探尋分?jǐn)?shù)概念落地生根的有效教學(xué)途徑

李強

【摘要】在實際教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)如何滲透“部分—整體”的關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)概念的生成，豐富認(rèn)識表象呢？本文基于教學(xué)實踐探索的基礎(chǔ)上，提出幾點教學(xué)建議：分類研究，滲透關(guān)系思維;聚類研究，揭示概念本質(zhì);多元表征，深化認(rèn)識分?jǐn)?shù);巧用模型，豐富認(rèn)識表象。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);分?jǐn)?shù)概念;分類研究;聚類研究;多元表征

分?jǐn)?shù)概念體現(xiàn)的是整體與部分兩個量之間的關(guān)系，既可以分為單個的整體與部分之間的具象關(guān)系，又可以分為多個整體與部分之間的抽象關(guān)系，同時，還可以從比、商等多種角度加以理解。由此可見，分?jǐn)?shù)無論是在概念、意義上的理解還是讀寫、計算上的運用，較之整數(shù)都更加的抽象。人教版教材在三年級上冊安排了分?jǐn)?shù)的第一次認(rèn)識，通過單元主題圖呈現(xiàn)“秋游戶外野餐”分物品的場景，讓學(xué)生在操作中體會到對于平均分的結(jié)果有時能用整數(shù)表示，有時卻不能，從而激發(fā)認(rèn)識沖突，感悟產(chǎn)生新數(shù)的必要性。隨后，教材借助例1兩名學(xué)生平均分月餅的情境，用“”表示“一半”，初步認(rèn)識分?jǐn)?shù);緊接著通過小精靈的解釋明確提出分?jǐn)?shù)概念的基本要素“平均分”“它的”;隨后，將月餅平均分成4份，類比遷移學(xué)習(xí)。在實物模型的基礎(chǔ)上，教材借助面積模型——圓和長方形，認(rèn)識、，并由此概括出怎樣的數(shù)稱為分?jǐn)?shù)，同時進(jìn)行分?jǐn)?shù)各部分名稱的學(xué)習(xí);最后，通過例2折正方形的活動，體會異中求同，深化分?jǐn)?shù)的意義。

心理學(xué)研究表明：分?jǐn)?shù)概念的抽象性及其理解方式的多樣性，是學(xué)生理解分?jǐn)?shù)概念的困難所在。因此，在教學(xué)中如何滲透“部分—整體”的關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)概念的生成，豐富認(rèn)識表象呢？下面，筆者結(jié)合實踐教學(xué)，談幾點認(rèn)識和看法。

一、分類研究，滲透關(guān)系思維

數(shù)學(xué)概念的由來，是前人通過辨析比較大量的材料的過程中，提煉實物本質(zhì)屬性并歸納概括命名而形成的。為了讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)概念的形成過程，教師可提供學(xué)生大量的具有“整體與部分”關(guān)系的材料，巧設(shè)分類活動，讓學(xué)生經(jīng)歷分類、鑒別的過程。鑒于學(xué)生辨析能力的差異性而導(dǎo)致的分類形式多樣化，在教學(xué)中教師可以給定標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生“按級”分類。一級分類標(biāo)準(zhǔn)——是否平均分，即讓學(xué)生將材料按照是否平均分的特點分成兩類;二級分類標(biāo)準(zhǔn)——平均分的份數(shù)，即在一級分類的基礎(chǔ)上，將平均分的這一類材料按照分的份數(shù)再次進(jìn)行分類。如下圖所示：

一級分類圖示：

二級分類圖示：

學(xué)生在經(jīng)歷分類活動過程中，首先對分?jǐn)?shù)概念抽象的前提——“平均分”有了較為深刻的認(rèn)識，對后續(xù)的抽象命名具有一定的促進(jìn)意義;其次便于培養(yǎng)學(xué)生對材料的辨析比較及處理能力;同時還培養(yǎng)了學(xué)生“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的數(shù)學(xué)眼光。

二、聚類研究，揭示概念本質(zhì)

所謂聚類研究的概念形成過程，是指對大量不同的材料通過聚類的研究分析，發(fā)現(xiàn)其中相同的共性特點，這些特點就是概念最為本質(zhì)的特征，對這些本質(zhì)特征進(jìn)行歸納概括抽象命名就形成了概念。

在上述分類活動的基礎(chǔ)上，聚焦到二級分類“平均分成兩份”的材料中，通過“一個物體用整數(shù)1表示，那其中的一半應(yīng)該用什么數(shù)來表示呢？”的提問激發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，感悟分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，從而引出。隨后，先從直觀的實物模型入手，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范地表達(dá)出“把一個蘋果平均分成兩份，每一份都是它的二分之一”，初次感受“部分—整體”的關(guān)系。在引導(dǎo)性的舉例后，教師可以重心下移地讓學(xué)生以同桌方式或以小組形式對正方形和圓進(jìn)行探究。甚至，教師還可以鼓勵學(xué)生聯(lián)系生活中的事物進(jìn)行舉例，如，一根繩子與其中的一半、一個月餅平均分給兩個小朋友、一塊巧克力與其中的一半的關(guān)系、一本書與其中一半的關(guān)系、半杯水與整杯水的關(guān)系，等等，最后進(jìn)行全班交流。通過收集學(xué)生豐富的課堂生成資源，促使學(xué)生將數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活建立聯(lián)系，從而進(jìn)一步加深對內(nèi)涵的理解。有了的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，教師可以重心下移，大膽放手讓學(xué)生自主探究、的形成過程。在這個過程中，教師要注意對學(xué)生語言的修正和提煉，幫助學(xué)生在多元表征和規(guī)范表達(dá)中感悟分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)。最后，引導(dǎo)學(xué)生縱向觀察、對比、、的形成過程，異中求同，提煉出“把一個整體平均分成幾份，每一份就是它的幾分之一”。

