讓直角三角形旋轉(zhuǎn)起來(lái)

李大雙

摘 要：數(shù)學(xué)是思維的體操，對(duì)于學(xué)生良好思維品質(zhì)的培養(yǎng)具有不可替代性。題組教學(xué)作為數(shù)學(xué)教學(xué)基本形式被廣泛運(yùn)用并發(fā)揮著獨(dú)特作用，它讓概念更清晰，讓認(rèn)知更全面，讓策略更優(yōu)化，讓結(jié)構(gòu)更完整，讓反思更有效。

關(guān)鍵詞：題組教學(xué);數(shù)學(xué)思維;培養(yǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1673-8918（2022）02-0064-04

一、 引言

畢業(yè)總復(fù)習(xí)正在如火如荼的進(jìn)行中，為了確保復(fù)習(xí)的效果，學(xué)生課前對(duì)所復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)以及相關(guān)習(xí)題進(jìn)行必要的梳理和練習(xí)是非常有必要的。如《圖形與變換》復(fù)習(xí)課，主要是幫學(xué)生對(duì)整個(gè)小學(xué)階段所學(xué)過(guò)的圖形平移、旋轉(zhuǎn)、放大和縮小進(jìn)行歸納和整理。在我看來(lái)這部分的知識(shí)相對(duì)于紛繁多變的分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題、深?yuàn)W難懂的解決問(wèn)題的策略，無(wú)疑是小巫見(jiàn)大巫，我決定讓學(xué)生自己看看練練，不準(zhǔn)備在這塊教學(xué)上花大氣力，于是我將作業(yè)紙一并發(fā)給學(xué)生，讓孩子們回家完成。

雖說(shuō)是舊知，但作業(yè)情況不容樂(lè)觀(guān)。作業(yè)紙上有一道題是這樣的：將圖1中的直角三角形繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度。

這道我故意設(shè)卡的題目未能達(dá)到我想要的效果，80%的孩子只畫(huà)了一種旋轉(zhuǎn)圖，黃宇杰的作業(yè)更是錯(cuò)得讓我瞠目結(jié)舌。讓我感到一絲安慰的倒是那幾個(gè)空著沒(méi)做的孩子，他們給我的解釋是：“李老師，你題目出錯(cuò)了，不好做！”“是不好做，還是你們考慮問(wèn)題欠周全？”我期待著一語(yǔ)喚醒夢(mèng)中人。

黃宇杰畫(huà)出的是一個(gè)圓錐的平面透視圖（如圖1），而且畫(huà)得有模有樣?！澳氵@是畫(huà)的什么呀？”我沒(méi)好聲沒(méi)好氣地問(wèn)?！爸苯侨切涡D(zhuǎn)一周不是圓錐嗎？”黃宇杰到現(xiàn)在還沒(méi)有意識(shí)到自己的錯(cuò)誤所在。于是我用紅筆將“繞C點(diǎn)”三個(gè)字圈了起來(lái)，“哦！”黃宇杰頓悟似的叫了起來(lái)，“我看錯(cuò)了！”說(shuō)完拿著作業(yè)紙回到了座位上。

難道僅僅是因?yàn)榇中拇笠饪村e(cuò)了題目，沒(méi)有別的原因？于是我決定，對(duì)本題得“小題大做”一把。課上，我用大屏幕出示了本題，并對(duì)本題做了下面的講解（表1）：

在不知不覺(jué)中一節(jié)課過(guò)去了，回憶教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，我覺(jué)得它不是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)的再現(xiàn)，更包含著對(duì)學(xué)生良好數(shù)學(xué)品質(zhì)的培養(yǎng)，也讓我深刻體會(huì)到題組教學(xué)對(duì)孩子思維品質(zhì)培養(yǎng)的重要意義。

二、 題組教學(xué)的作用

數(shù)學(xué)是一門(mén)思維嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，是一門(mén)追求精確性的科學(xué)，它要求學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)，思維縝密。思維縝密性是指在分析思考和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中能全面考慮各種可能情況，既考慮一般，又顧及特殊，推理過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)有據(jù)，是數(shù)學(xué)思維的重要品質(zhì)之一。但實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)具有縝密思維的孩子占比不高，很多學(xué)生在分析解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)存在著概念不清、審題不細(xì)、思路不明、考慮不全等缺點(diǎn)，從而導(dǎo)致顧此失彼、丟三落四、漏洞百出、答案有誤。針對(duì)這一現(xiàn)狀，個(gè)人認(rèn)為教學(xué)中可以根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，合理有效地選擇“題組”，采用“題組教學(xué)法”，逐步培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)風(fēng)和縝密思維習(xí)慣。

