帶有積分邊值的Hadamard型分?jǐn)?shù)階微分包含解的存在性

楊丹丹

(淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

近年來(lái), 由于分?jǐn)?shù)階微積分在自然科學(xué)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用, 關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程和分?jǐn)?shù)階微分包含解的存在性結(jié)果大量涌現(xiàn).Samet等[1]應(yīng)用α-ψ-Ciric壓縮映射的概念給出了此類(lèi)映射的一些不動(dòng)點(diǎn)結(jié)果; Mohammadi等[2]給出了α-ψ-Ciric廣義多值映射的一些結(jié)果; Agarwal等[3]研究了兩類(lèi)分?jǐn)?shù)階微分包含.受上述研究啟發(fā), 本文擬研究帶有積分邊值的Hadamard型分?jǐn)?shù)階微分包含解的存在性, 與Caputo型和Riemman-Liouville型的分?jǐn)?shù)階微分包含問(wèn)題不同, Hadamard型分?jǐn)?shù)階微分包含結(jié)果并不多見(jiàn)[4-7].

1 預(yù)備知識(shí)

本文研究帶有積分邊值條件的Hadamard型分?jǐn)?shù)階微分包含

(1)

定義3[4]Pompeiu-Hausdorff 測(cè)度Hd:P(X)×P(X)→R∪{∞}定義為Hd(A,B)=max{supa∈Ad(a,B),supb∈Bd(A,b)}, 其中d(a,B)=infb∈Bd(a,b),d(A,b)=infa∈Ad(a,b).

引理1[2]令(X,d)是一個(gè)完備的度量空間,α:X×X→[0,∞)是一個(gè)映射,ψ∈Ψ是一個(gè)嚴(yán)格增映射,T:X→Pcp(X)一個(gè)α-允許多值函數(shù)使得α(x,y)Hd(Tx,Ty)≤ψ(d(x,y))對(duì)于所有的x,y∈X成立, 存在x0∈X和x1∈Tx0滿足α(x0,x1)≥1.若X滿足條件Cα,則映射T存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

引理2[9]假設(shè)g∈C([1,e],R), 則問(wèn)題

2 主要結(jié)果

假設(shè)條件為:

(H1)若F:[1,e]×R→Pcp(R)是一個(gè)可積有界的多值函數(shù), 且F(·,x):[1,e]×R→P(R)對(duì)于x∈R是可測(cè)的.

(H4)假設(shè)x0∈X,h∈ΩF(x0), 使得ξ(x0(t),h(t))≥0對(duì)所有的t∈J成立.

定理1若條件(H1)～(H4)成立, 則分?jǐn)?shù)階微分包含(1)存在一個(gè)解.

由多值映射ΩF是一個(gè)α-ψ壓縮多值函數(shù), 若y∈ΩF使得α(x,y)≥1, 有ξ(x(t),y(t))≥0, 存在z∈ΩF(y)使ξ(x(t),z(t))≥0, 則α(y,z)≥1, 故ΩF是α-允許的.若取x0∈X,y∈ΩF(x0), 使得ξ(x0(t),y(t))≥0, 這意味著α(x0,y)≥1.由引理1知, 存在x*∈X, 使得x*∈ΩF, 故x*是問(wèn)題(1)的一個(gè)解.證畢.

本文應(yīng)用α-ψ-Ciric 廣義多值映射的不動(dòng)點(diǎn)定理, 給出了帶有積分邊值的Hadamard型分?jǐn)?shù)階微分包含解的存在性,不同于文獻(xiàn)的方法[10-15], 并將已有的單值結(jié)果[9]推廣到多值.