利用GeoGebra 培養(yǎng)高中學生數(shù)學核心素養(yǎng)的探索

廣州市第四中學(510170) 劉運科

0 問題的提出

教育部《普通高中數(shù)學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》(以下簡稱《課標》)提出了六大核心素養(yǎng):數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析,培養(yǎng)和提高學生的核心素養(yǎng),是高中數(shù)學課程的目標.通過怎樣的途徑來培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)呢? 當然是通過教學活動.如何開展教學活動呢?《課標》在“實施建議”部分,給出了五點教學建議.其中的第五點是“重視信息技術運用,實現(xiàn)信息技術與數(shù)學課程的深度融合”.《課標》指出,“教師應重視信息技術的運用,優(yōu)化課堂教學,轉(zhuǎn)變教學與學習方式”,“教師應注重信息技術與數(shù)學課程的深度融合,實現(xiàn)傳統(tǒng)教學手段難以達到的效果”.

GeoGebra 是一款功能強大的動態(tài)數(shù)學軟件,包含了繪圖、計算、幾何、3D 繪圖、表格、概率等功能.GeoGebra 軟件的最大特點是完美地實現(xiàn)了“數(shù)形結合”,表現(xiàn)在:能利用坐標準確作圖(各種二維圖形、三維圖形);圖形是矢量圖,通過鼠標能對圖形進行縮放、旋轉(zhuǎn)等操作,圖形不會失真;三維圖形嚴格按照透視投影原理呈現(xiàn),符合真實視角.GeoGebra 還有較好的交互性:既可以在指令欄輸入指令來完成操作,簡潔高效;也可以用鼠標在圖形用戶界面完成操作,簡單易學.另外,GeoGebra 的滑動條是一大特色,通過滑動條,能設計出各種動畫,來直觀演示圖形動態(tài)變化的過程,實現(xiàn)了思維可視化.

如何利用GeoGebra 軟件,來培養(yǎng)和提高學生數(shù)學核心素養(yǎng),成了當下課程改革的一個重要研究課題.筆者自2017年開始使用GeoGebra,進行了一些探索,積累了一些經(jīng)驗,現(xiàn)將其中的部分案例呈現(xiàn)出來,希望起到拋磚引玉的作用,同時為“如何利用GeoGebra 培養(yǎng)高中學生數(shù)學核心素養(yǎng)”提供一些素材.

1 利用GeoGebra 培養(yǎng)“數(shù)學抽象”素養(yǎng)

《課標》指出:數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關系與空間形式的抽象,得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng).主要包括:從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構,并用數(shù)學語言予以表征.

案例1 函數(shù)的周期性.函數(shù)的周期性定義如下:一般地,對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.這是一種用符號語言形式化的定義,而學生更喜歡“函數(shù)值周而復始重復出現(xiàn)”這種描述化的定義,學生學習周期性最大的難點在于:為什么周期性要用抽象的符號化的定義? 在實際教學中,教師可以利用GeoGebra 來獲得函數(shù)圖象,設計問題串,解決這個難點.

教師可以利用GeoGebra,利用三條指令:f(x)=如果(?1 ≤x≤ 1,abs(x)) ;滑 動 條(0,12,2) ;序列(f(x+t),t,?n,n,2),構造一個“鋸齒波”函數(shù)如下:

然后,設計問題串:從圖象上看,這個函數(shù)有什么特點?類比奇偶性、單調(diào)性的定義,如何用符號語言來定量描述這個特點? 常數(shù)T是否一定是正數(shù)? 如果T是周期,那么kT(k ∈Z0)是周期嗎? 為什么? 為什么要強調(diào)取定義域內(nèi)的每一個值?

利用GeoGebra 的直觀圖形,加上設計好的問題串,引導學生深入思考周期性符號定義的合理性和必要性,理解周期性概念的內(nèi)涵,培養(yǎng)和提高“數(shù)學抽象”素養(yǎng).

2 利用GeoGebra 培養(yǎng)“邏輯推理”素養(yǎng)

《課標》指出:邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括兩類:一類是從特殊到一般的推理,推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理,推理形式主要有演繹.

案例2 從內(nèi)切圓半徑到內(nèi)切球半徑.連接三角形的內(nèi)心(內(nèi)切圓圓心)與三個頂點,將三角形的面積進行分割,由此可以求出三角形內(nèi)切圓的半徑r=,其中S是三角形的面積,l是三角形的周長.將此結論類比推理到空間中,結論是什么呢? 這是一個非常經(jīng)典的類比推理問題,學生往往不會進行類比推理,得不到正確答案.在實際教學中,教師可以先設計好類比推理表格(如下),結合GeoGebra 來動態(tài)展示面積、體積的分割過程,解決這個經(jīng)典問題.

