重溫高考題,邏輯推理與直觀想象兩翼齊飛

東莞市第四高級中學(xué)(523220) 王文濤

2011 年高考天津卷理科數(shù)學(xué)第19 題是一道獨特且耐人尋味的題,此題一出有讓人眼前一亮的感覺,可能因為方法簡潔,淡化了對它的進一步挖掘.如今重溫高考題,通過邏輯推理和直觀想象對其進行進一步的探究.

題目(2011 年高考天津卷理科第19 題)已知a >0,函數(shù)f(x)=lnx ?ax2,x>0.(f(x)的圖像連續(xù)不斷)

高考標(biāo)答的解法巧妙,源于本題給出的區(qū)間[1,3]和α與β的最小間隔1,剛好使得1 ≤α≤2 ≤β≤3,利用α,β的“穩(wěn)定”分界點2 做橋梁作出證明.

但是有兩個問題亟待解決.其一,這種方法得到的a的范圍只是一個必要條件.其二,若把第(3)問改為“若存在均屬于區(qū)間[1,4]的α,β,且β ?α≥1,使f(α)=f(β),求a的范圍?”,則由β ?α≥1 知α ∈[1,3],β ∈[2,4],此時α,β沒有“穩(wěn)定”分界點,因此該解法就用不了.

為了解決以上兩個問題,就需要更深入的邏輯推理和分析:由f(α)=f(β) 可整理得到a=[1,2],β ∈[2,3],β≥α+1.設(shè)φ(α,β)=α ∈[1,2],β ∈[2,3],β≥α+1,則問題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)求值域,由參考文獻[1]的第十七章“多元函數(shù)微分學(xué)”知核心方法是通過求偏導(dǎo)數(shù)求極值,從而求最值(需要考慮邊界).從這個高等數(shù)學(xué)的背景出發(fā),高中階段處理雙變量問題可考慮用定主元的方法來尋求解答.經(jīng)過研究,發(fā)現(xiàn)不僅可以解決問題,而且可以把最小間隔推廣為任意的正數(shù),把區(qū)間推廣為任意符合條件的閉區(qū)間(端點為正數(shù),且區(qū)間長度不小于最小間隔).

圖1

圖2

圖3

著名數(shù)學(xué)家波利亞指出:“沒有任何一道題是可以解決得十全十美的,總剩下些工作要做,經(jīng)過充分的探討和總結(jié)總會有點滴的發(fā)現(xiàn),總能改進這個解答并且提高對這個解答的理解水平.”基于此理念,對于篇首題并不滿足于解答,而是認識到其局限,通過邏輯推理挖掘出其高等數(shù)學(xué)相關(guān)背景,并給出代數(shù)證明,然后由數(shù)到形,通過直觀想象揭示了對數(shù)函數(shù)的割線斜率的性質(zhì),并以此給出一個直觀化證明.不滿足于此,又由形到形,把割線斜率的性質(zhì)類比推廣到一般的凹凸函數(shù),最后又由形回到數(shù),反推出兩個推廣.邏輯推理和直觀想象如同雙翼相輔相成,在數(shù)形轉(zhuǎn)換的過程中提升了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),也印證了華羅庚先生的話:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休.”