所謂“題組”，就是將內(nèi)容聯(lián)系密切、題目形式相似、思維方法相近、解法基本相同或有聯(lián)系的題目串聯(lián)在一起構(gòu)成一組題。它具有鮮明的對(duì)比性、層次性、遷移性和實(shí)效性，對(duì)鞏固所學(xué)知識(shí)、糾正思維偏差、增強(qiáng)解題能力、形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、發(fā)展思維能力等都發(fā)揮著獨(dú)特的作用。

（一）題組，讓概念更清晰

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念是運(yùn)用定義的形式來(lái)揭露其本質(zhì)特征，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來(lái)，數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成它們的基礎(chǔ)。正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提。小學(xué)數(shù)學(xué)中包含著大量的數(shù)學(xué)概念，有些概念是由若干個(gè)詞或詞組組成的，表述精確，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)。教學(xué)時(shí)，首先要讓學(xué)生建立起正確的概念。

例如在教學(xué)《認(rèn)識(shí)倒數(shù)》時(shí)，可以安排這樣一個(gè)題組幫助學(xué)生強(qiáng)化對(duì)“倒數(shù)”概念中“核心詞”的理解：

從下面的算式中選擇一個(gè)，說(shuō)說(shuō)你對(duì)倒數(shù)的理解：

（1）0.9+0.1=1? （2）2×0.5=1

（3）0.4×5×0.5=1

通過(guò)對(duì)（1）和（3）兩個(gè)算式的否定，強(qiáng)化了“倒數(shù)”概念中“乘積是1”和“兩個(gè)數(shù)”的理解。看似簡(jiǎn)單的三道題也可以加深對(duì)概念內(nèi)涵的理解，即0為什么沒(méi)有倒數(shù);也可以拓展對(duì)概念外延的把握，即“1/a”或“1÷a”都可以代表a的倒數(shù)。再次面對(duì)“結(jié)果為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”這樣的判斷題，學(xué)生便不再會(huì)猶豫不決，產(chǎn)生錯(cuò)誤。

（二）題組，讓認(rèn)知更全面

由于小學(xué)生生理、心理以及知識(shí)發(fā)展水平的局限，在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)水平上表現(xiàn)出層次不高而且很不穩(wěn)定的特點(diǎn)，不少學(xué)生解題時(shí)，只關(guān)注題中給出的現(xiàn)成的已知條件，常常產(chǎn)生“條件不足”無(wú)法解答的錯(cuò)覺(jué)。教學(xué)中，教師如果能及時(shí)有效地指導(dǎo)學(xué)生挖掘題中隱含條件，明確解題思路，選擇恰當(dāng)?shù)慕獯鸱椒ǎ瑢?huì)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)概念的形成、解題技能的掌握、數(shù)學(xué)思維的發(fā)展起到至關(guān)重要的作用。

例如：六（1）班和四（1）班按3∶2共同承擔(dān)了120平方米的保潔區(qū)打掃任務(wù)。請(qǐng)計(jì)算出六（1）班、四（1）班各打掃多少平方米。

通過(guò)例題的講解和練一練的解答，學(xué)生對(duì)于按比例分配實(shí)際問(wèn)題的結(jié)構(gòu)有了較為清晰的認(rèn)識(shí)：已知“總量”和“比”，求“各部分量”。解答時(shí)，可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘法實(shí)際問(wèn)題解答，也可以先用除法求每份數(shù)，再用乘法求各部分量。于是，學(xué)生形成思維定勢(shì)認(rèn)為必須要找到“總量”和“比”，當(dāng)某一條件被“隱藏”，部分學(xué)生就無(wú)從下手。