可以充分利用好滑動條、平移指令,來精心設計GeoGebra 課件,動態(tài)展示面積、體積的分割過程(如下圖),讓學生深刻理解到:類比推理是思想方法上的類比,而不僅僅是結論形式上的相似.利用GeoGebra 的動態(tài)直觀圖形,加上設計好的類比推理表格,引導學生深入思考類比推理的本質(zhì),培養(yǎng)和提高“邏輯推理”素養(yǎng).

3 利用GeoGebra 培養(yǎng)“數(shù)學建?！焙汀皵?shù)據(jù)分析”素養(yǎng)

《課標》指出:數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學建模過程主要包括:在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數(shù)、計算求解,檢驗結果、改進模型,最終解決實際問題.

3.2 《課標》對“數(shù)據(jù)分析”的表述

《課標》指出:數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù),運用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷,形成關于研究對象知識的素養(yǎng).數(shù)據(jù)分析過程主要包括:收集數(shù)據(jù),整理數(shù)據(jù),提取信息,構建模型,進行推斷,獲得結論.

案例3“茶溫提香”數(shù)學建模問題.新教材一個突出的特點是增加了“數(shù)學建?！眱?nèi)容,“茶溫提香”是人教A 版必修第一冊的一個經(jīng)典的數(shù)學建模實例.剛泡好的茶,放置多久能達到最佳口感呢? 這就需要從數(shù)學的角度來考慮問題,作出合理的假設,建立恰當?shù)哪Ｐ筒⑶蠼饽Ｐ汀@就是數(shù)學建模的基本過程.“數(shù)學建?！迸c“數(shù)據(jù)分析”緊密相連,在實際教學中,GeoGebra 是一個非常方便實用的輔助工具,主要體現(xiàn)在其強大的數(shù)據(jù)擬合功能.

在收集到時間與水溫的數(shù)據(jù)(如表) 之后,如何選擇模型、求解模型呢?

教師先引導學生做處理數(shù)據(jù)的第一步——畫散點圖;再根據(jù)事實:水溫最終將降為室溫(25°C),引導學生選擇指數(shù)型函數(shù)模型y=kax+25(當然,選擇另外的函數(shù)模型,如反比例型函數(shù)y=+25 也是合理的) ;然后,借助GeoGebra 的擬合功能,得出函數(shù)解析式;最后,檢驗模型的合理性,思考如何改進模型.

在這個實例中,GeoGebra 起到的作用有:散點圖形象直觀,方便提取信息,為解決問題提供思路;借助GeoGebra 的數(shù)據(jù)分析(擬合) 功能,可以避免繁瑣計算,直接求解模型.GeoGebra 的合理使用,有助于培養(yǎng)和提高“數(shù)學建?！薄ⅰ皵?shù)據(jù)分析”素養(yǎng).

4 利用GeoGebra 培養(yǎng)“直觀想象”素養(yǎng)

《課標》指出:直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng).主要包括:借助空間形式認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系,構建數(shù)學問題的直觀模型,探索解決問題的思路.

我們先來看一個題目:如圖,在三棱錐P ?ABC中,底面是邊長為4 的正三角形,PA=2,PA⊥底面ABC.在線段PB上是否存在點G,使得直線AG與平面PBC所成角的正弦值為

在線段上,尋找一個動點,使其滿足一定的條件——這是一個典型的立體幾何存在性問題.解決這類問題的一種方法是“坐標法”,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題(向量問題),通過代數(shù)運算(向量運算),進行求解.用坐標法,有幾個難點:建系正確合理;點的坐標不能出錯;利用向量共線定理假設動點的坐標;理解用向量法求角的原理并在具體問題中正確運用;準確進行向量運算.

解決這類問題有另一種方法——幾何法.幾何法的關鍵是利用定義,作出有關的角;再利用解三角形,求出角.與坐標法相比,幾何法的計算量較少,而對空間想象能力要求較高.我們可以利用GeoGebra 強大的3D 作圖功能,直觀呈現(xiàn)幾何體的結構,幫助學生理解空間中點線面的位置關系,作出正確的輔助線,再進行求解.作圖的思維導圖如下.

在實際教學中,教師可以按照上述思維導圖,一步步引導學生思考如何進行作圖,同時在GeoGebra 的3D 繪圖區(qū)逐步展示作圖過程,實現(xiàn)思維可視化.通過對圖形進行縮放、拖曳、改變視角,學生進一步理解幾何體的有關點線面的位置關系,理解線面角等有關概念,無形中培養(yǎng)了空間想象能力,提高了“直觀想象”素養(yǎng).

5 利用GeoGebra 培養(yǎng)“數(shù)學運算”素養(yǎng)

《課標》指出:數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).主要包括:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,選擇運算方法,設計運算程序,求得運算結果等.

