一道橢圓中直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的探究與溯源

重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)(401220) 田 鵬 王海輝

1 試題呈現(xiàn)

(I)求a的值;

(II) 設(shè)線段AF,BF的延長(zhǎng)線分別交橢圓于D,E兩點(diǎn),當(dāng)k變化時(shí),直線DE是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

試題著眼于直線與橢圓的位置關(guān)系的研究.問(wèn)題(I)考查基礎(chǔ)知識(shí),起點(diǎn)低,結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算,易得a=問(wèn)題(II)兼顧基礎(chǔ)與創(chuàng)新,“低起點(diǎn),多層次,高落差”,設(shè)計(jì)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,與常見(jiàn)的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的類型不盡相同.本題中的圖形涉及的點(diǎn)、線較多,這給問(wèn)題的解決帶來(lái)了困難.解題過(guò)程中數(shù)值計(jì)算和多字母計(jì)算及推理能夠很好地檢驗(yàn)學(xué)生“用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題”的能力,有效地考查了學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),是一道區(qū)分度較高的試題.

2 試題解答

評(píng)注由對(duì)稱性不難得到直線DE所過(guò)定點(diǎn)在x軸上.解法一依循解決解析幾何的通性通法,遵循“設(shè)——列——解”的程序化套路.由于解法一根據(jù)條件“順路走”,側(cè)重于將幾何位置關(guān)系直接代數(shù)表示,因而計(jì)算量(其中涉及多元代數(shù)運(yùn)算)不可謂不大.欲求證直線DE過(guò)定點(diǎn),理所當(dāng)然應(yīng)先求出D,E的坐標(biāo),再由直線的點(diǎn)斜式方程求得直線DE的方程,進(jìn)而求得定點(diǎn)坐標(biāo).

評(píng)注解法二實(shí)際上依賴于解法一中的結(jié)論,即直線DE的斜率為直線AB的斜率的5 倍.不同的是解法一注重設(shè)點(diǎn)解點(diǎn),而解法二注重設(shè)線整體代換,先假設(shè)直線DE的方程為x=my+n,進(jìn)而尋找m和n的方程關(guān)系,求得定點(diǎn)坐標(biāo).另外,還得注意n=要舍去.從運(yùn)算過(guò)程來(lái)看,解法二比解法一優(yōu)化了不少,其最關(guān)鍵的就是設(shè)而不求的方程思想的運(yùn)用,可以看出解法二有兩個(gè)難點(diǎn),一個(gè)是斜率間的關(guān)系,另一個(gè)是m和n的方程的尋找,如果這個(gè)兩個(gè)難點(diǎn)中的任何一個(gè)沒(méi)有得到解決,要得到最終的結(jié)果無(wú)疑是困難的.下面我們介紹第三種方法,有目的的尋找方程:

評(píng)注解法三構(gòu)造二次曲線的方法通常適用于圓錐曲線的相交弦的問(wèn)題,這種解法雖然計(jì)算量很大,但是解決問(wèn)題的目標(biāo)是很明確的,即尋找直線系數(shù)的一次方程關(guān)系,進(jìn)而求得直線過(guò)定點(diǎn).

值得注意的是,從本題的三種解法的解題過(guò)程來(lái)看,運(yùn)算量實(shí)際上都較大.不過(guò),用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題有時(shí)候難免運(yùn)算量較大.因此,在沒(méi)有更好的方法解決問(wèn)題時(shí),要求學(xué)生鼓起勇氣計(jì)算下去,培養(yǎng)和提高學(xué)生的運(yùn)算能力與推理能力是很有必要的,這也是培育學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要途徑.至于本題是否還有更優(yōu)化的方法,在此先不過(guò)多地探討.

著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò):“好問(wèn)題同某種蘑菇有些相似,它們大都成堆地生長(zhǎng),找到一個(gè)以后,你應(yīng)當(dāng)再在周圍找一找,很可能在附近就有幾個(gè).”而獲得“蘑菇”的方法就是不斷反思題目中的條件和結(jié)論,嘗試提出新問(wèn)題.深入思考本題的題干條件和解答過(guò)程,有以下幾個(gè)反思:

反思1 將題干中的橢圓C換成任意橢圓(橢圓的中心在原點(diǎn),且關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱,后面所說(shuō)的任意橢圓都有這個(gè)限制),焦點(diǎn)F變?yōu)镼(t,0)(0,±a),其余條件不變,則直線DE的斜率與AB的斜率比值還是定值嗎?

反思2 將題干中的橢圓C換成任意橢圓,焦點(diǎn)F變?yōu)镼(t,0)(0,±a),其余條件不變,則直線DE還過(guò)定點(diǎn)嗎?

反思3 將題干中的橢圓C換成任意橢圓,直線AB所過(guò)定點(diǎn)為P(s,0),焦點(diǎn)F變?yōu)镼(t,0)(0,±a),其余條件不變,則直線DE的斜率與AB的斜率比值還是定值嗎?

反思4 將題干中的橢圓C換成任意橢圓,直線AB所過(guò)定點(diǎn)為P(s,0),焦點(diǎn)F變?yōu)镼(t,0)(0,±a),其余條件不變,則直線DE還過(guò)定點(diǎn)嗎?

反思5 命題者是以什么背景命制的本試題呢?

3 性質(zhì)探究

解決問(wèn)題時(shí),除了正確地解決問(wèn)題,更重要的是通過(guò)問(wèn)題的解決提高能力,積累經(jīng)驗(yàn),拓展數(shù)學(xué)思維.而對(duì)試題進(jìn)行一般化推廣就是一種鍛煉數(shù)學(xué)思維的重要途徑.從前面的解題歸納總結(jié)中,我們獲得了如下的一些性質(zhì).

性質(zhì)1 如圖2,已知橢圓C:=1(a >b >0),直線AB過(guò)原點(diǎn)O,Q(t,0)(0,±a)為x軸上的定點(diǎn),過(guò)Q的直線AD與橢圓交于D,過(guò)Q的直線BE與橢圓交于E,記直線DE的斜率為k1,直線AB的斜率為

圖2

將題干中的橢圓C推廣為任意橢圓,將焦點(diǎn)F推廣為任意一點(diǎn)Q(t,0)(0,±a),得到了性質(zhì)1 和性質(zhì)2.進(jìn)一步一般化條件,可得到下面的性質(zhì)3 和性質(zhì)4.

性質(zhì)3 如圖3,已知橢圓=1(a >b >0),直線AB過(guò)定點(diǎn)P(s,0),且交橢圓于A,B兩點(diǎn),Q(t,0)(0,±a)為x軸上的定點(diǎn),過(guò)Q的直線AD與橢圓交于D,過(guò)Q的直線BE與橢圓交于E,記直線DE的斜率為k1,直線AB的斜率為k2,則有

圖3

將題干中的橢圓C推廣為任意橢圓,將直線AB所過(guò)原點(diǎn)推廣為任意一個(gè)定點(diǎn)P(s,0),將焦點(diǎn)F推廣為任意一個(gè)定點(diǎn)Q(t,0)(0,±a),得到了性質(zhì)3 和性質(zhì)4.可以發(fā)現(xiàn),運(yùn)用解析法證明這些性質(zhì)時(shí),運(yùn)算量非常地大.那么此題還能進(jìn)一步推廣嗎? 答案是肯定的.

雖然前面我們將問(wèn)題進(jìn)行了初步推廣,得到了幾條性質(zhì).然而,到目前為止,我們還是沒(méi)發(fā)現(xiàn)命題者命制本題的背景.為了更加清楚地揭示此題的背景,我們給出下面的定理1,并運(yùn)用定理1 結(jié)合直線的參數(shù)方程證明定理2,最后用定理2再次證明性質(zhì)2 和性質(zhì)4.

4 背景溯源

圖4

圖5

由于P,Q為定點(diǎn),故t4和t0是定值,而t1+t2與t1t2可由直線l的參數(shù)方程與橢圓的方程聯(lián)立,再結(jié)合韋達(dá)定理求解而得出結(jié)果(特殊的可直接寫(xiě)出),且t1+t2與t1t2是定值,故t3也是定值,這說(shuō)明M為定點(diǎn),即直線DE過(guò)定點(diǎn)M.

下面,用定理2 來(lái)證明性質(zhì)2 和性質(zhì)4.

由此可見(jiàn),命題者應(yīng)是以定理1 作為背景來(lái)命制的這道試題,只不過(guò)是取了其中最特殊的一種情況,即定理1 和定理2 中的直線為直角坐標(biāo)系中的軸.如果將一般的情形作為考試試題,那么不熟悉這個(gè)背景的學(xué)生將會(huì)面臨很大的運(yùn)算困難.事實(shí)上,從前面試題的解答來(lái)看,即使是特殊的情形,其運(yùn)算量都已經(jīng)相當(dāng)大了.文獻(xiàn)[1]中將定理1 稱為二次曲線中的蝴蝶定理,其特殊情況為二次曲線中的坎迪定理[2].本文所證結(jié)論皆可以推廣到雙曲線和拋物線,感興趣的讀者可自行探究.

值得一說(shuō)的是,解題是最能體現(xiàn)教師專業(yè)素質(zhì)的一項(xiàng)活動(dòng),更是一項(xiàng)基本功.常言道:“教師教給學(xué)生一碗水,自己要有一桶水.”教師解題不能只停留在做出了答案,還得深挖試題背景,做到知其然,更要知其所以然.雖然未必要把所有的知識(shí)傳授給學(xué)生,但是看清問(wèn)題的本質(zhì)本身也是一件令人賞心悅目的事.