這時(shí)，可以設(shè)計(jì)一組習(xí)題讓學(xué)生做到有意識(shí)地去挖掘題中隱含條件。

例如：

1. 一個(gè)直角三角形兩個(gè)銳角的比是1∶2。兩個(gè)銳角分別是多少度？

2. 一個(gè)等腰三角形頂角和一個(gè)底角度數(shù)的比為1∶2。這個(gè)三角形三個(gè)角各是多少度？

3. 一個(gè)等腰三角形兩個(gè)角度數(shù)的比為1∶2。這個(gè)三角形三個(gè)角各是多少度？

學(xué)生讀題、思考：和例題相比第一題最大的不同在哪里？

你能找到這兩個(gè)銳角的和嗎？

小結(jié)：要?jiǎng)佑米约阂延械闹R(shí)經(jīng)驗(yàn)挖掘題中隱含的條件。

思考：（1）第二題呢？它被隱藏的條件你能找出來(lái)嗎？

（2）第二題和第三題又有什么不同的地方？

這個(gè)題組的設(shè)計(jì)不僅可以讓學(xué)生明白挖掘、尋找題中隱含條件的原因，更重要的是讓學(xué)生明白各個(gè)知識(shí)點(diǎn)相互依存、互為補(bǔ)充的道理。在教學(xué)中，教師對(duì)學(xué)情要有充分的了解，要盡量預(yù)見(jiàn)學(xué)生思維中的“盲點(diǎn)”“易混點(diǎn)”，有意提出問(wèn)題讓學(xué)生思考、辨析，避免應(yīng)用時(shí)出錯(cuò)，或者故意設(shè)置一些思維障礙，讓學(xué)生“吃點(diǎn)虧”，從反面提醒和引導(dǎo)學(xué)生，有時(shí)比教師單純地正面強(qiáng)調(diào)更效果更好，給學(xué)生留下的印象也更深刻。

（三）題組，讓策略更優(yōu)化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：“重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程。”問(wèn)題解決需要有效的策略，學(xué)生策略性知識(shí)的生成與發(fā)展源自教師精心的設(shè)計(jì)與指導(dǎo)。作為教師要把培養(yǎng)學(xué)生的策略意識(shí)作為問(wèn)題解決教學(xué)中最為關(guān)鍵的一個(gè)環(huán)節(jié)，把引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，轉(zhuǎn)化成學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、尋求策略并最終解決問(wèn)題的一個(gè)自主探究過(guò)程。

在《組合圖形面積》教學(xué)中可以設(shè)計(jì)這樣一個(gè)練習(xí)，和教材第23頁(yè)第6題（圖2）組成一個(gè)題組，在解決好策略多樣化的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)策略最優(yōu)化。

計(jì)算圖2中圖形的面積：

“分割合并法”“增補(bǔ)扣除法”是我們解答組合圖形面積計(jì)算最常用的兩種方法。盡管圖2是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的直角梯形，但在解答時(shí)，仍有一半左右的學(xué)生采用長(zhǎng)方形與三角形合并的方法，沒(méi)有選擇梯形面積公式直接計(jì)算。由此可見(jiàn)，將“轉(zhuǎn)化”策略運(yùn)用在組合圖形面積計(jì)算中對(duì)于很多學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)“盲點(diǎn)”，需要教師的引導(dǎo)與點(diǎn)撥。

本題組教學(xué)如下：

求圖2的面積你有幾種方法？怎么計(jì)算更方便？

小結(jié)：直接看成梯形，用梯形面積公式計(jì)算更方便。

出示習(xí)題6：仔細(xì)觀(guān)察圖2和圖3，它們的面積相等嗎？說(shuō)一說(shuō)你是怎么想的。

小結(jié)：面積相等，長(zhǎng)方形完全相同，兩個(gè)三角形等底等高面積也相等，所以?xún)蓚€(gè)組合圖形面積相等，計(jì)算組合圖形的面積可以轉(zhuǎn)化成計(jì)算梯形的面積。

你還能將它轉(zhuǎn)化成其他基本圖形嗎？

通過(guò)大家的討論又得到了以下方法：

三角形和長(zhǎng)方形等底等高，可以轉(zhuǎn)化成求三個(gè)底600米、高100米三角形的面積和;

三角形和長(zhǎng)方形等底等高，可以轉(zhuǎn)化成求長(zhǎng)600米、寬150米長(zhǎng)方形的面積;

三角形和長(zhǎng)方形等底等高，可以轉(zhuǎn)化成上底600米、下底1200米、高100米梯形的面積;

……

“心有多大，舞臺(tái)就有多大！”要想真正發(fā)展學(xué)生解決問(wèn)題的能力，就一定要多途徑加強(qiáng)學(xué)生策略意識(shí)的培養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)策略的種子，植入學(xué)生的心田，存活、生長(zhǎng)不斷壯大！

（四）題組，讓結(jié)構(gòu)更完整

建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)不是對(duì)知識(shí)的簡(jiǎn)單接受，而是在一定的教學(xué)情景下主動(dòng)建構(gòu)來(lái)完成。通過(guò)題組練習(xí)把學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，有利于學(xué)生形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，就是新的學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容相互作用，從而實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改組或重建的過(guò)程。

圖4是長(zhǎng)方體正方體體積教學(xué)中很具有代表性的一道習(xí)題。這兩問(wèn)題本身就是一個(gè)題組，其共同點(diǎn)都是求體積;不同點(diǎn)第一問(wèn)求花壇的體積條件具備可以直接計(jì)算，第二問(wèn)求泥土的體積就是求花壇的容積，這里面的長(zhǎng)、寬、高，需要通過(guò)觀(guān)察學(xué)具、畫(huà)圖、想象畫(huà)面等直觀(guān)的方式去發(fā)現(xiàn)。

