的篇幅來介紹根據(jù)樣本各層的平均數(shù)和方差來求總樣本的平均數(shù)和方差.筆者認為這不僅與前面的分層抽樣方法相呼應(yīng),同時也是一個基本運算技能,也為后面學(xué)習(xí)線性回歸分析做了鋪墊.既然給出兩種方差定義式,已知各層的平均數(shù)和方差來求總樣本的方差也有兩種方法:

我們又可以得到另一個分層抽樣的總樣本方差的化簡式子.課后習(xí)題還讓給推廣了總體劃分為3 層的分層抽樣的總樣本平均數(shù)、方差的求解,學(xué)生也可以類比去推導(dǎo)(課本第216 頁第11 題).

方差定義與變式的互化、已知各層樣本均值與方差求總樣本方差的兩種方法,這些運算變換是在統(tǒng)計中專門出現(xiàn)的,我們稱之為統(tǒng)計變換,是培養(yǎng)學(xué)生運算能力的素材,其運算過程讓學(xué)生感覺的難點是帶求和符號,可先通過3 個樣本數(shù)據(jù)的運算擴大到帶求和符號的運算,以降低難度.帶求和符號的運算對運算想象與運算素養(yǎng)是很有裨益的.

可見“統(tǒng)計”這一章的新舊教材變化確實是很大的,也只有理解了這種變化才能使我們的教學(xué)適應(yīng)這種變化.在教學(xué)實踐的過程中要善于發(fā)現(xiàn)問題,除了自己思考外,還要與同事之間討論,在討論中碰出思維的火花,才能讓我們的理解更深刻,特別對于已形成思維慣性的老教師尤其如此.時代在發(fā)展,歷史在進步,新老教師都要努力學(xué)習(xí)才能與時俱進.

附1:(課本第184 頁練習(xí)第3 題)高二年級有男性490人,女性是510 人,張華按男生、女生進行分層,通過分層隨機抽樣的方法,得到男生、女生的平均身高為170.2cm 和160.8cm.

(1)如果張華在各層按比例分配樣本,總樣品量為100,那么在男生、女生中分別抽取了多少名? 在這種情況下,請估計高二年級全體學(xué)生的平均身高.

(2)如果張華從男生、女生中抽取的樣本量分別為30 和70,那么在這種情況下,如何估計高二年級全體學(xué)生的平均身高更合理?