一道課本例題的探究與拓展
——巧用“等和線”妙解向量題

湖北師范大學(xué)附屬中學(xué)(黃石一中)(435000) 楊瑞強(qiáng)

一、問題引入

人民教育出版社編寫的普通高中教科書《數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)第26 頁例1 是這樣的:

根據(jù)教材中這個(gè)問題的探討,我們不難發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)結(jié)論:

由三點(diǎn)共線定理可知,若λ+μ=1,則點(diǎn)C的軌跡是直線AB.于是,我們自然會(huì)思考:若λ+μ1,則點(diǎn)C的軌跡又是什么呢? 通過進(jìn)一步探究,我們可以發(fā)現(xiàn)更多結(jié)論.

圖1

二、問題探究

探究2 如圖3 所示,在探究1 的條件下,過點(diǎn)C作直線l//AB,在l上任取一點(diǎn)C′,連接OC′交AB于點(diǎn)D′,則λ,μ,k又滿足什么關(guān)系?

圖3

圖4

圖5

三、向量等和線定理

根據(jù)上述問題的探究與分析可知,向量的等和線有如下結(jié)論:

我們運(yùn)用“等和線”這一概念時(shí),經(jīng)常涉及下述性質(zhì):

(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí),k=1;

(2)當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí),k ∈(0,1);

(3)當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時(shí),k ∈(1,+∞);

(4)當(dāng)?shù)群途€過O點(diǎn)時(shí),k=0;

(5)若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱,則定值k互為相反數(shù);

(6)定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比.

四、向量等和線定理的妙用

“等和線”定理是專門解決有關(guān)基向量中系數(shù)之和的秒殺工具,對(duì)于處理向量分解時(shí)的系數(shù)之和以及系數(shù)最值有關(guān)問題,均可以嘗試使用向量“等和線”定理.下面分類加以說明向量“等和線”定理的妙用.

類型1:基底起點(diǎn)相同

1.求共起點(diǎn)向量線性運(yùn)算的系數(shù)和

根據(jù)等和線求共起點(diǎn)向量線性運(yùn)算的系數(shù)和的步驟:(1)確定值為1 的等和線;(2)平移(旋轉(zhuǎn)或伸縮)該線,作出滿足條件的等和線;(3)從長度比或點(diǎn)的位置兩個(gè)角度,計(jì)算滿足條件的等和線的值.

圖6

圖7

2.求共起點(diǎn)向量線性運(yùn)算系數(shù)和的最值(范圍)

根據(jù)等和線求共起點(diǎn)向量線性運(yùn)算系數(shù)和的最值(范圍)的步驟:(1)確定值為1 的等和線;(2)平移(旋轉(zhuǎn)或伸縮)該線,結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的可行域,分析何處取得最大值和最小值;(3)從長度比或點(diǎn)的位置兩個(gè)角度,計(jì)算最大值和最小值.

解析如圖8 所示,由平面向量的等和線定理可知,當(dāng)?shù)群途€l與圓相切時(shí)λ+μ最大,此時(shí)λ+μ==3.故選A.

圖8

評(píng)析對(duì)于動(dòng)向量問題,如果向量的終點(diǎn)不在等和線上,則這類問題往往涉及求系數(shù)和的最值或者范圍.對(duì)于這類問題,可轉(zhuǎn)化為線段比值的最值或者范圍問題來解決.

3.求向量線性運(yùn)算的系數(shù)的線性關(guān)系式的最值(范圍)

在利用等和線定理求解兩系數(shù)的線性關(guān)系式的值時(shí),需要先通過變換基底向量,使得需要研究的代數(shù)式為基底的系數(shù)和,再去找基底向量的等和線,轉(zhuǎn)化為線段比例關(guān)系求解.要只需OD最小,即當(dāng)OD是?OMN的高時(shí)最大,經(jīng)計(jì)算可得OD=所以3x+5y的最大值是.故選A.

圖9

評(píng)析當(dāng)有的等和線問題并不是直接求向量系數(shù)和的值或最值時(shí),而是求類似于λx+μy(其中λ,μ為常數(shù))這種形式的相關(guān)問題,此時(shí)可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)新向量的等和線問題來解決.

類型2:基底起點(diǎn)不同

運(yùn)用等和線定理時(shí),需要注意三個(gè)向量應(yīng)該共起點(diǎn),對(duì)于不是共起點(diǎn)的問題,可通過找相等向量,從而把相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為等和線問題.

圖10

評(píng)析本題中的三個(gè)向量并不是共起點(diǎn)的,而平面向量共線定理表達(dá)式中的三個(gè)向量的起點(diǎn)一致,此時(shí)可以將向量平移實(shí)現(xiàn)起點(diǎn)重合.

類型3:基底一方或兩方可變

對(duì)于動(dòng)向量問題,向量的終點(diǎn)不在等和線上求系數(shù)和的最值或者范圍時(shí),可轉(zhuǎn)化為線段比值的最值或者范圍問題來解決.

例5 在正方形ABCD中,如圖11 所示,E為AB中點(diǎn),P以A為圓心,AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn),設(shè)則x+y的最小值_____.

圖11

圖12

評(píng)析當(dāng)基向量的終點(diǎn)是變化的,使系數(shù)和λ+μ=1的等和線也是變化的,所以滿足條件的等和線也相應(yīng)保持平行變化,從而求解問題的關(guān)鍵在于探求保持平行變化中滿足條件的等和線位置.

例6 如圖13 所示,在平行四邊形ABCD中,M,N為CD的三等分點(diǎn),S為AM與BN的交點(diǎn),P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),Q為三角形SMN內(nèi)一點(diǎn)(含邊界),若則x+y的取值范圍是_____.

圖13

圖14

評(píng)析平面向量共線定理的表達(dá)式中的三個(gè)向量的起點(diǎn)務(wù)必一致,若不一致,本著少數(shù)服從多數(shù)的原則,優(yōu)先平移固定的向量;若需要研究兩系數(shù)的線性關(guān)系,則需要通過變換基底向量,使得需要研究的代數(shù)式為基底的系數(shù)和.

類型4:基底可以合理調(diào)節(jié)

有時(shí)候所要求解的量是系數(shù)的一般線性關(guān)系式,而非系數(shù)和,考慮到可以通過數(shù)乘運(yùn)算將向量進(jìn)行同向或者反向伸長、壓縮,所以從理論上講,所有系數(shù)的線性關(guān)系式都可以通過合理調(diào)節(jié)向量的基底,將所求系數(shù)的線性關(guān)系式變?yōu)閮蓚€(gè)新的基向量的系數(shù)和.

圖15

圖16

總之,向量的等和線巧妙地將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問題,將系數(shù)和的代數(shù)式運(yùn)算轉(zhuǎn)化為了距離的比例運(yùn)算,數(shù)形結(jié)合思想得到了有效直接的體現(xiàn).向量的等和線法將復(fù)雜的不等式問題、范圍問題、數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、直接、操作方便的點(diǎn)到直線距離問題,很多時(shí)候用相似即可迅速解決.因此,等和線在解決平面向量中雙變量代數(shù)式求取值范圍或最值問題時(shí),具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì).