伸縮變換在橢圓問題中的應(yīng)用與拓展
——從一道教材習(xí)題的解法談起

云南省下關(guān)第一中學(xué)(671000) 馬孟華

伸縮變換作為高中階段學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容,經(jīng)常出沒于高考試題中.本文結(jié)合對(duì)教材課后習(xí)題的解法探究,深入拓展總結(jié)出了“伸縮變換”在解決橢圓問題上的方法優(yōu)勢(shì),并對(duì)伸縮變換的幾個(gè)重要性質(zhì)作了介紹.

1 利用伸縮變換解決橢圓中的定值、最值、范圍問題

1.1 問題的提出

例1 (人教A 版《數(shù)學(xué)》(選修4-4) 第15 頁(yè)習(xí)題1.3第6 題) 已知橢圓的中心為O,長(zhǎng)軸、短軸的長(zhǎng)分別為2a,2b(a>b>0),A,B分別為橢圓上的兩點(diǎn),且OA⊥OB.

(2) 求?AOB面積的最大值和最小值.

分析因?yàn)樵擃}出現(xiàn)在“簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程”后的習(xí)題,考慮該題在教材中的“位置背景”,自然想到用極坐標(biāo)方程解決.

解決上述問題的方法看似自然,但在實(shí)際教學(xué)過程中,往往令人大失所望.問題主要出現(xiàn)在第(2)問的解答過程中,計(jì)算和化簡(jiǎn)過程及其復(fù)雜,特別是由表達(dá)式到化簡(jiǎn)的過程是絕大多數(shù)學(xué)生無法完成的.

1.2 解決橢圓中三角形面積的最值、范圍問題

例1 的“位置背景”明顯,顯然優(yōu)先考慮“極坐標(biāo)法”.但我們不應(yīng)忽視這樣一個(gè)事實(shí):學(xué)生在脫離“位置背景”的情況下獨(dú)立解決問題(如考場(chǎng)上遇到這類問題),是不容易“對(duì)號(hào)入座”的,在沒有“位置背景”的支撐下,如何整合日常所學(xué)找到解決問題的有效手段? 定位有效方法? 最終提升解題速度和解題能力,這應(yīng)該是一線教師在課堂教學(xué)中最應(yīng)該重視的一個(gè)問題,即一線教學(xué)經(jīng)常探討的課題——課堂教學(xué)的有效性和整合性.在結(jié)合具體的教學(xué)實(shí)際以及深入研究后,我們可以考慮使用平面中的“伸縮變換”方法來解決該問題.解法如下:

圖1

圖2

如果我們?cè)谝痪€教學(xué)中拋開數(shù)學(xué)問題的“位置背景”,在教學(xué)過程中不局限于局部性問題特征,有效的將教學(xué)內(nèi)容和問題進(jìn)行整合分析,防止“碎片化”教學(xué)情況的發(fā)生,提升教學(xué)內(nèi)容、方法、思想的完整性,從而增進(jìn)課堂教學(xué)的有效性.

1.3 解決橢圓中的距離、弦長(zhǎng)問題

實(shí)際上,我們也可以利用伸縮變換解答第(1)問.

事實(shí)上,在伸縮變換作用下,橢圓上任意兩點(diǎn)構(gòu)成的線段在變換前后的長(zhǎng)度關(guān)系是可以確定的,此問中涉及了比較特殊的原點(diǎn)到橢圓上動(dòng)點(diǎn)的距離問題,但其可以推廣到一般化的變換前后橢圓上兩點(diǎn)間距離或弦長(zhǎng)間的關(guān)系問題,其理論基礎(chǔ)就是伸縮變換前后斜率比值關(guān)系的不變性,利用斜率比值的不變性可以尋求弦長(zhǎng)間的比值關(guān)系.推導(dǎo)如下:

2 伸縮變換的定義及常用性質(zhì)

2.1 伸縮變換的定義

2.2 伸縮變換下的常用性質(zhì)拓展

即可解釋為:伸縮變換前后對(duì)應(yīng)的直線的斜率比不變、平行線段長(zhǎng)度比不變、多邊形面積比不變,這些不變量和不變性為初等幾何的一些問題的解決提供了新的方法,使得橢圓中的定值、范圍、最值問題轉(zhuǎn)化為了單位圓中的簡(jiǎn)單問題,從而使解析幾何中難題的解決變得更為直觀和快捷.

3 伸縮變換方法的再應(yīng)用

3.1 伸縮變換在競(jìng)賽試題中的應(yīng)用

3.2 伸縮變換在高考試題中的應(yīng)用

例3 (2018 年高考新課標(biāo)II 卷理科第22 題)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;

(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.

解析(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為=1.當(dāng)cos0 時(shí),l的直角坐標(biāo)方程為y=tanα·x+2?tanα,當(dāng)cosα=0 時(shí),l的直角坐標(biāo)方程為x=1.

(2)的解法1 設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),將l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,整理得關(guān)于t的方程:

(1)求C的方程;

(2)點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn),求?AMN的面積的最大值.

解析(1)C的方程為=1,過程從略.

圖3

圖4

評(píng)析在伸縮變換的條件下,橢圓中的三角形面積的最值問題,轉(zhuǎn)化為了單位圓中三角形面積的最值問題,此時(shí)在單位圓中的最值問題可以采用“數(shù)形結(jié)合”解決,從而規(guī)避了橢圓中的復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算,使得問題的解決變得簡(jiǎn)單有效和快捷.

圖5

圖6

本文只例舉了幾個(gè)例子加以說明,再如:2008 年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第21 題,2013 年高考全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷理科第20題,2014 年高考全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理科第20 題,2015 年高考全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷理科第20 題,2015 年高考陜西卷理科第20 題等等均可用伸縮變換解決,且規(guī)避了復(fù)雜和繁瑣的代數(shù)運(yùn)算.值得注意的是,伸縮變換作為一種有效的解決橢圓中直線斜率、弦長(zhǎng)、多邊形面積問題的有效工具,不僅可以規(guī)避解析幾何中復(fù)雜、繁瑣的代數(shù)運(yùn)算,而且在一定程度上還能帶領(lǐng)我們領(lǐng)略命題者的命題意圖,帶領(lǐng)我們掌握數(shù)學(xué)問題的來源和本質(zhì),最終我們也能像命題專家一樣依據(jù)問題的本質(zhì)命制新的試題.

當(dāng)然,作為解決解析幾何中橢圓問題的有效工具,其局限性也是存在的,比如,涉及雙曲線、拋物線問題時(shí),伸縮變換的優(yōu)勢(shì)就不明顯了,從目前新課程中對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要求以及高考考查的目標(biāo)方向來看,圓錐曲線的考查是綜合的,且靈活多變的,建議教師教學(xué)的主要手段還是應(yīng)該回歸到解決數(shù)學(xué)問題的“通性通法”上來,在提升學(xué)生解題能力、思維能力的同時(shí),帶領(lǐng)體會(huì)知識(shí)的生成過程,掌握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),這樣也才能更好的在教學(xué)中落實(shí)好培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的根本目標(biāo).