“賦值”法在函數(shù)不等式恒成立問題中的應(yīng)用

浙江省寧波市第四中學(xué)(315016) 唐益鳴 蔣亞軍

一、“共零點(diǎn)”賦值

例1 若關(guān)于不等式(ax ?1)(lnx+ax)≥0 在x>0 上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.

例2 (2020 年高考浙江卷數(shù)學(xué)第9 題)已知a,b ∈R 且0,若(x ?a)(x ?b)(x ?2a ?b) ≥0 在x≥0 上恒成立,則()

A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0

解析令F(x)=(x–a)(x–b),G(x)=x–2a–b,當(dāng)a >0,b >0 時,2a+b >a,2a+b >b,如圖所示,不滿足在x≥0上F(x)G(x) ≥0 恒成立;當(dāng)a <0,b >0 時,2a+b 0,b <0 時,2a+b=a,如圖所示,只要a+b=0,就滿足在x≥0 上F(x)G(x) ≥0 恒成立;當(dāng)a <0,b <0 時,2a+b <0,如圖所示,滿足在x≥0 上F(x)G(x) ≥0 恒成立.

綜上一定有b<0,故選:C.

評注這類題型的特點(diǎn)是:f(x)g(x) ≥0(或f(x)g(x) ≤0)恒成立;其解法為:根據(jù)f(x)和g(x)的圖象,經(jīng)過簡單的分析,一般可以發(fā)現(xiàn)f(x)和g(x)的零點(diǎn)相同才滿足題意.運(yùn)用“共零點(diǎn)”賦值,可以很快完成下列問題的解答.

練習(xí)1 (2020 年紹興市柯橋區(qū)期末試題) 已知a、b ∈R,且0,對 任 意x >0 均 有(lnx ?a)(x ?b)(x ?a ?b)≥0,則()(答案:B.)

練習(xí)2 (2019 年杭州高級中學(xué)月考試題) 設(shè)a,b ∈Z,若 對 任 意x≤ 0,都 有(ax+2)(x2+2b)≤ 0,則a=____,b=____.

簡解由2b <0,a >0 且得a=1,b=?2.

二、“結(jié)構(gòu)式”賦值

評注這種解題方法,依據(jù)題中的條件構(gòu)造出函數(shù),并將該函數(shù)與所求結(jié)論的關(guān)系式進(jìn)行結(jié)構(gòu)對比,通過合理賦值加以解決.對于客觀題作答可以說是簡捷明快,值得注意的是,它的充分性是否正確需要證明.如下列問題:

三、“特定值”賦值

例6 (2020 年衡水一中高考模擬試題) 已知函數(shù)f(x)=axex ?(a+1)(2x ?1),當(dāng)x >0 時,函數(shù)f(x) ≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

評注對于這類不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題,直接用“分離參數(shù)法”,往往是行不通的,充分利用試題直接給出的或者從關(guān)系式結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)等可以看出的,對函數(shù)不等式合理的賦值,可以極大地優(yōu)化問題的求解過程[1].如2019年高考浙江試題第22 題就是典型一例.

練習(xí)5 (2019 年高考浙江卷第22 題)已知實(shí)數(shù)0,設(shè)函數(shù)