對(duì)于“考慮厚度”的物體，能正確找到里面長(zhǎng)、寬、高之后，不妨對(duì)本題進(jìn)行“二次創(chuàng)作”，形成了有5道題目組成的大題組。

☆小華家沿著墻新砌了一個(gè)長(zhǎng)2.6米、寬1.3米、高0.5米的長(zhǎng)方體花壇，花壇用磚砌成，厚度 0.3 米（圖5）。

花壇里大約有多少立方米的泥土？

☆學(xué)校新砌了一個(gè)長(zhǎng)3.3米、寬1.8米、高0.5米的長(zhǎng)方體花壇，花壇用磚砌成，厚度0.3米（如圖6，在墻角）。

花壇里大約有多少立方米的泥土？

☆有一個(gè)無(wú)蓋的金魚(yú)缸，長(zhǎng)66厘米，寬46厘米，高53厘米，玻璃厚度3厘米，這個(gè)金魚(yú)缸最多能盛水多少毫升？

☆有一個(gè)長(zhǎng)方體米箱（有蓋），長(zhǎng)80厘米、寬70厘米、高60厘米，它是用厚度5厘米的木板做成的，這個(gè)米箱的容積是多少？

這五道題的出現(xiàn)，讓“厚度忽略不計(jì)”成為過(guò)去，“容積”在孩子的腦中真正成為“容積”?；乜催@五道題將容積計(jì)算（考慮厚度）的類(lèi)型都涵蓋其中，遇到類(lèi)似問(wèn)題，只要對(duì)號(hào)入座，處理好相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，同時(shí)也拉近了數(shù)學(xué)和生活的距離，讓學(xué)生充分體會(huì)到了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活、最終服務(wù)于生活的道理。

（五）題組，讓反思更有效

反思性學(xué)習(xí)，是通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程的反思來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)。反思，不僅僅是“回憶”或者“回顧”，它還需要把新知識(shí)納入原有知識(shí)體系中，對(duì)知識(shí)進(jìn)行重構(gòu)，是有效學(xué)習(xí)中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。

“糾錯(cuò)”是反思性學(xué)習(xí)的基本形式。在教學(xué)過(guò)程中，作為教師要逐步培養(yǎng)學(xué)生從不同角度認(rèn)真檢查的習(xí)慣，尤其是“倒過(guò)來(lái)想”的意識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)真分析錯(cuò)誤原因，并根據(jù)錯(cuò)題倒推回去，尋找與其對(duì)應(yīng)的題目和原題組合在一起變成由兩道或多道題組成的題組，利用“題組式”訂正，從而達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通、標(biāo)本兼治的效果。

例如一道經(jīng)典例題，“王大爺家養(yǎng)了24只白兔，灰兔只數(shù)是白兔的2/3，又是黑兔只數(shù)的1/2，黑兔有幾只？”這是簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題，但仍有一部分學(xué)生列出了這樣的算式：“24×2/3×1/2=8（只）”，如果不是紅叉叉的提醒，他們一直堅(jiān)信自己做的是對(duì)的。對(duì)于這樣的錯(cuò)題，在找出錯(cuò)點(diǎn)、訂正完之后，可以進(jìn)行追問(wèn)：

問(wèn)題一：如果“24×2/3×1/2=8（只）”這個(gè)算式正確，原題該做怎樣的微調(diào)？

問(wèn)題二：如果把“灰兔只數(shù)是白兔的2/3”微調(diào)成“白兔只數(shù)是灰兔的2/3”，其他條件不變，這題怎么解答？你有什么發(fā)現(xiàn)？

問(wèn)題三：如果把“灰兔只數(shù)是白兔的2/3，又是黑兔只數(shù)1/2”微調(diào)成““白兔只數(shù)是灰兔的2/3，灰兔只數(shù)是黑兔的1/2”，題目又該如何解答？

這個(gè)追問(wèn)的主角可以是教師也可以是學(xué)習(xí)能力相對(duì)較強(qiáng)的學(xué)生。把所有追問(wèn)之后得到的題目進(jìn)行歸納整理，呈現(xiàn)在學(xué)生面前的就不是一道題，而是一組題，是一個(gè)大的題組。這種“題組”式訂正方法，優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，關(guān)注學(xué)生知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)、整合點(diǎn)，幫助學(xué)生掌握或辨析異同題型，從而提煉和遷移方法，讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

三、 結(jié)語(yǔ)

學(xué)生縝密性思維的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的、系統(tǒng)的工程，不可能一蹴而就，立竿見(jiàn)影?！邦}組教學(xué)法”的合理運(yùn)用一定會(huì)成為學(xué)生思維縝密性培養(yǎng)的催化劑和加速器，讓提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)不再是一句空話(huà)，而是實(shí)實(shí)在在可見(jiàn)可觸的一種行為。