全景式數(shù)學(xué)視野下“三角形內(nèi)角和”的教學(xué)與思考

?孫慧敏

【摘 要】本文基于全景式數(shù)學(xué)教育理念和皮亞杰心理發(fā)展理論設(shè)計“三角形內(nèi)角和”的教學(xué)，構(gòu)建了“測量—操作—發(fā)現(xiàn)—推理—拓展”的學(xué)習(xí)路徑，學(xué)生在對誤差的質(zhì)疑中經(jīng)歷完整的認(rèn)知過程，逐步從操作走向推理，從形象走向抽象，數(shù)學(xué)文化與非歐幾何的融入拓展了學(xué)生的認(rèn)知邊界，深化對三角形內(nèi)角和理解的同時鏈接了未來的學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】三角形內(nèi)角和 實驗操作 分析推理 非歐幾何 全景式數(shù)學(xué)教育

“三角形內(nèi)角和”是北師大版數(shù)學(xué)四年級下冊的教學(xué)內(nèi)容，教材按照“情景啟動—度量發(fā)現(xiàn)—操作驗證—得出結(jié)論”這樣的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行編排。通過量一量、拼一拼、折一折等操作活動，引導(dǎo)學(xué)生用實驗的方法得出“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論。

一般的教學(xué)思路是先讓學(xué)生測量三角形三個內(nèi)角的度數(shù)并求和，再組織學(xué)生通過剪、拼、折等操作活動將三個內(nèi)角移到一起組成一個平角，得出“三角形內(nèi)角和是180°”的結(jié)論。學(xué)生在實際測量過程中經(jīng)常會碰到量出來的三個內(nèi)角的和并不是180°的情況，或偏大一點(diǎn)，或偏小一點(diǎn);還有的學(xué)生為確保量的結(jié)果是180°而只量兩個角，然后用180°減去兩個角的和，從而求出第三個角的度數(shù)。學(xué)生用“剪”“撕”的方法時，混淆了原三角形的內(nèi)角和新生成的角，拼不成平角，還有學(xué)生不知道如何把三個內(nèi)角折成平角。

縱觀整個教學(xué)過程，學(xué)生雖經(jīng)歷了動手實踐、合作探究等過程，但他們的活動始終在結(jié)論范圍內(nèi)，整個過程少了一些應(yīng)具備的數(shù)學(xué)理性思考。

一、基于全景式教育理論和皮亞杰心理理論的教學(xué)思考

全景式數(shù)學(xué)教育認(rèn)為：“學(xué)習(xí)是從孩子該開始、想開始的地方開始?！睂嶋H上，在教學(xué)之前，很多學(xué)生已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和是180°，卻是“知其然不知其所以然”。

實際教學(xué)時，當(dāng)學(xué)生量出來的三個內(nèi)角和不是180°時，我們會告訴學(xué)生，測量有誤差。其實，學(xué)生也會產(chǎn)生質(zhì)疑，測量會有誤差，難道拼、折等活動過程中就沒有誤差嗎？如果有誤差，怎么能確認(rèn)拼接起來的就是真正的“平角”呢？如果不能確認(rèn)拼出的是平角，那么這個180°是如何認(rèn)定的呢？

任何操作都無法完全避免誤差，學(xué)生在量、拼、折的操作活動中“憑借自己的眼睛”得出的結(jié)論只能說明三角形內(nèi)角和是180°的可能性最大，要想嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范地證明結(jié)論，則需要用到有關(guān)的幾何定理，而這超出了小學(xué)階段的學(xué)習(xí)范疇。

在全景式數(shù)學(xué)教育課堂中要想做到既讓學(xué)生“知其然”，又讓學(xué)生“知其所以然”，需要重新思考以下問題：怎樣的操作活動能讓學(xué)生心服口服？對于小學(xué)生來說，有沒有辦法從數(shù)學(xué)的角度來驗證？如何設(shè)計教學(xué)才能做到形象與抽象、直觀與理性有機(jī)融合呢？整個教學(xué)過程能給學(xué)生的思考力帶來哪些增量？