三、多元表征，深化認(rèn)識分?jǐn)?shù)

鄭毓信教授認(rèn)為，教師在課堂教學(xué)中有必要強化案例、圖像、隱喻和手勢的運用，幫助學(xué)生建立概念的多元表征，并能根據(jù)需要與情景在不同表征之間作出靈活的轉(zhuǎn)化。同時，美國著名學(xué)者萊許等也曾借助下圖說明數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過程：“實物操作只是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的一個方面，其他的表征方式，如，圖像、書面語言、符號語言、現(xiàn)實情景等，同樣也發(fā)揮著十分重要的作用?！?/p>

由此可見，學(xué)生利用不同的方式表征分?jǐn)?shù)概念，代表了其對分?jǐn)?shù)概念的理解水平。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)活動，積極引導(dǎo)學(xué)生通過“行為”“圖形”“符號”“語言”等方式表征分?jǐn)?shù)概念。例如，在最初接觸時，先從“行為”（二級分類過程中，將平均分成兩份的物體歸為一組）入手，隨后抽象出“一半”的數(shù)學(xué)符號——，再通過語言表征（將一個物體平均分成2分，其中的1分就是這個物體的）認(rèn)識，最后通過圖形表征（折一折、涂一涂的活動）豐富的認(rèn)識。此外，教師在教學(xué)時需要把握不同表征方式之間的關(guān)系，努力讓學(xué)生經(jīng)歷多種表征方式的“來回”轉(zhuǎn)換。例如，通過分類研究、聚類分析的活動給出、、等分?jǐn)?shù)的“符號”，這是“行為”“圖形”表征轉(zhuǎn)化為“符號”表征的過程。而例2“拿正方形紙折一折，表示出它的”則是通過給出的符號回溯操作活動，是“符號”表征轉(zhuǎn)化為“行為”“圖形”表征的過程。在多種表征“有來有回”的過程中，學(xué)生再一次深化了“平均分”“分的是誰就是誰的幾分之一”兩重含義的理解。

四、巧用模型，豐富認(rèn)識表象

鄭毓信教授曾提出：“我們應(yīng)注意防止這樣的一種傾向，即在教學(xué)中只是注重了概念的生成，但卻未能幫助學(xué)生通過概念的分析與組織形成對概念的深刻理解。分?jǐn)?shù)概念由于其抽象性，學(xué)生理解起來有難度?！币虼耍诟拍畹囊脒^程中，教師要注意使學(xué)生建立清晰的表象。而分?jǐn)?shù)概念表象的建立，是以對所感知材料的觀察和分析為基礎(chǔ)的，需要借助豐富的感性材料，把分?jǐn)?shù)概念中最本質(zhì)的屬性用恰當(dāng)?shù)闹庇^模型演示出來，把數(shù)和形結(jié)合起來，為建構(gòu)分?jǐn)?shù)概念奠定基礎(chǔ)。

在實際教學(xué)中，大部分教師幾乎都是通過分月餅或分蛋糕的情景來引入的概念，隨后通過“折一折”“涂一涂”的活動以期讓學(xué)生借助各種長方形、正方形等面積模型紙折出，豐富認(rèn)知。雖然教師努力地通過實物模型、面積模型來建立對的表象認(rèn)知，但仍然會造成分?jǐn)?shù)概念認(rèn)識的單一（學(xué)生對的認(rèn)識仍然停留在半個月餅、半個張方形、半個圓上）。因此，在教學(xué)中，我們除了像上述提及的重心下移，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中更多“一半”的實物模型外，還可以適當(dāng)采用集合模型、數(shù)軸模型、線段模型等多樣化的直觀模型，豐富學(xué)生的認(rèn)識表象，避免思維的僵化。分?jǐn)?shù)概念具有雙重性，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”，只有從兩個方面認(rèn)識分?jǐn)?shù)，才能更好地理解并掌握它的本質(zhì)意義。

總之，在教學(xué)過程中，教師要努力做到向?qū)W生提供豐富的生活素材，讓學(xué)生在辨析比較中經(jīng)歷分?jǐn)?shù)概念的形成，同時借助多樣化的直觀模型，豐富學(xué)生的認(rèn)識表象，發(fā)展數(shù)感。

參考文獻(xiàn)：

[1]小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.教師教學(xué)用書·數(shù)學(xué)·三年級上冊[M].人民教育出版社，2016.

[2]吳亞萍.數(shù)學(xué)教學(xué)改革指導(dǎo)綱要[M].福建教育出版社，2017.

[3]吳亞萍.中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課型研究[M].福建教育出版社，2017.

[4]史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京師范大學(xué)，2012.

責(zé)任編輯 ?羅燕燕