案例5 圓錐曲線中的定值問題.圓錐曲線中的定值問題,是高考的一個熱點,也是一個難點.圓錐曲線定值問題的運算思路較多,不恰當?shù)乃悸窌е逻\算量巨大;如何從繁多的運算思路中,尋找最佳的運算思路,是解決問題的關鍵.在實際教學中,可以利用GeoGebra 作出精美圖形,利用滑動條工具,將問題動態(tài)直觀呈現(xiàn),觀察圖形運動變化中的不變量,分析條件和目標,合理轉(zhuǎn)化與化歸,再經(jīng)過嘗試與探究,從而找到最佳運算求解方法.我們來看一個例子.

如圖,已知M是拋物線y2=x上異于原點O的一個定點,動弦ME,MF分別交x軸于A,B,且MA=MB,證明:直線EF的斜率為定值.

以此題為例,教師可以先制作GeoGebra 課件,利用滑動條工具,動態(tài)演示本題,給學生形成直觀印象,初步獲得三個命題(猜想):MA,MB斜率互為相反數(shù),直線EF的斜率為定值,直線EF的斜率只與點M的坐標有關;然后根據(jù)如下的流程圖,引導學生探究算理(如何設參數(shù)),尋求算法(運算思路),證明猜想.

然后再讓學生分別按兩個思路進行運算,去證明命題;最后,對比兩種運算方法,分析難點和易錯點,比較方法的優(yōu)劣,經(jīng)反思后達成共識.

6 總結與展望

6.1 總結

一種功能強大的動態(tài)數(shù)學軟件,GeoGebra 本身并不具備培養(yǎng)和提高學生核心素養(yǎng)的功能;但在教師的精心設計下,GeoGebra 課件配合其他教學工具和手段的使用,有利于培養(yǎng)和提高學生的核心素養(yǎng).具體如下:

(1)“GeoGebra+問題串”.利用GeoGebra 提供的豐富圖形,配合設計好的問題串,教師可以引導學生深入對象的共性和本質(zhì)特點,從而抽象出有關概念,理解概念的內(nèi)涵和外延,培養(yǎng)和提高“數(shù)學抽象”素養(yǎng).

(2)“GeoGebra+表格”.利用GeoGebra 的3D 功能,配合設計好的類比推理表格,動態(tài)展示空間點線面的位置關系,引導學生將平面幾何的知識類比推理到空間立體幾何,感悟和體驗類比推理的本質(zhì)——思想方法的類比,培養(yǎng)和提高“邏輯推理”素養(yǎng).

(3)“GeoGebra+擬合”.在數(shù)學建模、概率統(tǒng)計等單元的教學中,可以用GeoGebra 來處理數(shù)據(jù):畫散點圖,提取信息,尋找思路;借助GeoGebra 的“擬合”功能,求解模型.GeoGebra 的合理使用,有助于培養(yǎng)和提高“數(shù)學建?！薄ⅰ皵?shù)據(jù)分析”素養(yǎng).

(4)“GeoGebra+思維導圖”.在復雜的立體幾何解題教學中,教師可以設計好思維導圖,引導學生思考,同時在GeoGebra 中逐步展示圖形的變化過程,實現(xiàn)思維可視化,有助于培養(yǎng)和提高“直觀想象”素養(yǎng).

(5)“GeoGebra+流程圖”.在復雜的解析幾何解題教學中,可以先用GeoGebra 課件,動態(tài)演示問題,獲得猜想;結合設計好的流程圖,去探究算理,尋求算法,執(zhí)行算法,反思算法.在反思算法環(huán)節(jié),GeoGebra 的計算器能執(zhí)行含字母的代數(shù)式的展開運算,直觀呈現(xiàn)算法的復雜程度.GeoGebra 的合理使用,有助于培養(yǎng)和提高“數(shù)學運算”素養(yǎng).

6.2 設想與展望

GeoGebra 軟件目前有電腦端和手機端,適用于各種操作系統(tǒng);目前還推出了GeoGebra Sensors 軟件,能利用智能手機獲得相應的加速度、定向、磁場、鄰近度、照度、時間等參數(shù),并在GeoGebra 中利用.期待能開發(fā)出GeoGebra 傳感器等硬件設施,為獲取數(shù)據(jù)提供另外的途徑,并促使軟件進一步完善.

目前利用GeoGebra 開展探究活動,多數(shù)是以教師為主導的,學生自主利用GeoGebra 開展探究活動還不多見;教師主要是在課堂教學中使用GeoGebra 進行,在其他時間使用較少.希望能通過不斷的學習,更多師生開始使用GeoGebra,在各種不同的環(huán)境中使用GeoGebra,為全面利用GeoGebra開展探究活動積累經(jīng)驗,來提升學生的核心素養(yǎng).