瑞士心理學(xué)家皮亞杰指出，每一個結(jié)構(gòu)都是心理發(fā)生的結(jié)果，而心理發(fā)生就是從一個較初級的結(jié)構(gòu)過渡到一個不那么初級的（或復(fù)雜的）結(jié)構(gòu)。他強(qiáng)調(diào)，認(rèn)知的獲得必須用一個將結(jié)構(gòu)主義和構(gòu)建主義緊密結(jié)合起來的理論來說明?？梢姡谄喗芸磥?，心理發(fā)展是在主客體相互作用的基礎(chǔ)上，通過主體不斷構(gòu)建心理結(jié)構(gòu)而實現(xiàn)的。因此，在教育活動中必須努力促進(jìn)學(xué)生逐步形成“心理結(jié)構(gòu)導(dǎo)致學(xué)習(xí)活動，學(xué)習(xí)活動使心理結(jié)構(gòu)得到發(fā)展”的永無止境的互惠循環(huán)關(guān)系，從而使個體的心理結(jié)構(gòu)不斷地發(fā)展，并逐步達(dá)到成熟的水平。

以上述理論為依據(jù)重新設(shè)計三角形內(nèi)角和的教學(xué)，構(gòu)建了“測量—操作—發(fā)現(xiàn)—推理—拓展”的認(rèn)知?dú)v程和思考過程，讓學(xué)習(xí)逐步從操作走向推理，從形象走向抽象，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)證明奠定基礎(chǔ)，深化對數(shù)學(xué)知識的理解。

二、基于全景式教育理念和認(rèn)知科學(xué)的教學(xué)實踐路徑

（一）動手操作不斷激發(fā)學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)

蘇霍姆林斯基說：“運(yùn)用直觀的手段，絕不是為了整節(jié)課抓住學(xué)生的注意力不放，而是為了在教學(xué)的某一階段上使兒童擺脫形象，在思維上過渡到概括性的真理和規(guī)律上去?！睆恼軐W(xué)視角觀察，探索三角形內(nèi)角和是意義復(fù)原的過程，從多角度、多向度理解三角形內(nèi)角和與180°的結(jié)構(gòu)聯(lián)系;從知識結(jié)構(gòu)視角觀察，這是學(xué)生經(jīng)歷溝通對話、相互融合之后的一種“獲得”，是外在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)在學(xué)生個體心理上的投射。

在教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷了四次操作。第一次是測量求和，第二次是拼平角，兩次操作之后還是不能確定三角形的內(nèi)角和是180°，學(xué)生會產(chǎn)生這樣的疑問：我的操作和已有結(jié)論為什么不一樣？學(xué)生思維“卡殼”后，在教師的提示下學(xué)生進(jìn)行第三次操作“轉(zhuǎn)筆實驗”，建立內(nèi)角和與180°的內(nèi)在聯(lián)系。第四次操作引導(dǎo)學(xué)生想象，并引入極限思想。經(jīng)歷這四次操作，學(xué)生的思維被激活，從形象逐漸發(fā)展到抽象，在此過程中積極、主動地建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。正因為學(xué)生的大腦中產(chǎn)生了“問題”，學(xué)生才會循著線索不斷思考，不斷深入，并廣泛聯(lián)結(jié)，從而達(dá)到融會貫通的程度。

活動1：量一量

（1）測量內(nèi)角，求和并記錄。

學(xué)生分小組活動，并完成書本上的記錄單，在此過程中強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)要真實。

（2）小組匯報交流測量結(jié)果。

思考：通過測量，你們發(fā)現(xiàn)了什么？為什么會出現(xiàn)179°、182°……呢？憑借我們測量的結(jié)果，你們能確定三角形的內(nèi)角和是180°嗎？

教師小結(jié)：量角過程中確實會有誤差，但從測量的數(shù)據(jù)能看出三角形的內(nèi)角和非常接近180°。有沒有更好的辦法來驗證三角形的內(nèi)角和是180°呢？

【設(shè)計說明：通過讓學(xué)生親自動手測量不同三角形三個內(nèi)角并計算內(nèi)角和，學(xué)生能感受到測量過程中誤差的真實存在，并由此引發(fā)思考“三角形的內(nèi)角和是180°”這個結(jié)論通過測量無法得出，還有沒有更合理的方法？從而培養(yǎng)學(xué)生實事求是、誠實嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶嶒瀾B(tài)度?！?/p>

活動2： 拼一拼，折一折

（1）學(xué)生用剪或撕的方法將一個銳角三角形的三個內(nèi)角拼成一個平角，然后完成直角三角形和鈍角三角形三個內(nèi)角拼成一個平角的撕拼過程。

（2）學(xué)生用折的方法將一個銳角三角形的三個內(nèi)角拼成一個平角，然后完成直角三角形和鈍角三角形三個內(nèi)角折成平角的過程。

思考：在剪、撕、折的過程中，你們發(fā)現(xiàn)了什么？它們與測量求和法有什么聯(lián)系？

教師小結(jié)：剛才我們用的幾種方法都屬于操作實驗驗證，只要是操作，就不可避免一個問題——產(chǎn)生誤差。那么，“三角形的內(nèi)角和是180°”是怎么認(rèn)定的呢？

【設(shè)計說明：本環(huán)節(jié)中學(xué)生動手操作，完善了不同方法驗證三角形內(nèi)角和的過程，在整個操作過程中誤差仍難以避免，這又促使學(xué)生思考：還有沒有更直觀、精準(zhǔn)的方法？】

活動3：轉(zhuǎn)筆演示

學(xué)生提前在紙上畫好一個三角形（任意），標(biāo)出三個內(nèi)角，準(zhǔn)備一支筆。

第一步：把筆放在三角形的一條邊上，記住筆頭和筆尾的朝向。

第二步：以筆尾為中心旋轉(zhuǎn)∠1的度數(shù)。

第三步：以筆頭為中心旋轉(zhuǎn)∠2的度數(shù)。

第四步：以筆尾為中心旋轉(zhuǎn)∠3的度數(shù)。

思考：轉(zhuǎn)完三個內(nèi)角后，觀察筆頭和筆尾的朝向，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

教師小結(jié)：這是數(shù)學(xué)家帕斯卡驗證的方法，在轉(zhuǎn)筆開始之前，筆頭是朝左，轉(zhuǎn)了三個角之后，筆頭朝右了，這說明三個角之和是180°。

活動4：想象（極限思想）

出示一個任意三角形，三個內(nèi)角分別是∠1、∠2、∠3，三個外角分別是∠a、∠b、∠c。從圖中可知∠1+∠a=180°、∠2+∠b=180°、∠3+∠c=180°。這六個角的度數(shù)就是180°×3 = 540°。

借助演示文稿動態(tài)演示圖形變化，讓三角形不斷變小（形狀不變），邊演示邊讓學(xué)生想象。

思考：當(dāng)三角形越來越小時（形狀不變），直至最后變成一個點(diǎn)，你們能得到三角形的內(nèi)角和嗎？

教師小結(jié)：當(dāng)三角形變成一個點(diǎn)后，原來的三個外角就組成了一個周角，周角是360°，則消失的三個內(nèi)角的度數(shù)和是180°×3-360°=180°，由此可知三角形內(nèi)角和是180°。

【設(shè)計說明：在操作活動中補(bǔ)充轉(zhuǎn)筆方法和想象（極限思想）方法，是對小學(xué)階段實驗幾何、經(jīng)驗幾何的提升，讓學(xué)生深刻體會從靜態(tài)到動態(tài)的數(shù)學(xué)研究方法，使其在直觀操作的基礎(chǔ)上拓寬思路，獲得理性思考的啟迪，培養(yǎng)空間想象能力?！?/p>

（二）數(shù)學(xué)文化引導(dǎo)學(xué)生思維向深度發(fā)展

歷史是根，文化是土壤，全景數(shù)學(xué)認(rèn)為應(yīng)在數(shù)學(xué)歷史文化中學(xué)習(xí)知識和技能，而不是在知識技能中滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化。在教學(xué)中引入數(shù)學(xué)家泰勒斯、帕斯卡的故事，學(xué)生跨越時空了解了他們解決問題的策略，提升了自身認(rèn)知的彈性，促進(jìn)了對知識的融會貫通。事實上，學(xué)生了解知識的源頭和其背后的發(fā)展史的過程也是其在知識還原過程中理解“三角形內(nèi)角和是180°”這一結(jié)論的過程，而且數(shù)學(xué)家那種不懈追求的探索精神在激發(fā)學(xué)生興趣的同時也讓他們感受到了數(shù)學(xué)極富魅力的一面。

故事：泰勒斯發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和

相傳，泰勒斯為了裝修房子，從市場上買來了等邊三角形地磚。當(dāng)他鋪好地磚欣賞時，發(fā)現(xiàn)了一個非常有趣的現(xiàn)象：把六塊同樣的正三角形的頂點(diǎn)置于同一點(diǎn)，結(jié)果恰好填滿該點(diǎn)周圍的區(qū)域，不重疊也沒有縫隙。這表明大小相同的六個角相加恰好等于360°，從而得出“六個內(nèi)角之和等于四個直角，三個內(nèi)角之和等于兩個直角”的結(jié)論。有了這一重要發(fā)現(xiàn)之后，愛動腦筋的泰勒斯進(jìn)一步思考：等腰三角形以及更一般的三角形拼起來，是否也有同樣的結(jié)果？

思考：六個同樣的等腰三角形可以拼成什么樣呢？六個同樣的普通三角形（三邊都不相等）又可以拼成什么樣子的圖呢？

結(jié)論：六個內(nèi)角之和等于四個直角，三個內(nèi)角之和等于兩個直角，從而發(fā)現(xiàn)“任意三角形三個內(nèi)角和等于兩直角”，即三角形的內(nèi)角和是180°。

【設(shè)計說明：數(shù)學(xué)中的概念、定律等都是經(jīng)過漫長的時間不斷發(fā)展而來的，用故事的形式向?qū)W生再現(xiàn)數(shù)學(xué)家泰勒斯發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和的過程，其實也是一種推理過程，而且能拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)家之間的距離?！?/p>

活動5：數(shù)學(xué)推理

（1）直角三角形的內(nèi)角和

將一張正方形紙沿對角線剪開，得到兩個完全相同的直角三角形。你能求出一個直角三角形的內(nèi)角和嗎？如果是長方形紙呢？

小結(jié)：正方形或長方形的內(nèi)角和是360°，那么一個直角三角形的內(nèi)角和就是180°。

（2）銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和

任意一個三角形，我們可以沿著它的高將它分成兩個直角三角形。

兩個直角三角形的內(nèi)角和：180°+180°=360°。

一個三角形的內(nèi)角和：360°-90°-90°=180°。

教師小結(jié)：這個方法是數(shù)學(xué)家帕斯卡發(fā)現(xiàn)的，當(dāng)時他12歲，之后，數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯和歐幾里得相繼給出了證明。學(xué)到這里，大家對于“三角形的內(nèi)角和是180°”應(yīng)該深信不疑了吧！等你們進(jìn)入了初中，還會進(jìn)行嚴(yán)格意義上的證明，因為數(shù)學(xué)定理是要證明的。

【設(shè)計說明：學(xué)生經(jīng)歷推理三角形內(nèi)角和的過程，感悟數(shù)學(xué)依靠推理獲得正確結(jié)論?！?/p>

（三）課外拓寬引領(lǐng)學(xué)生走向全景認(rèn)知

全景式數(shù)學(xué)教育主張：學(xué)習(xí)要整體先構(gòu)，先見“森林”，一開始就給學(xué)生一個完整的世界，讓學(xué)生盡可能豐富、完整、全面地認(rèn)識數(shù)學(xué)，活躍、完整學(xué)生的思維?！叭切蝺?nèi)角和是180°”是歐幾里得幾何中的一個定理，但在非歐幾何里卻不一定是180°。為了讓學(xué)生對知識有一個完整的認(rèn)知，在本課快結(jié)束時適時對學(xué)生進(jìn)行了追問。（1）課件出示地球圖片（如圖1）：如果在地球上畫一個三角形，它的內(nèi)角和還是180°嗎？（2）課件出示馬鞍圖片（如圖2）：如果在馬鞍上畫一個三角形，它的內(nèi)角和還是180°嗎？

通過讓學(xué)生展開想象，合情推理，發(fā)現(xiàn)與我們本節(jié)課所研究的三角形的區(qū)別后，引入黎曼幾何和羅氏幾何，拓寬學(xué)生的知識面。這樣一個看似簡單的問題，卻將學(xué)生帶到了另一個思維層面。整節(jié)課學(xué)生深度參與，深刻體驗，從形象到抽象，從實驗到推理，全面地研究了三角形的內(nèi)角和，成就了課堂的精彩。

【設(shè)計說明：當(dāng)學(xué)生已經(jīng)從頭到尾了解了三角形的內(nèi)角和之后，帶其了解非歐幾何中三角形的內(nèi)角和，打開視野，形成對三角形內(nèi)角和的全面認(rèn)知?！?/p>